1、4.4 多边形与平行四边形,中考数学 (山东专用),A组 20142018年山东中考题组 考点一 多边形,五年中考,1.(2018济宁,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,A+B+E=300,DP、CP分别平分EDC、 BCD,则P的度数是 ( )A.50 B.55 C.60 D.65,答案 C 在五边形ABCDE中,A+B+BCD+CDE+E=(5-2)180=540,又因为A+ B+E=300,所以BCD+CDE=240.因为DP、CP分别平分EDC、BCD,所以PCD = BCD,PDC= CDE,所以PCD+PDC= (BCD+CDE)= 240=120.在 PCD中,PCD+PDC
2、+P=180,所以P=180-(PCD+PDC)=180-120=60.,思路分析 根据五边形内角和求出BCD与CDE的和,再根据角平分线及三角形内角和求出P.,2.(2016临沂,7,3分)一个正多边形的内角和为540,则这个正多边形的每一个外角等于 ( ) A.108 B.90 C.72 D.60,答案 C 设这个正多边形的边数为n,则有(n-2)180=540,解得n=5. 因为多边形的外角和为360,且正多边形的每一个外角都相等,所以这个正多边形的每一个外 角等于3605=72.故选C.,思路分析 根据内角和列方程求出边数,根据外角和是360求解.,解题关键 掌握正多边形内角和公式及多
3、边形的外角和定理是解题的关键.,3.(2018济南,15,4分)一个正多边形的每个内角都等于108,则它的边数是 .,答案 5,解析 这个正多边形的每个内角都等于108,它的每个外角都是180-108=72.任何多 边形的外角和均为360,这个多边形的边数为 =5.,考点二 平行四边形,1.(2017东营,7,3分)如图,在ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E,BF=8,AB=5,则AE的长为 ( )A.5 B.6 C.8 D.12,答案 B 设AE与BF交于点O,连接EF, 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,FAE=AEB,AE平分BAD, FAE=EAB,EAB=
4、AEB, AB=EB,由作图可得AB=AF,EB=AF, 又ADBC,四边形ABEF是平行四边形, 又AB=AF,ABEF是菱形.根据菱形的对角线互相垂直平分可得AEBF,且AE=2AO,BO= BF =4, 在RtAOB中,根据勾股定理易得AO=3,所以AE=6.,2.(2017青岛,7,3分)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AEBC,垂足为E,AB= ,AC= 2,BD=4,则AE的长为 ( )A. B. C. D.,答案 D 四边形ABCD为平行四边形,OA= AC=1,OB= BD=2.在AOB中,12+( )2= 22,即OA2+AB2=OB2,AOB是直角三角形,且OA
5、B=90.BC= = = . AEBC,OAB=90,ABAC=BCAE, AE= = = .故选D.,3.(2016淄博,7,4分)如图,ABC的面积为16,点D是BC边上一点,且BD= BC,点G是AB上一点, 点H在ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影的面积是 ( )A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B 设ABC底边BC上的高为h,AGH底边GH上的高为h1,CGH底边GH上的高为h2, 则有h=h1+h2, 由题知SABC= BCh=16, S阴影=SAGH+SCGH= GHh1+ GHh2= GH(h1+h2)= GHh. 四边形BDHG是平行四边形,且BD= B
6、C, GH=BD= BC, S阴影= = = SABC=4.,思路分析 本题考查三角形的面积的计算,平行四边形的性质,及整体思想,解题关键是能整 体求解. 这里两阴影部分以公共边GH为底,则高的和等于ABC中BC边上的高.,4.(2016泰安,7,3分)如图,在ABCD中,AB=6,BC=8,C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F, 则AE+AF的值等于 ( )A.2 B.3 C.4 D.6,答案 C 四边形ABCD是平行四边形,AD=BC=8,AB=DC=6,ABCD,ADBC,1= F,2=3, 又CF平分BCD,1=2, 又3=4,1=3=F=4, DE=DC=AB=6,则AE=AF=
7、AD-DE=2, AE+AF的值等于4.,5.(2016济南,13,3分)如图,在ABCD中,AB=12,AD=8,ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长 线于点E,CGBE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为 ( )A. B.4 C.2 D.,答案 C ABC的平分线交CD于点F, ABE=CBE, 四边形ABCD是平行四边形,DCAB,ADBC, CBE=CFB=ABE=E, CF=BC=AD=8,AE=AB=12, DE=4,DCAB, = , = , EB=6,CF=CB,CGBF, BG= BF=2, 在RtBCG中,BC=8,BG=2, 根据勾股定理得,CG= = =2 ,故
8、选C.,审题技巧 题目中出现平行线和角平分线时,极易出现等腰三角形.,6.(2018淄博,15,4分)在如图所示的ABCD中,AB=2,AD=3,将ACD沿对角线AC折叠,点D落在 ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则ADE的周长等于 .,答案 10,解析 由题意知AD=AE=3,DC=CE=2,所以ADE的周长为10.,7.(2018临沂,17,3分)如图,在ABCD中,AB=10,AD=6,ACBC,则BD= .,答案 4,思路分析 过点D作DEBC交BC延长线于点E,构造直角三角形,利用勾股定理和平行四边形 的性质求解.,解析 如图,过点D作DEBC交BC延长线于点E,四边
9、形ABCD为平行四边形,AD=BC=6, ACBC,AC= =8=DE,BE=BC+CE=6+6=12,BD= =4 .,8.(2017临沂,18,3分)在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=4,BD=10,sinBDC = ,则平行四边形ABCD的面积是 .,答案 24,思路分析 先作出BD边上的高线,构造出RtCDE,应用三角函数,再利用平行四边形的面积 公式求出结果.,解析 四边形ABCD是平行四边形,CD=AB=4. 如图,过点C作CEBD于E,在RtCDE中,sinEDC= = ,CD=4,CE= ,SABCD=2 BDCE=24.,9.(2018济南,21,6
10、分)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,E,F分别是DA和BC延长线上的点,且 AE=CF,连接EF交BD于点O. 求证:OB=OD.,证明 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC, E=F,EDO=FBO, AE=CF,BC+CF=DA+AE, DE=BF,OBFODE,OB=OD.,10.(2017淄博,19,5分)已知:如图,E,F为ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF,连接BE,DF. 求证:BE=DF.,证明 四边形ABCD是平行四边形, AB=CD,ABCD,BAE=DCF. 又AE=CF,ABECDF.BE=DF.,B组 20142018年全国中考题组 考点一
11、多边形,1.(2018内蒙古呼和浩特,3,3分)已知一个多边形的内角和为1 080,则这个多边形是 ( ) A.九边形 B.八边形 C.七边形 D.六边形,答案 B 设该多边形的边数为n,则由题意可得180(n-2)=1 080,解得n=8.故选B.,2.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为 ( ) A.360 B.540 C.720 D.900,答案 C 由多边形外角和为360,可知这个正多边形的边数为36060=6,由多边形内角和 公式可知内角和为180(6-2)=720.故选C.,3.(2017云南,10,4分)若一个多边形的内角和为900,则这个
12、多边形是 ( ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形,答案 C 设这个多边形的边数为n,由多边形内角和公式得(n-2)180=900,解得n=7,即这个 多边形为七边形.故选C.,4.(2017青海西宁,13,2分)若正多边形的一个外角是40,则这个正多边形的边数是 .,答案 9,解析 正多边形的外角和为360,正多边形的边数=36040=9,正多边形的边数为9.,5.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆 放方式如图所示,则AOB等于 度.,答案 108,解析 如图,正五边形中每一个内角都是108, OCD=ODC=180-
13、108=72. COD=36. AOB=360-108-108-36=108.,6.(2017江西,16,6分)如图,已知正七边形ABCDEFG,请 ,分别按下列要求画图. (1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形;(2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.,解析 (1)如图.(画法有多种,正确画出一种即可,以下几种画法仅供参考) (3分),(2)如图.(画法有两种,正确画出其中一种即可) (6分),7.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和=(n-2)180. (1)甲同学说,能取360;而乙同学说,也能取630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对, 说明理由; (2)
14、若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360,用列方程的方法确定x.,解析 (1)甲对,乙不对. =360,(n-2)180=360.解得n=4. =630,(n-2)180=630,解得n= . n为整数,不能取630. (2)依题意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180. 解得x=2.,评析 本题是一道典型的把方程思想与多边形的内角和结合在一起的题目,解题的关键是熟 练掌握多边形的内角和公式,以及隐含的一个重要条件多边形的边数是不小于3的正整 数,另外,还要知道一个常识性的结论:多边形边数每增加1,它的内角和增加180.,考点二 平行四边形,1.(2018内蒙古呼和浩特,
15、8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从AB CD;BC=AD;A=C;B=D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是 平行四边形”这一结论的情况共有 ( ) A.5种 B.4种 C.3种 D.1种,答案 C 能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有、,共 3种.故选C.,2.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中, 得出四边形 AECF一定为平行四边形的是 ( ) A.BE=DF B.AE=CF C.AFCE D.BAE=DCF,答案 B 当BE=DF时,如图1, 易证AFDCEB,ABECDF, 从而AF
16、=CE,AE=CF, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意; 当AFCE时,如图1, 则AFE=CEF,从而AFD=CEB, 又因为ADF=CBE,AD=BC, 所以AFDCEB,则AF=CE, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意; 当BAE=DCF时,如图1,易证ABECDF, 可得AEB=CFD,AE=CF, 所以AEF=CFE,所以AECF, 则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意; 如图2,其中AE=CF,但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意.图1 图2,思路分析 依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.,3.(2018河南,9,3分
17、)如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作 图:以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大 于 DE的长为半径作弧,两弧在AOB内交于点F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为( )A.( -1,2) B.( ,2) C.(3- ,2) D.( -2,2),答案 A 如图,设AC与y轴交于点H. 在AOBC中,ACOB,AHy轴, A(-1,2),AO= = , 由作图知OF平分AOB,AOF=BOF=AGO, AG=AO= ,HG=AG-AH= -1, 点G的坐标为( -1,2).故选A.,思路
18、分析 根据作图方法可知OF平分AOB,在AOBC中判定AOG为等腰三角形,用勾股 定理可求相关边长度,进而求得点G的坐标.,方法总结 本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定理,主要载体为一种数学模型, 如下图,若存在3个条件:ABCD,CB平分ACD,AC=AB.取任意两个作条件,一定能得 出第三个.,4.(2017贵州贵阳,8,3分)如图,在ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连 接CE,若CED的周长为6,则ABCD的周长为 ( )A.6 B.12 C.18 D.24,答案 B EF垂直平分AC,AE=CE,CED的周长=CE+DE+CD=AE+ED+CD=
19、AD+CD= 6,ABCD的周长=(AD+CD)2=62=12.故选B.,5.(2017浙江丽水,7,3分)如图,在ABCD中,连接AC,ABC=CAD=45,AB=2,则BC的长是 ( )A. B.2 C.2 D.4,答案 C 四边形ABCD是平行四边形,CAD=45, ACB=CAD=45, 又ABC=45,ABC=ACB,BAC=90, 在RtABC中,AB=AC=2,BC= = =2 .,6.(2016河北,13,2分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则 B为 ( )A.66 B.104 C.114 D.124,答案 C 设AB与CD相交于点P,由折
20、叠知CAB=CAB,由ABCD,得1=BAB, CAB=CAB= 1=22.在ABC中,CAB=22,2=44,B=180-22-44=114.,7.(2018陕西,14,3分)如图,点O是ABCD的对称中心,ADAB,E、F是AB边上的点,且EF= AB; G、H是BC边上的点,且GH= BC.若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积,则S1与S2之间的等 量关系是 .,答案 2S1=3S2,解析 如图,连接AC,BD,交点为O,四边形ABCD为平行四边形,AO=OC,SABO=SOBC,EF = AB,S1= SABO,GH= BC,S2= SOBC,所以2S1=3S2.,8.(2017湖
21、北武汉,13,3分)如图,在ABCD中,D=100,DAB的平分线AE交DC于点E,连接 BE.若AE=AB,则EBC的度数为 .,答案 30,解析 四边形ABCD是平行四边形, BCAD,ABDC,ABC=D, DAB+D=180,D=100, DAB=80,ABC=100. 又DAB的平分线交DC于点E, EAD=EAB=40. AE=AB, ABE= (180-40)=70, EBC=ABC-ABE=100-70=30.,9.(2018福建,18,8分)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交 于点E,F.求证:OE=OF.,证明 四边形ABCD是平行
22、四边形, OD=OB,ADBC, ODE=OBF. 又DOE=BOF, DOEBOF, OE=OF.,解后反思 本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等基础 知识.,10.(2017内蒙古包头,22,8分)如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线,DE BA交AC于点E,DFCA交AB于点F,已知CD=3. (1)求AD的长; (2)求四边形AEDF的周长. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号),解析 (1)在ABC中,C=90,B=30, BAC=60. AD是ABC的角平分线, CAD=BAD= BAC=30. 在RtACD中,CAD=30
23、,CD=3, AD=6. (2)DEBA,DFCA, 四边形AEDF为平行四边形,BAD=EDA. 又CAD=BAD,CAD=EDA, AE=DE,四边形AEDF为菱形. DEBA,CDE=B=30. 在RtCDE中,cosCDE= ,ED= =2 . 四边形AEDF的周长为4ED=42 =8 .,11.(2017四川广元,18,7分)如图,在ABCD中,点E是AB边的中点,DE的延长线与CB的延长线交 于点F. 求证:BC=BF.,证明 如图,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC, 又点F在CB的延长线上, ADCF,1=2. 点E是AB边的中点, AE=BE. 在ADE与BFE
24、中,ADEBFE(AAS), AD=BF, BC=BF.,C组 教师专用题组 考点一 多边形,1.(2018乌鲁木齐,5,4分)一个多边形的内角和是720,则这个多边形的边数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 C 设这个多边形的边数为n,由多边形内角和公式得(n-2)180=720,解得n=6.,2.(2017新疆乌鲁木齐,5,4分)如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n的值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 C 设正n边形外角的度数为x,则与它相邻内角的度数为2x,所以x+2x=180,解得x=60. 因为36060=6,所以这个正n边形是正六边形,故
25、选C.,3.(2016广西来宾,4,3分)如果一个正多边形的一个外角为30,那么这个正多边形的边数是 ( ) A.6 B.11 C.12 D.18,答案 C 这个正多边形的边数是36030=12,故选择C.,4.(2016四川广安,6,3分)若一个正n边形的每个内角为144,则这个正n边形的所有对角线的条 数是 ( ) A.7 B.10 C.35 D.70,答案 C 因为正n边形的每个内角为144,所以每个外角为36,所以这是个36036=10边形, 故共有 =35条对角线,故选择C.,5.(2017江苏南京,14,2分)如图,1是五边形ABCDE的一个外角.若1=65,则A+B+C+ D=
26、.,答案 425,解析 因为1=65,所以AED=115. 因为五边形内角和是180(5-2)=540, 所以A+B+C+D=540-115=425.,6.(2017湖南邵阳,15,3分)如图所示的正六边形ABCDEF,连接FD,则FDC的大小为 .,答案 90,解析 由正多边形内角和公式(n-2)180可知,正六边形的内角和为720,则FED=EDC=12 0,又FE=ED,EFD=EDF=30,FDC=120-30=90.,7.(2015烟台,14,3分)正多边形的一个外角是72,则这个多边形的内角和的度数是 .,答案 540,解析 正多边形的边数是 =5,所以该正多边形的内角和为180(
27、5-2)=540.,8.(2016德州,14,4分)正六边形的每一个外角是 度.,答案 60,解析 解法一:由多边形的内角和公式,可知正六边形的内角和为(6-2)180=720,每个内角 为 =120,每个外角为180-120=60. 解法二:正六边形的外角和为360,每个外角为 =60.,9.(2016陕西,12A,3分)一个正多边形的一个外角为45,则这个正多边形的边数是 .,答案 8,解析 正多边形的外角和为360, =8,这个正多边形的边数为8.,考点二 平行四边形,1.(2017辽宁阜新,7,3分)如图,将ABCD沿对角线BD折叠,点A落在点A处,若A=55,ABD= 45,则ABC
28、的大小为 ( ),A.30 B.35 C.40 D.45,答案 B 四边形ABCD是平行四边形,且A=55, ABC=180-A=125, ABD=45, ABD=ABD=45, ABA=90, ABC=ABC-ABA=35.,2.(2017湖南衡阳,8,3分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添 加的条件不正确的是 ( ),A.AB=CD B.BC=AD C.A=C D.BCAD,答案 B 因为如果一个四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形,选项A 正确;如果四边形的一组对边平行,别一组对边相等,这个四边形可能是等腰梯形,所以选项B错误;,因
29、为ABCD,则C=1(如图),如果A=C,则A=1,所以,ADBC,平行四边形ABCD的 两组对边平行,则这个四边形是平行四边形,所以C正确;如果平行四边形的两组对边平行,则这 个四边形是平行四边形,所以D正确.故选B.,3.(2017四川眉山,10,3分)如图,EF过ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若ABCD的 周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 ( )A.14 B.13 C.12 D.10,答案 C 四边形ABCD是平行四边形, AD=BC,AB=CD,OA=OC,ADBC, EAO=FCO. ABCD的周长为18, 2(AD+CD)=18, AD+CD=9
30、. 在AEO和CFO中, AOE=COF,OA=OC,EAO=FCO, AEOCFO, AE=CF,OE=OF. 四边形EFCD的周长=EF+CF+CD+DE=(OE+OF)+(AE +DE+CD)=2OE+(AD+CD)=3+9=12. 故选C.,4.(2016湖南株洲,7,3分)已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中 点,以下说法错误的是 ( )A.OE= DC B.OA=OC C.BOE=OBA D.OBE=OCE,答案 D 四边形ABCD是平行四边形, ABDC,OA=OC,OB=OD, 又点E是BC的中点,OE是ABC和BCD的中位线, OEAB,OE
31、= DC, OEAB,BOE=OBA, 由条件推不出OBE=OCE,D错误.故选择D.,5.(2016四川泸州,8,3分)如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则 ABO的周长是 ( )A.10 B.14 C.20 D.22,答案 B 四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=6,AO=CO= AC,BO=DO= BD,AC+BD =16,AO+BO=8, ABO的周长=AO+BO+AB=8+6=14,故选择B.,6.(2017黑龙江龙东地区,17,3分)在平行四边形ABCD中,A的平分线把BC边分成长度是3和4 的两部分,则平行四边形ABCD的周长是 ( )
32、 A.22 B.20 C.22或20 D.18,答案 C 在平行四边形ABCD中,ADBC,则DAE=AEB.AE平分BAD,BAE= DAE,BAE=BEA,AB=BE,BC=BE+EC. 当BE=3,EC=4时,平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=2(3+3+4)=20; 当BE=4,EC=3时,平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=2(4+4+3)=22.故选C.,7.(2015辽宁本溪,8,3分)如图,ABCD的周长为20 cm,AE平分BAD,若CE=2 cm,则AB的长度 是 ( )A.10 cm B.8 cm C.6 cm D.4 cm,答案 D 四边形ABCD是平
33、行四边形,AB=CD,AD=BC,ADBC,DAE=BEA,AE 平分BAD,DAE=BAE,BAE=AEB,AB=BE,设AB=CD=x cm,则AD=BC=(x+2) cm,ABCD的周长为20 cm,x+x+2=10,解得x=4,即AB=4 cm,故选D.,8.(2016东营,14,3分)如图,在RtABC中,B=90,AB=4,BCAB,点D在BC上,以AC为对角线的 所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是 .,答案 4,解析 当DEBC时,DE最短,此时DE=AB=4.,9.(2016宁夏,13,3分)在平行四边形ABCD中,BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四 边
34、形ABCD的周长是16,则EC等于 .,答案 2,解析 在ABCD中,ADBC,DAE=AEB.AE平分BAD,BAE=DAE,BAE =AEB.AB=BE=3.BC= (16-2AB)=5.EC=BC-BE=2.,10.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在ABCD中,分别以边BC,CD作等腰BCF,CDE,使BC=BF, CD=DE,CBF=CDE,连接AF,AE. (1)求证:ABFEDA; (2)延长AB与CF相交于点G.若AFAE,求证:BFBC.,证明 (1)四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=DE,BF=BC=AD,ABC=ADC, 又CBF=CDE,ABF=ADE, 在A
35、BF与EDA中,AB=ED,ABF=EDA,BF=DA, ABFEDA. (2)由(1)知EAD=AFB, GBF=AFB+BAF=EAD+BAF, 易知ADBC,DAG=CBG,AFAE,EAF=90, FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90, BFBC.,11.(2018重庆A卷,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一 点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G. (1)若AH=3,HE=1,求ABE的面积; (2)若ACB=45,求证:DF= CG.,解析 (1)AH=3,HE
36、=1,AB=AE, AB=AE=AH+HE=4. BGAE, AHB=90, AB2=AH2+BH2, BH= = = , SABE= AEBH= 4 =2 . (4分) (2)证明:四边形ABCD为平行四边形, ADBC,AD=BC,FAO=ECO. 点O为AC的中点,AO=CO. 在AOF和COE中, FAO=ECO,AO=CO,AOF=COE, AOFCOE, AF=CE,DF=BE. (6分) 如图,过点A作AMBC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GNBC交BC于点N.AMB=AME=GNC=GNB=90, AHB=AMB. AQH=BQM,QAH=GBN. AB=AE,AMBE,
37、 BAM=QAH,BM=ME, BAM=QAH=GBN.,ACB=45,AMBE,CAM=ACB=45. BAG=45+BAM,BGA=45+GBN, BAG=BGA, AB=GB. AB=AE,AE=BG. 在AME和BNG中, AME=BNG,EAM=GBN,AE=BG, AMEBNG. ME=NG. BE=2ME=2NG. 在RtGNC中,GCN=45,CG= NG. CG=2NG,即BE=2NG= CG. DF=BE= CG. (10分),思路分析 (1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角形的面积公式求得ABE的面积;(2) 根据平行四边形的性质和全等三角形可得BE=DF.过点A作
38、AMBC,过点G作GNBC,根据等 腰三角形的性质得BAM=QAH,BM=ME= BE,通过求证BAM=GBN,可得BAG= BGA,进而可得AB=AE=BG,利用AMEBNG,得出NG=ME= BE,最后利用CG= NG得出 DF=BE= CG.,方法指导 对于以特殊四边形为背景的全等三角形的判定,一般都是通过特殊四边形的性质 找出证全等所需要的边或角的相等关系,从而进行证明.,12.(2017辽宁大连,19,9分)如图,在ABCD中,BEAC,垂足E在CA的延长线上,DFAC,垂足F 在AC的延长线上.求证:AE=CF.,证明 四边形ABCD是平行四边形, ABCD且AB=CD, BAC=
39、DCA, 180-BAC=180-DCA, 即BAE=DCF, 又BEAC,DFAC,BEA=DFC=90. 在BEA和DCF中,BEADFC(AAS), AE=CF.,13.(2017山西,17,6分)已知:如图,在ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接 EF,与对角线AC交于点O. 求证:OE=OF.,证明 证法一:四边形ABCD是平行四边形, ABCD,AB=CD. (2分) BE=DF,AB+BE=CD+DF, 即AE=CF. (3分) ABCD,AECF, E=F,1=2, (4分) AOECOF, (5分) OE=OF. (6分)证法二:连接AF,CE.四
40、边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD. (2分) BE=DF,AB+BE=CD+DF,即AE=CF. (3分) ABCD,AECF, (4分) 四边形AECF是平行四边形, (5分) OE=OF. (6分),14.(2017新疆,18,8分)如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE. (1)求证:ACDCBE; (2)连接DE,求证:四边形CBED是平行四边形.,证明 (1)点C是AB的中点,AC=BC. 在ACD与CBE中, ACDCBE(SSS). (2)连接DE.ACDCBE,ACD=CBE, CDBE,又CD=BE, 四边形CBED是平行四边形.,思路分析 (1)根据“
41、边边边”证明ACDCBE;(2)由三角形全等得ACD=CBE,从 而得出CDBE,根据一组对边平行且相等证四边形CBED是平行四边形.,解题关键 熟练掌握平行四边形的判定,三角形全等的判定和性质是解决本题的关键.,15.(2017内蒙古赤峰,18,6分)已知平行四边形ABCD.,(1)尺规作图:作BAD的平分线交直线BC于点E,交DC的延长线于点F(要求:尺规作图,保留作 图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下,求证:CE=CF.,解析 (1)作图如下:(2)证明:四边形ABCD是平形四边形, ABCD,ADBC, 1=2,3=4. AF平分BAD, 1=3, 2=4, CE=CF.,1
42、6.(2015莱芜,21,9分)如图,ABC是等腰直角三角形,ACB=90,分别以AB、AC为直角边向 外作等腰直角ABD和等腰直角ACE,G为BD的中点,连接CG、BE、CD,BE与CD交于点F. (1)判断四边形ACGD的形状,并说明理由; (2)求证:BE=CD,BECD.,解析 (1)四边形ACGD是平行四边形. ABC和ABD都是等腰直角三角形, AB= AC,BD= AB,BD=2AC, (1分) 又G为BD的中点,AC=DG, (2分) CAB=ABD=45,ACBD. (3分) 四边形ACGD是平行四边形. (4分) (2)证明:由题意知,BC=CA,CE=AD,BCE=CAD
43、=135, BCECAD. (5分) BE=CD,CBE=ACD,ACD+BCD=90, CBE+BCD=90. (8分) CFB=90,即BECD. (9分),17.(2016广西百色,22,8分)已知平行四边形ABCD中,CE平分BCD且交AD于点E,AFCE且交 BC于点F. (1)求证:ABFCDE; (2)如图,若1=65,求B的大小.,解析 (1)证明:CE平分BCD,2=3.AFCE,4=3. 2=4. 又四边形ABCD是平行四边形,B=D,AB=CD, ABFCDE. (2)CE平分BCD,2=3. 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,1=3. 1=2=65. ABFCDE,
44、4=5=1=2=65. 在ABF中,B=180-65-65=50.,18.(2016陕西,19,7分)如图,在ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上 取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AFCE.,证明 如图,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC. 1=2. (2分) 又BF=DE, BF+BD=DE+BD. DF=BE. (4分) ADFCBE. (5分) AFD=CEB.,AFCE. (7分),19.(2016浙江台州,23,12分)定义:有三个内角相等的四边形叫三等角四边形. (1)三等角四边形ABCD中,A=B=C,求A的取值范围; (2
45、)如图,折叠平行四边形纸片DEBF,使顶点E,F分别落在边BE,BF上的点A,C处,折痕分别为 DG,DH. 求证:四边形ABCD是三等角四边形; (3)三等角四边形ABCD中,A=B=C,若CB=CD=4,则当AD的长为何值时,AB的长最大,其 最大值是多少?并求此时对角线AC的长.,解析 (1)1803A360,60A120. (2)证明:四边形DEBF是平行四边形, E=F,E+B=180. 由折叠,得E=DAE,F=DCF, DAE=DCF,DAB=DCB, DAB+DAE=180, DAB=B,DAB=DCB=B, 四边形ABCD是三等角四边形. (3)当60A90时,如图1所示, 过点D作DFAB交BC于点F,作DEBC交AB于点E. 四边形BEDF是平行四边形,DFC=B=DEA, EB=DF,DE=FB. A=B=C,DFC=B=DEA, A=DEA=C=DFC,
