1、复数的几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P52P 53 的内容，回答下列问题(1)根据复数相等的定义，复数 zabi(a，bR)与有序实数对 (a，b)之间有什么对应关系？提示：一一对应关系(2)有序实数对(a，b)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应关系(3)通过以上 2 个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？提示：一一对应关系2归纳总结，核心必记(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义复数
2、zabi(a，bR)一一对应复平面内的点 Z(a，b)；复数 zabi(a，bR)一一对应平面向量 .(3)复数的模复数 zabi(a，bR)对应的向量为 ，则 的模叫做复数 z 的模，记作|z| 或|a bi|，且 |z| .问题思考(1)复平面的虚轴的单位长度是 1，还是 i?提示：复平面的虚轴的单位长度是 1，而不是 i.(2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？提示：是(3)若复数(a1)(a1)i(aR)在复平面内对应的点 P 在第四象限，则 a 满足什么条件？提示：a 满足即10 ，得 m5，此 时 z 在复平面内对应的点位于 x 轴上方(2)由 m25m6m 22m15，得 m3，此时
3、z 在复平面内对应的点位于直线 yx上思考 与复数 zabi(a，bR)对应的平面向量是什么？名师指津：与复数 zabi(a，b R)对应的平面向量 ( a， b)讲一讲2(1)已知平面直角坐标系中 O 是原点，向量 ， 对应的复数分别为23i，32i，那么向量 对应的复数是( )A55i B55iC55i D55i(2)在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2i ，12i.求向量 ， ， 对应的复数；若 ABCD 为平行四边形，求 D 对应的复数尝试解答 (1)向量 ， 对应的复数分别为 23i ，32i，根据复数的几何意义，可得向量 (2，3)， ( 3,2) 由向量减法的坐标
4、运算可得向量 (23，32)(5 ， 5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量 对应的复数是 5 5i.(2)设 O 为坐标原点，由复数的几何意义知：(1,0)， (2,1)， (1,2)，所以 (1,1)， (2,2) ， ( 3,1)，所以 ， ， 对应的复数分别为 1i，22i ，3i.因为 ABCD 为平行四边形，所以 (3,1)， (1,0)( 3,1)(2,1) 所以 D 对应的复数为2i.答案 (1)B(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数 对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应
5、的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化练一练2在复平面内，O 是原点，若向量 对应的复数 z 的实部为 3，且| |3，如果点A 关于原点的对称点为点 B，求向量 对应的复数解：根据题意设复数 z3bi(b R)，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得 (3， b)，已知| |3，即3，解得 b0，故 z3，点 A 的坐标为(3,0)因此，点 A 关于原点的对称点为 B(3,0)，所以向量 对应的复数为 z3.思考 复数 zabi(a，bR)的模是什么？其模的几何意义是什么？名师指津：复数 zabi 的模
6、|z|，其几何意 义是点(a， b)到坐标原点的距离讲一讲3已知复数 z1i，z 2 i.(1)求|z 1|及| z2|并比较大小；(2)设 z C，满足条件|z| |z 1|的复数 z 对应的点 Z 的轨迹是什么图形？尝试解答 (1)|z1|i| 2 ，|z2|31，所以| z1|z2|.(2)法一：设 z xyi(x ，yR)，则点 Z 的坐标为(x ，y)由|z| |z 1|2 得 2，即 x2y 24.所以点 Z 的轨迹是以原点为圆心， 2 为半径的圆法二：由|z| z1|2 知|OZ | 2( O 为坐标原点) ，所以 Z 到原点的距离为 2.所以 Z 的轨迹是以原点为圆心， 2 为
7、半径的圆(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小(2)根据复数模的计算公式| abi|可把复数模的问题转化为实数问题解决(3)根据复数模的定义| z| OZ | ，可把复数模的 问题转化 为向量模(即两点的距离)的问题解决练一练3已知复数 z3ai，且| z|0，cos 23.答案：(3，)4设 zlog 2(1m)ilog(3 m)(mR)(1)若 z 在复平面内对应的点位于第三象限，求 m 的取值范围；(2)若 z 在复平面内对应的点在直线 xy10 上，求 m 的值解：(1)由已知，得即解得10，且 3m0 ，m1.题组 2 复数与平面向量的对应关系5向量 对应的复数为 z13
8、2i ， 对应的复数 z21i ，则| |为( )A. B. C2 D.解析：选 A 因为向量 对应 的复数为 z132i， 对应的复数为 z21i ，所以 (3,2)， (1 ，1) ，则 (2,1)，所以| |.6向量 (，1)按逆时针方向旋转 60所对应的复数为( )Ai B2iC1i D1i解析：选 B 向量 (，1)， 设其方向与 x 轴正方向夹角为 ，tan ，则 30 ，按逆时针旋转 60后与 x 轴正方向 夹角为 90，又| |2，故旋转后对应的复数为 2i，故选 B.7在复平面内，O 是原点，已知复数 z112i，z 21i，z 332i ，它们所对应的点分别是 A，B，C，
9、若 x y (x，yR)，求 xy 的值解：由已知，得 (1,2)， (1，1)， (3，2) ，所以 x y x (1,2)y(1，1)( x y,2xy)由 x y ，可得解得所以 xy5.题组 3 复数模的计算及应用8已知复数 z3i，则复数的模 |z|是( )A5 B8 C6 D.解析：选 D |z|.9已知 00,3m 70.复数 z(2 m2)(3m7)i 在复平面上对应的点位于第四象限2复数 z1a2i，z 22 i，如果|z 1|z2|，则实数 a 的取值范围是( )A(1,1) B(1，)C(0，) D(，1) (1，)解析：选 A |z1|，| z2|，1a1.3已知复数
10、z 对应的点在第二象限，它的模是 3，实部是，则 z 为( )A2i B2iC.2i D.2i解析：选 A 设 zx yi(x，yR)， 则 x，由|z| 3，得( )2y 29，即 y24，y2.复数 z 对应的点在第二象限，y2.z2i.4已知复数 z 满足| z|22|z |30，则复数 z 对应点的轨迹为( )A一个圆 B线段C两点 D两个圆解析：选 A |z|22| z|30，(|z|3)(|z|1)0，|z|3，表示一个圆，故选 A.5复数 z1cos isin (2) 的模的取值范围为_解析：|z|，2， 1cos 1.022cos 4.|z|(0,2)答案：(0,2)6已知 z
11、|z|1i，则复数 z_.解析：法一：设 zxy i(x，yR)，由题意，得 x yi1i，即(x)yi1i.根据复数相等的充要条件，得解得 zi.法二：由已知可得 z(|z |1)i，等式两边取模，得|z |.两边平方，得|z| 2|z| 22|z| 11|z| 1.把|z| 1 代入原方程，可得 zi.答案：i7在复平面内画出复数 z1i，z 21，z 3i 对应的向量 ，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点 Z1，Z2，Z3 的坐标分别为 3，(1,0)， ，则向量 如图所示|z1|31，|z2|1|1，|z 3|31，如图，在复平面 xOy 内，点 Z1，Z3 关于实轴对称，且 Z1，Z2，Z3 三点在以原点为圆心， 1为半径的圆上8已知复数 z2cos (1sin )i(R)，试确定复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线解：设复数 z 与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知由 sin2cos 21 可得(x 2) 2(y1) 21.所以复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1 为半径的圆
