1、第 2 课时 奇偶性的应用学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.理解函数的奇偶性的推广对称性知识点一 用奇偶性求解析式思考 函数 f(x)在区间a，b上的解析式与该区间函数图象上的点(x ，y)有什么关系？www . step 中国教育 出 版 梳理 一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式，该等式同时满足两个条件：定义域符合要求；图象上任意一点均满足该式特别地，如果知道函数的奇偶性和一个区间a，b 上的解析式，想求对称区间 b，a上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间b，a上任一点(x，y)，通过关于原点(或 y 轴
2、 )的对称点(x ，y )(或(x，y)满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式知识点二 奇偶性与单调性思考 观察偶函数 yx 2 与奇函数 y 在( ，0)和(0，) 上的单调性，你有何猜想？1xstep .c om 中国 教育 出版 梳理 一般地，若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b 和b，a上具有相同的单调性；若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b 和b，a 上具有相反的单调性知识点三 奇偶性的推广思考 对于定义域内任意 x，若 f(x )f (x)，则函数 f(x)的图象关于(0,0)对称，那么若f(1x)f(1x )，
3、函数 f(x)的图象又有什么特点？梳理 一般地，对于定义域内任意 x，(1)若 f(ax) 2bf( ax)，则 f(x)图象关于点( a，b)对称当 ab0 时，即为奇函数定义(2)若 f(ax) f(ax)，则 f(x)图象关于直线 xa 对称，当 a0 时，即为偶函数定义中 国 教育出 版 类型一 用奇偶性求解析式命题角度 1 已知区间a，b上的解析式，求b，a 上的解析式例 1 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x0 时，f(x) x1，求当 x0 时，f(x) 2xx 2.求 yf(x) 的解析式中国 教 育出版 命题角度 2 已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式来
4、 源: 中 教 例 2 设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x) ，求函数 f(x)，g(x) 的解析式 step . com 1x 1来 源: 中教 反思与感悟 f(x )g(x) 对定义域内任意 x 都成立，所以可以对 x 任意赋值，如1x 1xx.因为 f(x)，g(x)一奇一偶，才能把x 的负号或提或消，最终得到关于 f(x)，g(x) 的二元方程组，从中解出 f(x)和 g(x)跟踪训练 2 设 f(x)是偶函数，g(x) 是奇函数，且 f(x)g(x)x 22x，求函数 f(x)，g(x )的解析式来 源: 中国教 育出版 中国教育出版 w ww. s t ep
5、.co m类型二 奇偶性对单调性的影响命 题 角 度 1 由 x的 取 值 情 况 推 导 fx的 取 值 情 况例 3 设 f(x)是偶函数，在区间a，b 上是减函数，试证 f(x)在区间b，a上是增函数引申探究区间a，b 和b，a关于原点对称(1)若 f(x)为奇函数，且在 a，b上有最大值 M，则 f(x)在 b，a上有最_值_(2)若 f(x)为奇函数， f(x)2 在 a，b上有最大值 M，则 f(x)2 在b，a上有最_值_ 反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设 x1，x 2属于哪个区间同样，求哪个区间上的最值，也设 x 属于哪个区间跟踪训练 3 已知函数 yf(
6、x)是偶函数，当 x0 时，有 f(x) ，则当 x 4，1时，x 1x 2求函数 f(x)的值域 : 中教 中 国教育 出版 中国 教育出版 中国 教育出 版 命 题 角 度 2 由 fx的 取 值 情 况 推 导 x的 取 值 情 况例 4 已知偶函数 f(x)在0，) 上单调递减，f (2)0.若 f(x1)0，则 x 的取值范围是_反思与感悟 若 f(x)在a，b上单调递增，则 x1，x 2 a， b时，可由 f(x1)0. 中国教 育 出版 来 源:中 教 类型三 对称问题 中 国教育出 版 例 5 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：f (x4) f (x)，且 x0,2时，f(
7、x )x，试画出 f(x)的图象中 国教育出 版 :中 教 :中国教育出 版 反思与感悟 奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴) ，而应用对称性与应用奇偶性完全类似跟踪训练 5 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足：f (x4) f(x) ，且 x0,2时，f(x) x.试画出 f(x)的图象 :中国教育出版 中 教 1f(x)x 2|x|( ) 来 源 :中 教 A是偶函数，在(，)上是增函数B是偶函数，在(，)上是减函数C不是偶函数，在(，)上是增函数D是偶函数，且在(0，)是增函数2已知 f(x)是奇函数，且 x0 时，f(x)x1，则 xb step .co
8、 mC|a|b0 中 教 5已知对于函数 f(x)x 2ax 定义域内任意 x，有 f(1x)f(1x) ，则实数 a 等于( )A1 B1C2 D21函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称2(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数 中 国教育出 版 (2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f (x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论3具有奇偶性的函数的单调性的特
9、点：(1)奇函数在a， b和b， a上具有相同的单调性(2)偶函数在a， b和b， a上具有相反的单调性答案精析问题导学知识点一思考 点(x，y)满足 yf(x )知识点二思考 偶函数 yx 2 在(，0)和(0 ，)上的单调性相反；奇函数 y 在(，0)和1x(0，) 上的单调性相同中国教育出版 知识点三思考 设 1xx 1,1x x 2，则有Error!即点(x 1，f( x1)与点(x 2，f(x 2)关于点(1,0)对称题型探究例 1 解 设 x0，f(x )(x)1x 1，又函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，f(x )f(x )x1，当 x0，因为 f(x)是奇函数，所以 f(
10、x)f(x )2(x)(x )22xx 2.因为 yf(x) 是 R 上的奇函数，所以 f(0)0.所以 f(x)Error!例 2 解 f(x )是偶函数，g(x) 是奇函数，f (x )f (x)，g(x )g(x) ，由 f(x)g(x) .1x 1用x 代替 x 得f(x)g(x) ，1 x 1f(x)g(x) ，1 x 1()2，得 f(x) ；1x2 1()2，得 g(x) .来 源 :中国教育出版 xx2 1跟踪训练 2 解 f(x )是偶函数，g(x)是奇函数，来 源:中 教 f(x )f(x) ，g(x )g(x)，由 f(x)g(x) 2x x 2.用x 代替 x 得 f(
11、x)g(x)2x(x) 2，f(x)g(x) 2x x 2， 中 教 ()2，得 f(x)x 2；()2，得 g(x)2x .例 3 证明 设 x1，x 2 是区间b，a上任意两个值，且有 x1x 2.bx 1x 2a，ax 2x 1b.f(x)在a，b 上是减函数，f(x 2)f(x 1)来 源: 中国教 育出 版 f(x)为偶函数，即 f(x )f(x)，f(x 2)f(x 2)，f(x 1)f(x 1)f(x 2)f(x 1)，即 f(x1)f(x 2)函数 f(x)在区间b，a上是增函数引申探究 (1)小 M (2)小 M4解析 (1)设 xb，a，则xa，b，f(x )M 且存在 x
12、0a，b，使 f(x0)M.f(x)为奇函数，f(x )M ，f (x)M，且存在x 0b，a，使 f(x 0)M.中 国教 育 出版 f(x)在b，a上有最小值M.(2)由(1)知，f(x)在a，b上有最大值 M2 时，f (x)在b，a上有最小值M 2.f(x)2 在b，a上有最小值M4. :中教 跟踪训练 3 解 设 1x 10 ，x 2 20，所以 0，即 f(|x 1|)f(2)，|x 1|,20，)，且 f(x)在0，) 上单调递减www. step .co m|x 1|0 f( x1)f(2x3) f (2x3) x12x3，解得 x ，23原不等式解集为x| x 23例 5 解 f(x )是奇函数，f(x 4)f(x )f(x) ，f(x)关于直线 x2 对称反复利用 f(x)关于原点对称又关于直线 x2 对称，可画出 f(x)的图象如图：跟踪训练 5 解 f(x )是偶函数，f(x)的图象关于 y 轴对称又f(x 4)f(x )，w ww. step.co mf(x)关于点 C(2,0)对称反复利用 f(x)关于(2,0)对称又关于 y 轴对称，可画出的图象如图：当堂训练中 国教育出版 1D 2.A 3.B 4.C 5.Ds te p. co m
