1、函数的概念与应用【考点精讲】一、映射映射的特征（1）特殊性：映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应.故判断一个对应是否为映射的方法是：首先检验集合 A 中的每个元素是否在集合 B 中都有象；然后看集合 A 中每个元素的象是否唯一。判断下列关系是否为映射关系？（2）方向性：映射是有方向性的，即 A 到 B 的映射与 B 到 A的映射是不同的。【注意】（1） “对应关系”重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中” ；对应关系未必都能用解析式表达。（2）集合 A 中的每一个元素都有象，且唯一；集合 B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一。（
2、3）若对应关系为 f，则 a 的象记为 f（a） 。二、函数1. 函数的概念函数是一种特殊的映射：设 A、B 都是非空的数的集合，f：xy 是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射f：AB 就叫做函数，记作 yf（x） ，其中 xA，yB 。2. 函数的定义域和值域函数的定义域：在函数 yf（x） ， 中， 组成的集合A 叫做函数 yf（x）的定义域。值域：若 A 是函数 yf（x）的定义域，则对于 A 中的 ，都有一个输出值 y 与之 ，则将组成的集合称为函数的值域。3. 函数的单调性：对于函数定义域内任意两个 、 ，1x2当 时，若有 函数是（_，_）上的增21x)(2
3、1xff函数当 时，若有 函数是（_，_）上的减ff函数应用：若 是增函数， _)(xfy121)(xfxf 2应用：若 是减函数， _4. 函数的奇偶性定义域关于原点对称，若有 是偶函数)()(fff定义域关于原点对称，若有 是奇函数xx5. 有理指数幂（1）分数指数幂的表示方法正分数指数幂： （ ） 。nma1,0*nNa正数的负分数指数幂： )1,0(1* naamnn（2）有理指数幂的运算性质。),(Qsrsrsr 。0)(a。,bbrr6. 对数的性质与运算法则（1）对数的性质； 。Nalog )10(laNa且对数的重要公式换底公式： ；）均 大 于 零 且 不 等 于,logba
4、x（2）对数的运算法则如果 那 么且 ,0,10NMa；aMNllog)(；aaogl；nl。Maamlog7. 函数的零点（1）定义：对于函数 ，我们把使 的实数 x)(Dxfy0)(xf叫做函数的零点。（2）二分法：如果函数 在区间a，b 上的图象是连续f不断的曲线，并且有 ，那么，函数 在区间)(af0)(fy（a ，b）内有零点，即存在 ，使 ，这个 也就是方),(x0)(xf0x程 的根。0)(xf【典例精析】例题 1 由等式定义映射4323143234 )1()()()( bxbxaxxa ，则 （ ）324),(bf,fA. 10 B. 7 C. 1 D. 0思路导航：仔细读题，
5、根据已掌握的映射的定义找出对应关系，再根据对应关系解题。答案：由定义可知，4324321341()()(1)()xxbxbx令 得， ，023b所以 ，即 ，选 D。12340,20f例题 2 定义在 R 上的函数 f（x ）满足 f（x）则 f（2013）的值为_。log(),10,xff思路导航：求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值。若给出函数值求自变量值，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围。答案：0例题 3 （陕西卷文 高考）设 则lg,0()1xf_。(2)f思路导航： 2()(10
6、)()l20fff答案：2例题 4 函数 在定义域内零点的个数为（ ）xxfln2)(A. 0 B. 1 C. 2 D. 3思路导航：先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数 ， 的图象求出方程21xyxyln)0(的根的个数，即为函数零点的个数。答案：解：由题意，函数 的定义域为（ 0，+ ） ；)(xf由函数零点的定义， 在（0，+ ）内的零点即是方程的根。 0ln2x令 ， ，在一个坐标系中画出两个函数的21yxyln)(图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点。故选 C。随堂练习：若函数 的值域是（1，3 ） ，则函数)(x
7、fy的值域是（ ）)3(21)(xfxFA （-4,2 ） B. （-7,11） C. （-5,-1 ） D. （1,5） 思路导航：由函数 的值域与 相同，代入函数 中，)(xf )3(xf )(xF容易求得 的值域。)(x答案：1 3，f62 2，)3512 1，(f即 的值域为（5，1） 。)(xF故答案为：（5，1）【总结提升】1. 指数式 abN 与对数式 logaNb 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键。2. 指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积。3. 注意对数
8、恒等式、对数换底公式及等式 logab，log ab 在解题中的灵活应用。namlognm 1logba4. 可以利用数形结合法求函数的零点：函数 的零点是图象与 x 轴交点的横坐标，如果一个函数)(xfy能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象交点情况，对函数的零点作出判断。例题 若函数 的定义域为 R，则实数 m 的取34)(2mxxf值范围是（ ）A. B. C. D. ),(),0(),()43,0错解： 的定义域为 R，对任意 R，分母 恒xf x02x成立。即二次方程 无实根，342mx，解得 ，故选 B。01624分析：上述解法漏掉了 这种特殊情况，当 时，同样可0m以满足分母 。342x正解：分类求解，当 时，二次方程 无实根。342x由 ，得 。0162m4当 时，分母 ，满足条件。032x因此 。故选 D。43
