1、直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是 时的直线没有斜率；903.已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；4.掌握经过两点 和 的直线的斜率公式： ( )；1(,)Pxy2(,)xy21ykx2x5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，如果把 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重xx合时所转的最小正角记为 ，则 叫做直线的倾斜角.规定：当直线和 轴平行或重合时，直线倾斜角为 ，所以，倾斜角的范围是 x0 018要点诠释：1.
2、要清楚定义中含有的三个条件直线向上方向； 轴正向；x小于 的角.1802.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.x3.倾斜角 的范围是 .当 时，直线与 x 轴平行或与 x 轴重合.1804.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率1定义：倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 表示，即 90 ktan要点诠释：(1)当直线 与 x 轴平行或重合时， =0，k=tan0=0；l(2)直
3、线 与 x 轴垂直时， =90，k 不存在.由此可知，一条直线 的倾斜角 一定存在，但是斜率 k 不一定存在.l2直线的倾斜角 与斜率 之间的关系由斜率的定义可知，当 在 范围内时，直线的斜率大于零；当 在 范围内时，直(09)， (9018)，线的斜率小于零；当 时，直线的斜率为零；当 时，直线的斜率不存在直线的斜率与直线90的倾斜角( 除外 )为一一对应关系，且在 和 范围内分别与倾斜角的变化方向一致，90 ，(18)，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然因此若需在 或 范围内比较倾斜角的大小只需比，较斜率的大小即可，反之亦然要点三、斜率公式已知点 、 ，且 与 轴不垂直，过两点 、 的直线的
4、斜率公1(,)Pxy2(,)xy12Px1(,)Pxy2(,)xy式 .21k要点诠释：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 =90，直线与 x 轴垂直；(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关，即 y1，y 2 和 x1，x 2 在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当 y1=y2 时，斜率 k=0，直线的倾斜角 =0，直线与 x 轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的
5、问题：(1)由 、 点的坐标求 的值；1P2k(2)已知 及 中的三个量可求第四个量；k12,xy(3)已知 及 、 的横坐标(或纵坐标) 可求 ；12|P(4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线 的斜率分别为 .若 ，则 与 的倾斜角 与 相等.由 ，21,l21,k21/l12l1221可得 21tant，即 k.因此，若 ，则 ./l21反之，若 ，则 .21k/l要点诠释：1.公式 成立的前提条件是两条直线的斜率存在分别为 ； 不重合；2121/l21k， 21l与2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时， 的倾斜角都是 ，则 .21l与 90/l要点五、两直线垂直
6、的条件设两条直线 的斜率分别为 .若 ，则 .21,l21,k21l121k要点诠释：1.公式 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2121kl2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，两条直线也垂直.【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例 1设直线 过原点，其倾斜角为 ，将直线 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45，得到直线 ，则ll 1l直线 1 的倾斜角为（ ）lA +45 B 135C135D当 0 180时，为 +45，当 135 180时，为 135【答案】D【解析】倾斜角的范围是0，180） ，因此，只有当 +450，180） ，即当 0 135时， 的1l倾斜
7、角才是 +45，而当 135 180 时， 的倾斜角为 135故应选 D1l【总结升华】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：直线向上的方向；x 轴的正方向； 小于平角的正角（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于 x 轴正方向的倾斜程度（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可举一反三：【变式 1】 下列说法中，正确的是（ ）A直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 tanB直线的斜率为 tan ，则此直线
8、的倾斜角为C若直线的倾斜角为 ，则 sin 0D任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系对于 A，当 =90时，直线的斜率不存在，A 错；对于 B，虽然直线的斜率为 tan ，但只有当 0，180）时， 才是此直线的倾斜角，B 错；对于 C，当直线平行于 x 轴时， =0，而 sin0 =0， C 错 应选 D例 2如图所示，直线 的倾斜角 ，直线 与 垂直，求 ， 的斜率1l1301l21l2【答案】 k2=13【解析】由图形可知， ，则 k1，k 2 可求2190直线 的斜率 1l113tantk直线 的倾斜角 =90+30=120，直线
9、的斜率 k2=tan120=tan(18060)=tan60= 2l2 2l 3【总结升华】 （1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线 与 的倾斜角之间的关系是解题的关1l2键（2）公式 tan(180 )=tan 是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切熟记 30，45 ，60角的正切值可快速求解举一反三：【变式 1】直线 的倾斜角的范围是( )cos320xyA B5,6265,6C D0,【答案】B【解析】由直线 ，cos320xy所以直线的斜率为 sk设直线的倾斜角为 ，则 costan3又因为 ，即 ，3costan所以 50,6类型二：
10、过两点的直线斜率公式的应用例 3若 aN，又三点 A（a，0） ，B（0，a+4） ，C（1，3）共线，求 a 的值【答案】a=2【解析】A 、B、C 三点共线直线 AC、BC 的斜率相等 0(4)1解之得：a=2【总结升华】由于直线上任意两点的斜率都相等，因此 A，B，C 三点共线 A，B，C 中任意两点的斜率相等（如 kAB=kAC） 斜率是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等这正是利用斜率可证三点共线的原因举一反三：【变式 1】已知 A（3，5 ） ，B（1，3） ，C（5，11）三点，试判断这三点是否在同
11、一直线上【答案】在同一直线上【解析】由题意可知直线 AB 的斜率 ，直线 BC 的斜率 因为3521ABk1325BCkkAB=kBC，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点 B，所以 A，B，C 三点在同一直线上例 4已知直线 经过点 P（1，1） ，且与线段 MN 相交，又 M（2，3） ，N（3，2） ，求直线l的斜率 k 的取值范围l【答案】 3(,4【解析】 如图所示，直线 相当于绕着点 P 在直线 PM 与 PN 间旋转， 是过 P 点且与 x 轴垂直的l l直线当 从 PN 位置转到 位置时，倾斜角增大到 90，而 ，ll 34Nk 34k又当 从 位置转到 PM 位置时，倾斜角
12、大于 90，由正切函数的性质l知，kk PM= -4， k -4综上所述， 3(,4,k【总结升华】直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑一般地，若已知 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，P（x 0，y 0） ，过 P 点作垂直于 x 轴的直线 ，过 P 点的任l一直线 的斜率为 k，则当 与线段 AB 不相交时，k 夹在 kPA 与 kPB 之间；当 与线段 AB 相
13、交时，k 在ll lkPA 与 kPB 的两边举一反三：【变式 1】知 直 线 过 点 ， 且 与 以 为 端 点 的 线 段 相 交 ， 求 直 线 斜 率 的l(1,2)P(2,3)(,0ABABl取 值 范 围 .【答案】 ,5,2例 5已知实数 x，y 满足 2x+y=8，且 2x3，求 的最大值和最小值yx【答案】2 3【解析】 如图所示，由已知，点 P（x，y）在线段 AB 上运动，其中 A（2，4） ，B（3，2） ，而，其几何意义为直线 OP 的斜率0yx由图可知 kOBkOPkOA，而 ，k OA=223OB故所求的 的最大值为 2，最小值为 yx【总结升华】 利用斜率公式
14、构造斜率，可以解决形如 之类的代数问题21ykx21yx利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写为 的形式，从21yx而联想其几何意义（即直线的斜率） ，再利用几何图形的形象直观来分析解决问题举一反三：【变式 1】已知函数 （0x1）的图象如图，若 0x 1x 21，则()fx（ ）A B12()fxf12()ffxC D前三个判断都不正确12()ffx【答案】 A类型三：两条直线平行的条件例 6已知 经过 A（3，3） ，B（8，6） ， 经过 ， ，求证： 1l 2l1,6M9,32N12/l【解析】 直线 的斜率为 ，1l138()5k直线 的斜率为 ，2l2
15、6()9k1=k2， 12/l【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与 x 轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x 轴垂直时） 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合举一反三：【变式 1】已知直线 ：(k3)x+(4k)y+1=0 与 ：2( k3)x2y+3=0 平行，则 k 的值是 1l 2l【思路点拨】考查题意，不难发现 x=3 为所求，然后利用直线平行的条件解答即可【答案】3 或 5【解析】当 k=3 时两条直线平行
16、，当 k3 时有 所以 k=5234故答案为：3 或 5例 7已知平行四边形的三个顶点 A（2，1） ，B（1，3） ，C（3，4） ，求第四个顶点 D 的坐标【思路点拨】若构成的平行四边形为 ，即 AC 为一条对角线，设 ，则由 AC 中点也CD1(,)xy是 中点，利用线段的中点公式求得 同理可得，若构成以 AB 为对角线的平行四边形1BD1(2,)，即 ；以 BC 为对角线的平行四边形 ，则 ，综合可得结论2AC(6,0)3AB3(4,6)D【答案】 （2，2） ，或（6，0） ，或（4，6） 【解析】若构成的平行四边形为 ，则 AC 为一条对角线，1ABCD设 ，则由 AC 中点也是
17、中点，1(,)Dxy可得 ，解得 ， 2314y2xy1(,)同理可得，若构成以 AB 为对角线的平行四边形 ，则 ；以 BC 为对角线的平行四边2ACBD(6,0)形 ，则 ，3ACDB3(4,6)第四个顶点 D 的坐标为：（ 2，2） ，或（6，0） ，或（4，6） 【总结升华】本题主要考查线段的中点公式的应用，用待定系数法求点的坐标，体现了分类讨论的数学思想举一反三：【变式 1】若三条直线 ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0 能构成三角形，求 a 的取值范围。【答案】aR ，a1 ，且 a2。【解析】三条直线不平行，且不过同一点。类型四：两条直线垂直的条件例 8已知定点
18、A（1，3） ，B（4，2） ，以 A，B 为直径的端点，作圆与 x 轴交于点 C，求交点 C的坐标【答案】 （1，0）或（2，0）【解析】 本题中有三个点 A，B，C ，由于 AB 为直径，C 为圆上的点，所以ACB=90，因此，必有 kACkBC=1 列出方程，求解即可以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C，则 ACCB设 C（x，0） ，MJ ， ，去分母解得 x=1 或 231ACx4BC3214C（1，0）或 C（2，0） 【总结升华】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想本例中，利用ACB=90，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于 x 的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数本例中，当 AC 或 BC 的斜率不存在时，不满足 ACBC，这是很明显的事情（如图） 故不需要对AC 或 BC 斜率不存在的情形作讨论举一反三：【变式 1】若直线 与直线 互相垂直，则实数 = 250xy260xmym【答案】1【解析】 因为直线 与直线 互相垂直，所以 ，所以 201
