1、必修二第四章 4.1.2 圆的一般方程教学目标 1.知识与技能：（1）掌握圆的一般方程的形式；（2）能够根据题目给定条件求圆的一般方程；（3）能够根据圆的一般方程找到圆心和半径。2.过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。经历公理的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足
2、点、直线、平面以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力3.情感态度价值观：（1）空间教学的核心问题是让学生了解圆的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想重点难点 1.教学重点：圆的一般方程的推导以及根据条件求圆的一般方程；2.教学难点：根据条件求圆的一般方程教学过程：课题引入：问题：求过三点 A（0 ，0） ，B（1，1） ，C（4 ，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单
3、的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程。探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(xa) 2(yb) 2=r2，圆心(a，b)，半径 r把圆的标准方程展开，并整理：x2y 22ax2bya 2b 2r 2=0取 得22,2rbFEaD0EyDxy这个方程是圆的方程反过来给出一个形如 x2y 2DxEyF=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把 x2y 2DxEyF=0 配方得 (配方过程由学生去完成)这个方程是不是4)()( 222 FED表示圆？(1)当 D2E 24F0 时，方程表示（1）当 时，表示以（-042FED， - ）
4、为圆心 , 为半径的圆；2FE42（2）当 时，方程只有实数解 ， ，即只 表示一个22xy点（- ，- ）;DE（3）当 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 新 疆学 案王 新 敞042F综上所述，方程 表示的曲线不一定是圆 新 疆学 案王 新 敞 EyDxy只有当 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如2E的表示圆的方程称为圆的一般方程 新 疆学 案王 新 敞02Fyxy我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)x 2和 y2的系数相同，不等于 0没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方
5、程相比较，它是一种特殊的二元二次方程 ，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。知识应用与解题研究：例 1 ：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。241290xyxy学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于 来说，这里的2141290xyx.91,34DEF而 不 是 D=-,EF9例 2：求过三点 A（0，0） ，B（1，1 ） ，C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，
6、而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 新 疆学 案王 新 敞 解：设所求的圆的方程为： 02FEyDxy 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上(0,)1AB， ） ,C(4)面的方程，可以得到关于 的三元一次方程组，FE即 024DF解此方程组，可得： 新 疆学 案王 新 敞0,68FE所求圆的方程为： 新 疆学 案王 新 敞0682yx； 新 疆学 案王 新 敞54212FEDr 32,4FD得圆心坐标为（4，-3）.或将 左边配方化为圆的标准方程， ,从0682yx 25)3()4(2yx而求出圆的半径 ，圆心坐标为(4,-3) 新 疆学 案王 新 敞5r学生讨
7、论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：、 根据提议，选择标准方程或一般方程；、 根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组；、 解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程。例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3） ，端点 A 在圆上 运动，214xy求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。分析：如图点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满足方程。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的条214xy件，求出点 M 的轨迹方程。 解：设点 M 的坐标是（x,y）,点 A 的坐标是0,.B43ABx
8、y由 于 点 的 坐 标 是 ， 且 是 线 段 的 重 点 ， 所 以 0043,22xy于 是 有上运动，所以点 A 的坐标满足方程 ,因 为 点 A在 圆 14214xy即200xy14把代入，得 130p224134,xy221y整 理 ， 得 x-M3所 以 ， 点 的 轨 迹 是 以 ， 为 圆 心 ， 半 径 长 为 1的 圆2642-2-4-5 5MOBAyx课堂练习：课堂练习 第 1、2 、3 题30p达标检测1,已知方程 x2+y2+kx+(1-k)y+ =0 表示圆，则 k 的取值范围 ( D )4A k3 B C -23 或 k-2 k2.求下列各题的圆心坐标、半径长（1）x 2+y2-6x=0 (3,0); r=3 (2) x2+y2+2by=0 (0,-b) ; r= b3.下列各方程各表示什么图形？（1）x 2+y2=0 (0,0) (2)x2+y2-2x+4y-6=0 以 (1,-2)为圆心， 为半径圆1(3) x2+y2+2ax-b2=0 以（-a,0）为圆心， 为半径圆2ba小结 ：1对方程 的讨论( 什么时候可以表示圆 ) 新 疆学 案王 新 敞02FEyDx2与 标准方程的互化 新 疆学 案王 新 敞 3用待定系数法求圆的方程 新 疆学 案王 新 敞 4求与圆有关的点的轨迹。课后作业： 习题 4.1 第 2、3、6 题130p
