1、第二章 函数与导数第 11 课时 导数的概念与运算(对应学生用书( 文)、(理)28 29 页)考情分析 考点新知 导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象，主要考查求导数的基本公式和法则. 对导数几何意义的考查几乎年年都有，往往以导数几何意义为背景设置成导数与解析几何的简单综合 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义. 能根据基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1. (选修 22P7 例 4 改编)已知函数 f(x)1 ，则 f(x)在区间1，2， 上的平均变1x 12， 1化率分别为_答案： ，212解析： ；f（2） f（1）2 1 122.f
2、（1） f（12）1 122. (选修 22P12 练习 2 改编)一个物体的运动方程为 s1 tt 2，其中 s 的单位是 m，t的单位是 s，那么物体在 3 s 末的瞬时速度是_m/s.答案：5解析：s(t)2t1，s(3)2315.3. (选修 22P26 习题 5)曲线 y xcosx 在 x 处的切线方程为_12 6答案：xy 012 32解析：设 f(x) xcosx，则 f sin 1，故切线方程为 y x ，12 (6) 12 6 (12 32) 6化简可得 xy 0.12 324. (选修 22P26 习题 8)已知函数 f(x) ，则 f(x)的导函数 f(x)_（x 2）
3、2x 1答案：x2 2x 8（x 1）2解析：由 f(x) ，得x2 4x 4x 1f(x) .（2x 4）（x 1） （x2 4x 4）1（x 1）2 x2 2x 8（x 1）25. (选修 22P20 练习 7)若直线 y xb 是曲线 y lnx(x0)的一条切线，则实数12b_答案：ln21解析：设切点(x 0，lnx 0)，则切线斜率 k ，所以 x02.又切点(2 ，ln2)在切线 y1x0 12xb 上，所以 bln21.121. 平均变化率一般地，函数 f(x)在区间x 1，x 2上的平均变化率为 f（x2） f（x1）x2 x12. 函数 f(x)在 xx 0 处的导数设函数
4、 f(x)在区间 (a，b) 上有定义，x 0(a，b) ，当 x 无限趋近于 0 时，比值 y x_，无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在点 xx 0 处可导，并称该常数f（x0 x） f（x0） xA 为函数 f(x)在点 xx 0 处的导数，记作 f(x0)3. 导数的几何意义导数 f(x0)的几何意义就是曲线 f(x)在点(x 0，f(x 0)的切线的斜率4. 导函数(导数)若 f(x)对于区间(a ，b) 内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数 ，记作 f(x)5. 基本初等函数的导数公式(
5、1) C0 (C 为常数)；(2) (xn)nx n1 ；(3) (sinx) cosx；(4) (cosx)sinx；(5) (ax)a xlna(a0 且 a1)；(6) (ex)e x；(7) (logax) logae _(a0，且 a1) ；1x 1xlna(8) (lnx) .1x6. 导数的四则运算法则若 u(x)，v(x)的导数都存在，则(1) (uv)uv；(2) (uv)uvuv ；(3) ；(uv) uv uvv2(4) (mu)mu (m 为常数)备课札记题型 1 平均变化率与瞬时变化率例 1 某一运动物体，在 x(s)时离出发点的距离( 单位：m)是 f(x) x3x
6、 22x.23(1) 求在第 1s 内的平均速度；(2) 求在 1s 末的瞬时速度；(3) 经过多少时间该物体的运动速度达到 14m/s ?解：(1) 物体在第 1 s 内的平均变化率 (即平均速度)为 m/s.f（1） f（0）1 0 113(2) yx f（1 x） f（1）x23（1 x）3 （1 x）2 2（1 x） 113x63x (x) 2.当 x0 时， 6，所以物体在 1 s 末的瞬时速度为 6m/s.23 yx(3) yx f（x x） f（x）x23（x x）3 （x x）2 2（x x） (23x3 x2 2x)x2x 22x2 (x) 22x xx.23当 x0 时，
7、2x 22x2，令 2x22x214，解得 x2 s，即经过 2 s 该物体yx的运动速度达到 14 m/s.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）在 F1 赛车中，赛车位移与比赛时间 t 存在函数关系 s10t5t 2(s 的单位为 m，t 的单位为 s)求：(1) t20s ，t0.1s 时的 s 与 ；st(2) t20s 时的瞬时速度解：(1) ss(20t)s(20)10(20 0.1)5(200.1) 21020520 221.05 m. 210.5 m/s.st 21.050.1(2) 由导数的定义，知在 t20s 的瞬时速度为v(t) st 10（t t） 5（t t）2 10t
8、 5t2t 5t 10t10.5t2 10tt 10tt当 t0，t20 s 时，v 102010210 m/s.答：t20s，t0.1 s 时的 s 为 21.05 m， 为 210.5 m/s，st即在 t20s 时瞬时速度为 210 m/s.题型 2 利用导数公式、求导法则求导例 2 求下列函数的导数(1) y x 3；1x(2) ye xlnx；(3) ytanx；(4) yx ；(x2 1x 1x3)(理)(5) y .ln（2 3x）x解：(1) y x 3x 2.12 32(2) ye x .(3) y .(lnx 1x) 1cos2x(4) y3x 2 .(5) y .2x3
9、2x（2 3x） ln（2 3x）x2备 选 变 式 （教 师 专 享 ）求下列函数的导数(1) y(2x 23)(3x2)；(2) y ；lnxx(3) y ；11 x 11 x(4) yxsin cos ；x2 x2(理)(5) y2 xln(15x)解：(1) y18x 28x9；(2) y ；1 lnxx2(3) y ；2（1 x）2(4) y1 cosx；12(5) y2 xlnx .55x 1题型 3 利用导数的几何意义解题例 3 已知函数 f(x) ，且 f(x)的图象在 x1 处与直线 y2 相切axx2 b(1) 求函数 f(x)的解析式；(2) 若 P(x0，y 0)为 f
10、(x)图象上的任意一点，直线 l 与 f(x)的图象切于 P 点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解：(1) 对函数 f(x)求导，得f(x) .a（x2 b） ax（2x）（x2 b）2 ab ax2（x2 b）2 f(x)的图象在 x1 处与直线 y2 相切， 即 f（1） 0，f（1） 2，) ab a 0，1 b 0，a1 b 2，) a4，b1， f(x) .4xx2 1(2) f(x) ， 直线 l 的斜率 kf(x 0) 4 ，4 4x2（x2 1）2令 t ，t(0，1，则k4(2t 2t) 8 2 ，(t 14) 12 k . 12，4变 式 训 练(1) 已知曲线 y x
11、3 ，求曲线过点 P(2，4) 的切线方程；13 43(2) 求抛物线 yx 2 上点到直线 xy20 的最短距离解：(1) 设曲线 y x3 与过点 P(2，4) 的切线相切于点 A ，13 43则切线的斜率 kx ，切线方程为 y x (xx 0)，即 yx x x .20 20 202330 43因为点 P(2，4)在切线上，所以 42x x ，即 x 3x 40，202330 43 30 20解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 4xy40 或 xy20.(2) 由题意得，与直线 xy20 平行的抛物线 yx 2 的切线对应的切点到直线xy20 距离最短，设切点为(x 0，x
12、)，则切线的斜率为 2x01，所以 x0 ，切点为2012，切点到直线 xy20 的距离为 d .(12，14) |12 14 2|2 7281. (2013大纲)已知曲线 yx 4ax 21 在点( 1，a2) 处切线的斜率为 8，则a_答案：6解析：y4x 32ax，由题意，ky| x1 42a8，所以 a6.2. (2013南通一模)曲线 f(x) exf(0)x x2 在点(1，f(1)处的切线方程为f（1）e 12_答案：yex12解析：由已知得 f(0) ，f（1）e f(x) ex x x2，f（1）e f（1）e 12 f(x) ex x，f（1）e f（1）e f(1) e
13、1，即 f(1)e，f（1）e f（1）e从而 f(x)e xx x2，f(x)e x1x，12 f(1)e ，f(1)e，12故切线方程为 y e(x1) ，即 yex .(e 12) 123. (2013南京三模)记定义在 R 上的函数 yf(x)的导函数为 f(x)如果存在 x0a ，b，使得 f(b)f(a)f(x 0)(ba)成立，则称 x0 为函数 f(x)在区间a，b上的“中值点” ，那么函数 f(x)x 3 3x 在区间2，2上“中值点”的个数为 _答案：2解析：f(2) 2， f(2)2， 1，f(x)3x 231，得f（b） f（a）b ax 2，2，故有 2 个2334.
14、 (2013盐城二模 )若实数 a、b、c、d 满足 1，则(a c) 2(bd) 2 的a2 2lnab 3c 4d最小值为_答案： (1ln2) 225解析： 1，a2 2lnab 3c 4d ba 22lna，d3c 4， 点(a，b) 在曲线 yx 22lnx 上，点(c，d) 在曲线y3x4 上，(ac) 2(b d) 2 的几何意义就是曲线 yx 22lnx 到曲线 y3x4 上点的距离最小值的平方考查曲线 yx 22lnx(x0)平行于直线 y3x4 的切线， y2x ，令 y2x 3，解得 x2， 切点为(2，42ln2)，该切点到直线2x 2xy3x4 的距离 d 就是所要求
15、的两曲线间的最小距离，故|32 4 2ln2 4|32 （ 1）2 2 2ln210(ac) 2(b d) 2 的最小值为 d2 (1ln2) 2.251. 已知函数 f(x)e xf(0)x x2，则 f(1)_12答案：e解析：由条件，f(0)e 0f(0)0 021，则 f(x)e xx x2，所以 f(x)12 12e x1x，所以 f(1)e 1 11e.2. 已知曲线 C1：yx 2 与 C2：y(x2) 2，直线 l 与 C1、C 2 都相切，则直线 l 的方程是_答案：y0 或 y4x4解析：设两个切点的坐标依次为(x 1，x )，(x 2，(x 22) 2)，由条件，得 解得
16、21或 从而可求直线方程为 y0 或 y4x4.x1 0，x2 2) x1 2，x2 0，)3. 已知函数 f(x)xlnx，过点 A 作函数 yf(x)图象的切线，则切线的方程为(1e2， 0)_答案：xy 01e2解析：设切点 T(x0，y 0)，则 kATf(x 0)， lnx 01，即 e2x0lnx 010，x0lnx0x0 1e2设 h(x)e 2xlnx1，当 x0 时 h(x)0 ， h(x)是单调递增函数， h(x)0 最多只有一个根又 h e 2 ln 10， x0 .由 f(x 0)1 得切线方程是(1e2) 1e2 1e2 1e2xy 0.1e24. 已知函数 f(x)
17、lnx，g(x) ax2bx(a0) ，设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)的图象12C2 交于两点 P、 Q，过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴垂线分别交 C1、C 2 于点 M、N，问是否存在点 R，使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线互相平行？若存在，求出点 R 的横坐标；若不存在，请说明理由解：设点 P、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且 0x 2x 1，则点 M、N 的横坐标均为 .x1 x22 C 1 在点 M 处的切线斜率为 k1 |x ，1x x1 x22 2x1 x2C2 在点 N 处的切线斜率为 k2axb|x b，x
18、1 x22 a（x1 x2）2假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线互相平行，则 k1k 2，即 b.2x1 x2 a（x1 x2）2 P、Q 是曲线 C1、C 2 的交点， 两式相减，得 lnx1lnx 2 ，即 lnx1lnx 2(x 1x 2) ，a（x1 x2）2 b lnx 1lnx 2 ，即 ln .2（x1 x2）x1 x2 (x1x2)2(x1x2 1)(x1x2 1)设 u 1，则 lnu ，u1(*)x1x2 2（u 1）（u 1）令 r(u) lnu ，u1，2（u 1）（u 1）则 r(u) .1u 4（u 1）2 （u 1）2u（u 1）2 u1，
19、 r(u) 0， r(u)在(1 ，)上单调递增，故 r(u) r(1) 0，则 lnu ，2（u 1）（u 1）这与上面(*)相矛盾，所以，故假设不成立故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行1. 求函数的导数有两种方法，一是利用导数定义，这种方法虽然比较复杂，但需要了解；二是利用导数公式和运算法则求导数，这是求函数导数的主要方法，其关键是记住公式和法则，并适当进行简便运算2. 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标(2) 切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点(3) 与导数几何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键是要善于进行等价转化请 使 用 课 时 训 练 （B）第 11课 时 （见 活 页 ）.备课札记
