1、第二章 函数与导数第 8 课时 指数函数、对数函数及幂函数(2) ( 对应学生用书(文)、( 理)2223 页)考情分析 考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质，以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用 了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点. 知道指数函数是一类重要的函数模型.1. (必修 1P110 复习 9 改编)函数 ya x3 3 恒过定点_ 答案：(3，4)解析：当 x3 时，f(3)a 33 34， f(x)必过定点(3，4)2. (必修 1P110 复习 3
2、改编)函数 y 的定义域是_ 8 16x答案： ( ，34解析：由 816 x0，所以 24x2 3，即 4x3，定义域是 .( ，343. (必修 1P67 练习 3)函数 f(x)(a 21) x 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是_答案：( ，1)(1 ， )2 2解析：由 0a 211，得 1a 22，所以 1|a| ，即 a1 或 1a .2 2 24. (必修 1P71 习题 13 改编)已知函数 f(x)a 是奇函数，则常数 a_.14x 1答案：12解析：由 f(x)f(x) 0，得 a .125. (原创) 函数 y1 |x1| 的值域为_. (45)答案：(1，2解析
3、：设 y u，u|x1|.(45)由于 u0 且 y u 是减函数，(45)故 00，a1)叫做指数函数，函数的定义域是 R2. 指数函数的图象与性质a1 01 ；x 0 时，01性质(3) 在 (，)上是增函数(3) 在(，)上是减函数备课札记题型 1 指数型函数的定义域、值域例 1 已知 x3，2，求 f(x) 1 的最小值与最大值14x 12x解：f(x) 14 x 2x 12 2x 2 x 1 2 . x3，2, 2 x 8.则14x 12x (2 x 12) 34 14当 2x ，即 x1 时，f(x) 有最小值 ；当 2x 8，即 x3 时，f(x) 有最大值 57.12 34备
4、选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 9x103 x90，求函数 y 4 2 的最大值和最小值(14)x 1 (12)x 解：由 9x103 x90，得 (3x1)(3 x9)0，解得 13 x9， 0x2.令( )xt，则 t1，y4t 24t 24(t )21，12 14 12当 t 即 x1 时，y min1；当 t1 即 x0 时，y max2.12题型 2 指数型函数的图象例 2 已知函数 f(x)|2 x1 1|.(1) 作出函数 yf(x) 的图象；(2) 若 af(c)，求证：2 a2 c1，则由 f(a)f(c)，得 12 a1 2c1 1，即 2c1 2 a1 0 且 a1
5、)(1ax 1 12)(1) 求函数 f(x)的定义域；(2) 讨论函数 f(x)的奇偶性；(3) 求 a 的取值范围，使 f(x)0 在定义域上恒成立解：(1) 由于 ax10，则 ax1，所以 x0，所以函数 f(x)的定义域为 x|xR，且 x0 (2) 对于定义域内任意的 x，有f(x) ( )(x) 3 x3 x3 x3f(x)， 1a x 1 12 ( ax1 ax 12) ( 1 1ax 1 12) ( 1ax 1 12)所以 f(x)是偶函数(3) 当 a1 时，对 x0，所以 ax1，即 ax10，所以 0.1ax 1 12又 x0 时，x 30，所以 x3 0，(1ax 1
6、 12)即当 x0 时，f(x)0.由(2)知，f(x)是偶函数，即 f(x) f(x) ，则当 x0 ，有 f(x)f(x)0 成立综上可知，当 a1 时，f(x)0 在定义域上恒成立 当 00 时，00，有 f(x)f(x)1.变 式 训 练设 a0，f(x) 是 R 上的偶函数3xa a3x(1) 求 a 的值；(2) 判断并证明函数 f(x)在0，) 上的单调性；(3) 求函数的值域解：(1) 因为 f(x)为偶函数，故 f(1)f(1)，于是 3a ，即 .3a a3 13a 9 a23a 9a2 13a因为 a0，故 a1.(2) 设 x2x 10，f(x 1)f(x 2)(3x
7、23x 1)( 1) 13x2 x1因为 3x 为增函数，且 x2x 1，故 3x23x 10.因为 x20，x 10，故 x2x 10，于是 1，即 10，所以 f(x1)13x2 x1 13x2 x1f(x 2) 0，所以 f(x)在0 ， )上为增函数(3) 因为函数为偶函数，且 f(x)在0，) 上为增函数，故 f(0)2 为函数的最小值，于是函数的值域为2， )1. (2013西安一检)函数 ya x (a0，a1)的图象可能是_(填序号)1a答案：解析：当 a1 时，ya x 为增函数，且在 y 轴上的截距 0f(x)1 的是_(填序号) f(x) lnx； f(x) e x； f
8、(x) e xx； f(x)e xx.答案：解析：若 f(x) exx，则 f(x1)e x1 x1ee xx1e xx1f(x)1.3. (2013天津)设函数 f(x)e xx2，g(x) lnx x 23.若实数 a、b 满足 f(a)0，g(b) 0，则 g(a)、f(b)、0 三个数的大小关系为_答案：g(a)0，所以 00 ，所以 10，g(a)a0，cb0.(1) 记集合 M(a ，b，c)|a、b、c 不能构成一个三角形的三条边长，且 ab ，则(a，b，c)M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为_(2) 若 a、b、c 是ABC 的三条边长，则下列结论正确的是_( 填序号)
9、 x(，1)，f(x)0； xR，使 ax、b x、c x 不能构成一个三角形的三条边长； 若ABC 为钝角三角形，则 x(1 ，2)，使 f(x)0.答案：(1) x|0a0，cb0，ab 且 a、b、c 不能构成一个三角形的三条边长，所以 0c，因为 ca0，cb0，所以 0cx c x 0，正确；(ac bc 1) a b cc令 a2，b3，c 4，则 a、 b、c 可以构成三角形，而 a24，b 29，c 216 不能构成三角形，正确；由 ca，cb，且 ABC 为钝角三角形，则 a2b 2c 20，f(2)a 2b 2c 2K. ) 12答案：(，1)解析：函数 f(x)2 |x|
10、 ，作图易知 f(x)K x (，11，) ，故在(，1)(12)|x| 12上是单调递增的4. 若函数 f(x) ax(a1)的定义域和值域均为m，n，求实数 a 的取值范围解：由题意， 即方程 axx 有两个不同的解，设 f(x)a xx，f (x)a xlna1，令 f(x)am m，an n，)0，得 xlog a log alna，分析得 f(log alna)0，a1) 的图象进行平移、翻折，可作出 yy 0f(xx 0)，y|f(x)|，yf(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题3. 对可转化为 a2xba xc 0 或 a2xba xc 0( 0)形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围请 使 用 课 时 训 练 （A）第 8课 时 （见 活 页 ）.备课札记
