1、第二章 函数与导数第 7 课时 指数函数、对数函数及幂函数(1) ( 对应学生用书(文)、(理)2021 页)考情分析 考点新知 幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，要引起重视. 对数式和指数式的相互转化，应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简是研究指、对数函数的前题，高考的涉及面比较广 理解指数和指数函数的概念，会进行根式与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的性质和运算法则，并能运用它们进行化简和求值. 理解对数的概念，熟练地进行指数式和对数式的互化，掌握对数的性质和对数运算法则，并能运用它们进行化简和求值., 1. (必修 1P63 习题 2 改编)用分数指数幂表示下列各式(a0，b
2、0)：(1) _；(2) _；3a2 aaa(3) 2 _(3a) ab3答案：(1) a (2) a (3) a b23 78 76 32 2. (必修 1P80 习题 6 改编)计算：(lg5) 2lg2 lg50_答案：1解析：原式(lg5) 2lg2(1lg5)lg5(lg2lg5)lg21.3. (必修 1P80 习题 12 改编)已知 lg6a ，lg12b，则用 a、b 表示 lg24_答案：2ba解析：lg24lg 2lg12lg62ba.14464. (必修 1P63 习题 6 改编)若 aa 1 3，则 a a _32 32答案：4解析：a a (a a )(aa 1 1)
3、 (a a )2aa 1 21， (a a )32 32 12 12 12 12 12 121 ， 原式(1)(31)4.5. 已知实数 a、b 满足等式 a b，下列五个关系式：(12) (13) 0ba； a b0； 0a b； ba0； ab.其中所有不可能成立的关系式为_(填序号)答案：解析：条件中的等式2 a=3balg2=blg3若 a0，则 lg23b（0，1） （1）当 a0 时，有 ab0，即关系式成立，而不可能成立；（2）当 a0 时，则 b0，ba，即关系式成立，而不可能成立；若 a=0，则 b=0，故关系式可能成立1. 根式(1) 根式的概念根式的概念 符号表示 备注如
4、果 ax n，那么 x 叫做 a 的 n 次实数方根 n1 且 nN *当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个正数，负数的 n 次实数方根是一个负数na0 的 n 次实数方根是 0当 n 为偶数时，正数的 n 次实数方根有两个，它们互为相反数na 负数没有偶次方根(2) 两个重要公式 nan a（n为 奇 数 ），|a| a（a 0）， a（a0，m 、nN *，n1)；mn nam 正数的负分数指数幂是 a (a0，m 、n N*，n1)；mn 1amn 1nam 0 的正分数指数幂是 0，0 的负分数指数幂无意义(2) 有理指数幂的运算性质 a sata st (a0，t、sQ)；
5、 (a s)t ast(a0，t、sQ)； (ab) ta tbt(a0，b0，t Q)3. 对数的概念(1) 对数的定义如果 abN，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数(2) 几种常见对数对数形式 特点 记法一般对数 底数为 a(a0 且 a1) logaN常用对数 底数为 10 lgN自然对数 底数为 e lnN4. 对数的性质与运算法则(1) 对数的性质 alog aNN； log aaNN(a0 且 a1)(2) 对数的重要公式 换底公式：log bN (a、b 均大于零且不等于 1)； log ab .logaNlog
6、ab 1logba(3) 对数的运算法则如果 a0 且 a 1，M0，N0，那么 log a(MN) logaMlog aN； log a log aMlog aN；MN log aMnnlog aM(nR) ； log amMn logaM.nm备课札记题型 1 指数幂的运算例 1 化简下列各式(其中各字母均为正数 )：(1) 1.5 08 0.25 ( )6 ；13 ( 76) 42 32 3 (23)23(2) ；（a23 b 1） 12a 12b13 6ab5(3) .a43 8a13 b4b23 23ab a23 (1 23ba) 3a解：(1) 原式 2 2 2 233 21081
7、10.(23)13 34 14 (23)13 (2) 原式a 13b12 a 12b13 a16 b56 a b .13 12 16 12 13 56 1a(3) 原式 a a a a.a13 （a 8b）（2b13 ）2 2b13 a13 （a13 ）2a13 a13 2b13 13 a13 （a 8b）a 8b 13 13 备 选 变 式 （教 师 专 享 ）化简下列各式：(1) 125 343 ；23 (12) 213 (127) 13(2) a b2 (3a b1 )(4a b3 ) .5613 12 23 12 解：(1)33；(2) .5ab4ab2题型 2 对数的运算例 2 求下
8、列各式的值(1) log5352log log 5 log 514；12 2150(2) log2 log3 log5 .125 18 19解：(1) 原式log 5 2log 2 log 55312.355014 1212 (2) 原式 12.lg125lg2lg18lg3lg19lg5 2lg5lg2 3lg2lg3 2lg3lg5变 式 训 练(1) 计算：lg lg lg12.5log 89log278；12 58(2) 已知 log189a ，18 b5，用 a、b 表示 log3645.解：(1) 原式lg 1 . (2) 由题意，得 blog 185，故(125812.5) lg
9、9lg8 lg8lg27 2lg33lg3 13log3645 .log1845log1836 log189 log185log18324 log189 a b2 a题型 3 指数与对数的混合运算例 3 已知实数 x、y、z 满足 3x4 y6 z1.(1) 求证： ；2x 1y 2z(2) 试比较 3x、4y、6z 的大小(1) 证明：令 k 3 x4 y6 z1，则 xlog 3k，ylog 4k， zlog 6k，于是 log k3， log k4， log k6，从而1x 1y 1z 2log k3log k4log k32log k4log k362log k6，等式成立2x 1y(
10、2) 解：由于 k1，故 x、y、z 0. 1；3x4y 3log3k4log4k3lgklg34lgklg4 3lg44lg3 lg43lg34 lg64lg81 1，4y6z 2log4k3log6k2lgklg43lgklg6 2lg63lg4 lg62lg43 lg36lg64故 3x4y6z.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）若 xlog341，求 的值23x 2 3x2x 2 x解：由 xlog341，知 4x3， 23x 2 3x2x 2 x (2x 2 x)(22x 2 2x 1)2x 2 x （22x 1）（22x 2 2x 1）22x 1 .（3 1）(3 13 1)3
11、1 1361. (2013四川)计算： lg lg _5 20答案：1解析：lg lg lg( )lg10 1.5 20 5 202. (2013长春调研)已知函数 f(x) 则 f(2log 23)_(12)x ， x 4，f（x 1）， )答案：124解析：由 34，所以 f(2log 23)f(3log 23) (12)3 log23(12)24 .log2 1243. (2013新课标) 已知 alog 36，blog 510，clog 714，则 a、b、c 的大小关系为_答案：abc解析：alog 361log 32，b1log 52，c1log 72，由于 log32log52l
12、og72，所以abc.4. (2013温州二模)已知 2a3 b6 c，若 (k，k1) ，则整数 k 的值是_a bc答案：4解析：设 2a3 b6 ct，则 alog 2t，blog 3t，clog 6t，所以 a bc log2tlog6t log3tlog6t log 26log 362log 23log 32.因为 2lge0，知 ab.又 clge，作商比较知 cb，故 acb.2. 已知三数 xlog 272，xlog 92，xlog 32 成等比数列，则公比为_答案：3解析： 三数 xlog 272，x log 92，xlog 32 成等比数列， (xlog 92)2(xlog
13、 272)(xlog 32)，即 (xlog 32)，解得(x 12log32)2 (x 13log32)x log32， 公比 q 3.14 x log32x 12log323. 设 a1，若对任意的 x a，2a，都有 ya，a 2满足方程 logaxlog ay3，则 a的取值范围是_答案：a2解析： a1，xa，2a， log ax1 ， 1log a2又由 ya ，a 2，得 logay1 ，2， log ay3log ax， 3log ax1 ，2 ， log ax1 ， 2， 1log a22，log a21，即 a2.4. 已知 m、n 为正整数，a0 且 a1，且logam
14、loga log a log a log amlog an，求 m、n 的值(1 1m) (1 1m 1) (1 1m n 1)解：左边log amlog a log a log a log a(m 1m) (m 2m 1) ( m nm n 1)(mm 1mm 2m 1 m nm n 1)log a(mn) ， 已知等式可化为 loga(mn)log amlog anlog amn.比较真数得 mnmn，即(m1)(n1) 1. m、n 为正整数， 解得m 1 1，n 1 1，) m 2，n 2.)1. 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用请 使 用 课 时 训 练 （B）第 7课 时 （见 活 页 ）.备课札记
