1、 3.2 一元二次不等式及其解法第 1 课时 简单的一元二次不等式及其解法学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.知识点一 一元二次不等式的概念思考 我们知道，方程 x21 的一个解是 x1，解集是1 ，1，解集中的每一个元素均可使等式成立.那么什么是不等式 x21 的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式 x21 的解集吗？答案 能使不等式 x21 成立的 x 的值，都是不等式的解，如 x2.不等式 x21 的解集为x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.梳理
2、 (1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式.(2)能使不等式成立的未知数 x 的一个值称为不等式的一个解.(3)不等式所有解的集合称为解集.知识点二 “三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.b 24ac 0 0 0)的图象ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x 2(x10(a0)的解集x|xx2 Error!Rax2bxc0)的解集x|x13x.答案 先化为 x23x 20.方程 x23x20 的根 x11，x 22，原不等式的解集为x| x2.梳理 解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式 ax2bxc
3、0 或 ax2bxc0)；(2)计算 b 24ac ，以确定一元二次方程 ax2bxc0 是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集.1.mx25x0，即求横坐标 x 取哪些值时，函数 yax 2bxc 的图象在 x 轴上方.()3.解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性，可以严谨地界定哪些元素是解，哪些不是.()类型一 一元二次不等式的解法命 题 角 度 1 二 次 项 系 数 大 于 0例 1 求不等式 4x24x 10 的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 因为 ( 4) 24410，所以方程 4x24x 10 的解是 x1x 2
4、 ，12所以原不等式的解集为Error!.反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.跟踪训练 1 求不等式 2x23x20 的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 2x23x20 的两解为 x1 ，x 22，12且 a20，不等式 2x2 3x20 的解集是Error!.命 题 角 度 2 二 次 项 系 数 小 于 0例 2 解不等式x 22x 30.考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 不等式可化为 x22x 32 的解集.考
5、点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 不等式可化为 3x26x 20，x11 ，x 21 ，33 33不等式3x 2 6x2 的解集是Error!.命 题 角 度 3 实 际 问 题 中 的 一 元 二 次 不 等 式例 3 某校园内有一块长为 800m，宽为 600m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同 )，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.考点 一元二次不等式的应用题点 一元二次不等式在实际问题中的应用解 设花卉带的宽度为 xm(012，2甲S 乙 0.05x 乙 0.005 10.2乙分别求解，得 x 甲
6、 30，x 乙 40.由于 x0，从而得 x 甲 30 m/h，x 乙 40 m/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.类型二 “三个二次”间对应关系的应用例 4 已知关于 x 的不等式 x2ax b0 的解集 .考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值解 由根与系数的关系，可得Error!即Error!不等式 bx2 ax10 ，即 2x23x10.由 2x23x10 ，解得 x1.12bx2ax10 的解集为Error! .反思与感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与 x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.跟
7、踪训练 4 已知不等式 ax2bx20，且 1,2 是方程 ax2bx20 的两实根.由根与系数的关系，知Error!解得Error!方法二 把 x1,2 分别代入方程 ax2bx 20 中，得Error!解得Error!1.不等式 2x2x 10 的解集是( )A.Error! B.x|x1C.x|x0 ，得(2x1)(x 1)0，解得 x1 或x0(a0)或 ax2bxc0)；求方程 ax2bx c 0( a0)的根，并画出对应函数 yax 2bxc 图象的简图；由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当 m0 ，则可得 x|xn 或 x2 B
8、.x|x1 或 x2C.x|10 的解集是( )(x 1t)A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 01， t.1t 1t(t x) 0(xt) 0，得 x26x72考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法答案 A解析 x 2x10 恒成立，原不等式x 22x 20(x2) 20，x2.不等式的解集为x|x2.6.设函数 f(x)Error!则不等式 f(x)f(1)的解集是( )A.(3,1)(3 ，) B.(3,1)(2 ，)C.(1,1)(3 ，) D.( ，3) (1,3)
9、考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法答案 A解析 f(1)1 24 163，当 x0 时，x 24x 63，解得 x3 或 0x3，解得3f(1)的解集是(3,1)(3 ， ).7.已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为( )A.x|xlg2B.x|1lg2D.x|x0 的解集为 ，即11，集合 A x|x24x30.又 a0 ，集合Cx| x24ax3a 22，AB x|2x4，要使 C(AB)，需Error!即Error!解得 a2，即 a 的取值范围为 .43 43，215.解不等式|x2| x5|x 28x14.考点 一元二次不等式的解法题点 一元二次不等式的解法解 设 f(x)|x2| x5|.当 x2 时，f(x)3，而 x28x 14( x4) 222，f(x)x 28x14 无解；当 2x5 时，f(x) 2x7，原不等式等价于Error!解得 3x5；当 x5 时，f( x)3，原不等式等价于Error!解得 5x4 .5综上，原不等式的解集为3,4 .5
