1、1/93.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离学习目标：1.掌握点到直线的距离公式(重点)2.能用公式求点到直线的距离( 难点)3.会求两条平行直线间的距离(重点、易错点) 自 主 预 习探 新 知点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离 两条平行直线间的距离定义 点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点 P0(x0，y 0)到直线l：Ax By C0 的距离 d|Ax0 By0 C|A2 B2两条平行直线 l1：AxByC 10与 l2：Ax ByC 20(C 1C 2)之间的距离 d|C1 C2|A2 B2思考 1：在使用点到直线的距离公式时，
2、对直线方程的形式有什么要求？提示 直线 方程应化为一般式思考 2：两条平行直线间的距离公式写成 d 时对两条直线应有什|C1 C2|A2 B2么要求？提示 两平行直 线的方程都是一般式，且 x、y 的系数应分别相等基础自测1思考辨析(1)点 P(x0，y 0)到与 x 轴平行的直线 yb(b0)的距离 dy 0b( )(2)点 P(x0，y 0)到与 y 轴平行的直线 xa(a0)的距离 d|x 0a|( )(3)两直线 xym 与 xy2n 的距离为 ( )|m 2n|2提示 (1)点 P(x0，y0)到直线 yb(b0) 的距离为 d|y 0b|.(2) (3)2原点到直线 x2y 5 0
3、 的距离是( )2/9A B C2 D2 3 5Dd .选 D.| 5|12 22 53已知直线 l1：xy 10，l 2：x y10，则 l1，l 2 之间的距离为( )A1 B C D22 3B依题意 d .选 B.|1 1|12 12 22 2合 作 探 究攻 重 难点到直线的距离求点 P(3，2)到下列直线的距离：(1)y x ；(2) y6；(3)x4. 【导学号：07742252】34 14解 (1)直线 y x 化为一般式为 3x4y 10，由点到直线的距离公34 14式可得d .|33 4 2 1|32 42 185(2)因为直线 y6 与 y 轴垂直，所以点 P 到它的距离
4、d|26|8.(3)因为直线 x4 与 x 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d|34|1.规律方法 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为 一般式，若给出其他形式应化为一般式(2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用(3)直线方程 AxByC0 中，A0 或 B0 公式也成立，但由于直线是特殊直线( 与坐标轴 垂直) ，故也可用数形结合求解跟踪训练1(1)点 P0(1,2)到直线 2xy100 的距离为( )A B2 C D25 5 3 3(2)已知点 M(1,4)到直线 l：mxy10 的距离等于 1，则实数 m 等于( )3/9A B C D34
5、34 43 43(1)B (2)C(1)依题意，d 2 .选 B.|2 1 2 10|22 12 105 5(2)依题意，d 1，|m 4 1|m2 1 |m 3|m2 1解得 m ，选 C.43两条平行直线间的距离已知直线 l1：3x2y 10 和 l2：3x 2y130，直线 l 与 l1，l 2的距离分别是 d1，d 2，若 d1d 221，求直线 l 的方程. 【导学号：07742253】思路探究：由题设知 l1l 2，故 ll 1l 2，设出 l 的方程，利用距离公式表示出 d1，d2.进而求出直线方程解 由直线 l1，l2 的方程知 l1l 2.又由题意知，直线 l 与 l1，l2
6、 均平行(否则d10 或 d20，不符合题 意)设直线 l：3x2y m0(m1 且 m13)，由两平行线间的距离公式，得 d1 ，d2 ，|m 1|13 |m 13|13又 d1d 221，所以|m1|2|m13|，解得 m25 或 m9.故所求直线 l 的方程为 3x2y 250 或 3x2y90.规律方法 求两平行直线间距离的两种思路1利用“化归 ”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：ykxb 1，l2：ykx b 2，且b1b 2时， d ；当直线 l1：AxBy C 10， l2：AxByC 20 且 C1C
7、 2|b1 b2|k2 14/9时，d ，必须注意两直 线方程中 x，y 的系数对应相等.|C1 C2|A2 B2跟踪训练2直线 l1 过点 A(0,1)，l 2 过点 B(5,0)，如果 l1l 2，且 l1 与 l2 间的距离为5，求 l1，l 2 的方程解 若直线 l1，l2 的斜率存在， 设直线 l1 与 l2 的斜率为 k，由斜截式得 l1 的方程为 ykx 1，即 kxy10，由点斜式可得 l2 的方程为 yk (x5)，即 kxy5k0.在直线 l1 上取点A(0,1)，则点 A 到直线 l2 的距离 d 5，|1 5k|1 k225k 210k125k 225， k .125l
8、 1 的方程为 12x5y 50，l2 的方程为 12x5y 600.若直线 l1，l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x0，l 2 的方程为 x5，它们之间的距离为 5，满足条件则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x5y50，l 2：12x5y 600；l1：x0， l2：x5.距离公式的综合应用探究问题1两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(3，1)，并且各自绕着 A，B旋转，如果两条平行直线间 的距离为 d.你能求出 d 的取值范围吗？提示 如图 ，显然有 0d |AB|.而|AB|6 32 2 123 .105/9故所求的 d 的变化范围为(0,3 102上述问题中
9、，当 d 取最大值时， 请求出两条直线的方程提示 由上 图可知，当 d 取最大值时，两直 线与 AB 垂直而 kAB ，2 16 3 13所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为y23(x 6)和 y13(x3) ，即 3xy200 和 3xy100.已知正方形的中心为直线 2xy20，xy 10 的交点，正方形一边所在的直线 l 的方程为 x3y 50，求正方形其他三边所在直线的方程【导学号：07742254】思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边 l 平行或垂直求解解 设与直 线 l：x3y50 平行的边所在的直线方程为l1：x3yc 0(c5)
10、 由Error!得正方形的中心坐标为 P(1,0)，由点 P 到两直线 l，l1 的距离相等，得 ，得 c7 或| 1 5|12 32 | 1 c|12 32c5( 舍去) l 1：x3 y70.又正方形另两边所在直线与 l 垂直，设另两边所在直线的方程分别为 3xy a0,3 xyb0.正方形中心到四条边的距离相等， ，得 a9 或 a3，| 3 a|32 12 | 1 5|12 32另两条边所在的直线方程分别为 3xy 90,3 xy30.另三边所在的直线方程分别为 3xy 90， x 3y70,3xy30.母题探究：1.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程6/9解 由例题 知，
11、正方形中心坐标为 P(1,0)，则与 OP 垂直的直线到原点的距离最大k OP0，此 时所求直线方程为 x1.2本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？解 由Error!可得交点坐标为 ，又正方形中心为 P(1,0) (15， 125)由两点式方程得对角线方程为： ，即 2xy20.y 0 125 0x 115 1由Error!可得正方形另一顶点坐标为 ，又正方形中心为 P(1,0)，(75，65)由两点式得另一对角线方程为： ，即 x2y10.y 065 0x 175 1综上可知正方形的两条对角线方程为 x2y 10 或 2x2y20.规律方法 距离公式综合应用的三种常用类型1最
12、值问题. 利用对称转化为两点之间的距离问题. 利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. 利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.2求参数问题 .利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值.3求方程的问题 .立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系 平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.)对称问题一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8x6y 25 反射后通过点 P(4,3)，求反射光线的方程【导学号：07742255】7/9思路探究：先求出点 O 关于直线
13、 l 的对称点坐标 A，则由反射原理知 PA 即为反射光线所在直线解 设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为( a，b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得Error!解得Error! A 的坐标为 (4,3)反射光线的反向延长线过 A(4,3)，又由反射光线过 P(4,3) ，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为 y3.由方程组Error! 解得Error!由于反射光线为射线，故反射光线的方程为 y 3 .(x 78)规律方法 1点关于直 线对称的点的求法点 Nx0，y0关于直 线 l：AxByC0 的对称点 Mx，y 2直线关于直 线的对称的求法求直线 l1：A
14、 1xB 1yC 10 关于直线 l：AxBy C0 对称的直线 l2 的方程的方法是转化为点关于直线对称，在 l1 上任取两点 P1 和 P2，求出 P1、P 2 关于直线 l 的对称点，再用两点式求出 l2 的方程.跟踪训练3求点 P( 5,13)关于直线 l：2x 3y30 的对称点 P的坐标解 设 P的坐标为(x 0，y0)，则线段 PP中点 Q 的坐 标为 .(x0 52 ，y0 132 )Q 在直线 l 上，8/92 3 30，x0 52 y0 132即 2x03y 0550.又PPl， k lkPP 1，即 1，即 3x02y 0110.23y0 13x0 5联立解得Error!
15、P的坐标为(11 ，11)当 堂 达 标固 双 基1点(1 ，1)到直线 xy10 的距离是( )A B C D322 22 32 12A依 题意，d ，选 A.|1 1 1|12 12 32 3222平行直线 l1：3xy 0 与 l2：3x y 0 的距离等于 ( )10A1 B0 C D310Al1、l2 的距离 为 d 1.选 A.| 10 0|32 123已知两点 A(3,2)和 B( 1,4)到直线 mxy30 的距离相等，则m_. 【导学号：07742256】或6 由 ，12 |3m 2 3|m2 12 | m 4 3|m2 12解得 m 或 m6.124光线从点 A(3,5)射
16、到 x 轴上，经反射以后过点 B(2,10)，则光线从 A到 B 经过的距离为( )A5 B2 C5 D102 5 10 5C依 题意得 A(3,5)关于 x 轴的对称点为 A(3，5)，由对称性知，光线从 A 到 B 经过的距离即为 A到 B 的距离，|AB| 5 . 3 22 5 102 109/9故选 C.5求与直线 l：5x12y 60 平行且与直线 l 距离为 3 的直线方程.【导学号：07742257】解 与 l 平行的直线方程 为 5x12yb0，根据两平行直线间的距离公式得 3，|b 6|52 122解得 b45 或 b33.所求直线方程为 5x12 y450 或 5x12y33 0.
