1、121.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用知识点一 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于什么推理？答案 属于归纳推理梳理 (1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理知识点二 类比推理思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、
2、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理？答案 类比推理梳理 (1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(2)特征：由特殊到特殊的推理2知识点三 合情推理思考 归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假梳理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有
3、的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理(2)推理的过程 从 具 体 问 题 出 发 观 察 、 分 析 、 比 较 、 联 想 归 纳 、 类 比 提 出 猜 想1类比推理得到的结论可作为定理应用( )2由个别到一般的推理为归纳推理( )3在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( )类型一 归纳推理命 题 角 度 1 数 、 式 中 的 归 纳 推 理例 1 (1)观察下列等式：1121，(21)(22)2 213，(31)(32)(33)2 3135，照此规律，第 n 个
4、等式可为_(2)已知 f(x) ，设 f1(x) f(x)， fn(x) fn1 (fn1 (x)(n1，且 nN *)，则 f3(x)的x1 x表达式为_，猜想 fn(x)(nN *)的表达式为_考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 (1)( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)(2) x1 4x x1 2n 1x解析 (1)观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次为( n1)，( n n)，右边3为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式为( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)(2) f(x) ， f1(x) .x1 x x1 x
5、又 fn(x) fn1 (fn1 (x)， f2(x) f1(f1(x) ，x1 x1 x1 x x1 2xf3(x) f2(f2(x) ，x1 2x1 2 x1 2x x1 4xf4(x) f3(f3(x) ，x1 4x1 4 x1 4x x1 8xf5(x) f4(f4(x) ，x1 8x1 8 x1 8x x1 16x根据前几项可以猜想 fn(x) .x1 2n 1x引申探究 在本例(2)中，若把“ fn(x) fn1 (fn1 (x)”改为“ fn(x) f(fn1 (x)”，其他条件不变，试猜想 fn(x) (nN *)的表达式解 f(x) ， f1(x) .x1 x x1 x又 f
6、n(x) f(fn1 (x)， f2(x) f(f1(x) ，x1 x1 x1 x x1 2xf3(x) f(f2(x) ，x1 2x1 x1 2x x1 3xf4(x) f(f3(x) .x1 3x1 x1 3x x1 4x4因此，可以猜想 fn(x) .x1 nx反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和通过已知条件求出数列
7、的前几项或前 n 项和；根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式跟踪训练 1 已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a13，满足 Sn62 an1 (nN *)(1)求 a2， a3， a4的值；(2)猜想 an的表达式考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数列中的应用解 (1)因为 a13，且 Sn62 an1 (nN *)，所以 S162 a2 a13，解得 a2 ，32又 S262 a3 a1 a23 ，解得 a3 ，32 34又 S362 a4 a1 a2 a33 ，解得 a4 .32 34 38(2)由(1)知 a13
8、 ， a2 ， a3 ， a4 ，猜想 an (nN *)320 32 321 34 322 38 323 32n 1命 题 角 度 2 图 形 中 的 归 纳 推 理例 2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A26 B31 C32 D36考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 B5解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：图案 1 2 3 个数 6 11 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61)31.故选
9、 B.反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练 2 用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示：按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A6 n2 B8 n2C6 n2 D8 n2考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 C解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后 6 根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为 8，公差是6 的等差数列，所以第 n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为 an8( n1)66 n2.类型二 类比推理命 题 角 度 1 数 列 中 的 类 比 推 理例 3 设等差数列 an的前
10、 n 项和为 Sn，则 S4， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列 bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_， 成等比数T16T12列考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比6答案 T8T4 T12T8解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每 4 项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每 4 项的积成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列 bn的公比为 q，首项为 b1，则 T4 b q6， T8 b q127 b q28，41 81 81T12 b q1211
11、 b q66，12 12T16 b q1215 b q120，16 16 b q22， b q38，T8T4 41 T12T8 41 b q54，T16T12 41即 2 T4， 2 ，(T8T4) T12T8 (T12T8) T8T4 T16T12故 T4， ， ， 成等比数列T8T4T12T8 T16T12反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中 d， q 分别是公差和公比)：等差数列 等比数列定义 an an1 d(n2) anan1 q(n2)通项公式 an a1( n1) d an a1qn1性质 若 m n p q，则 a
12、m an ap aq若 m n p q，则aman apaq跟踪训练 3 若数列 an(nN *)是等差数列，则有数列 bn (nN *)也是等a1 a2 ann差数列；类比上述性质，相应地：若数列 cn是等比数列，且 cn0，则有数列dn_( nN *)也是等比数列考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比答案 nc1c2c3cn解析 数列 an(nN *)是等差数列，则有数列 bn (nN *)也是等差数a1 a2 ann列类比猜想：若数列 cn是各项均为正数的等比数列，则当 dn 时，数列 dn也nc1c2c3cn是等比数列7命 题 角 度 2 几 何 中 的 类 比 推 理
13、例 4 如图，在 Rt ABC 中， C90.设 a， b， c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得 c2 a2 b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比解 如题图，在 Rt ABC 中， C90.设 a， b， c 分别表示 3 条边的长度，由勾股定理，得 c2 a2 b2.类似地，如图所示，在四面体 P DEF 中， PDF PDE EDF90.设 S1， S2， S3和 S分别表示 PDF， PDE， EDF 和 PEF 的面积，相对于直角三角形的两条直角边 a， b 和 1条斜边 c，图中的四面体有 3
14、个“直角面” S1， S2， S3和 1 个“斜面” S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想 S2 S S S 成立21 2 23反思与感悟 (1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下平面图形 空间图形点 直线直线 平面边长 面积面积 体积三角形 四面体线线角 面面角跟踪训练 4 在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为8 ， ，cos 2 cos 2 1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比解 在长方形
15、 ABCD 中，cos2 cos 2 2 2 1.(ac) (bc) a2 b2c2 c2c2于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 ， ， ，则 cos2 cos 2 cos 2 1.证明如下：cos2 cos 2 cos 2 2 2 2(ml) (nl) (gl) 1.m2 n2 g2l2 l2l21已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式 S ，可推知扇形面积底 高2公式 S 扇 等于( )A. B.r22 l22C. D不可类比lr2考点 类比推理的应用题点 平面曲线的类比答案 C解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则 S
16、扇 .lr22如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子的颜色为( )9A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 A解析 由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据 3657 余 1，可得第 36 颗应与第 1 颗珠子的颜色相同，即白色3观察下列各式：a b1， a2 b23， a3 b34， a4 b47， a5 b511，则 a10 b10等于( )A28 B76C123 D199考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 C解析 利用归纳法：a b1， a2 b23， a3 b3314，
17、a4 b4437， a5 b57411， a6 b611718， a7 b7181129， a8 b8291847， a9 b9472976， a10 b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和4在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 18解析 设两个正四面体的体积分别为 V1， V2，则 V1 V2 S1h1 S2h2 S1h1 S2h218.13 135按照图 1、图 2、图 3 的规律，第 10 个图中圆点的个
18、数为_考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 40解析 图 1 中的点数为 414，10图 2 中的点数为 824，图 3 中的点数为 1234，所以图 10 中的点数为 10440.111合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概括为 从 具 体 问 题 出 发 观 察 、 分 析 、 比 较 、 联 想 归 纳 、 类 比 提 出 猜 想一、选择题1下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A若“ a3 b3，则 a b”类比出“若 a0 b0，则
19、 a b”B “若( a b)c ac bc”类比出“( ab)c acbc”C “若( a b)c ac bc”类比出“ (c0)”a bc ac bcD “(ab)n anbn”类比出“( a b)n an bn”考点 类比推理的应用题点 类比推理的方法、形式和结论答案 C解析 显然 A，B，D 不正确，只有 C 正确2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. BC. D考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 A解析 观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果3根据给出的数塔猜测 123 45697
20、等于( )19211129311112123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1 111 111.4类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行则其中正确的结论是( )A BC D考点 类比推理的应
21、用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 B解析 根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，是正确的结论5观察( x2)2 x，( x4)4 x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f( x) f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g( x)等于( )A f(x) B f(x)C g(x) D g(x)考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当 f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故 g( x) g(x)136观察下列式子：1 0)在点 P(x0， y0)
22、处切线的方程为( x0 a)(x a)( y0 b)(y b) r2，由此类比，椭圆 1( ab0)在点 P(x0， y0)处的切线方程为x2a2 y2b2_考点 类比推理的应用题点 平面曲线之间的类比答案 1x0xa2 y0yb2解析 类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：椭圆 1( ab0)在点 P(x0， y0)处的切线方程为 1.x2a2 y2b2 x0xa2 y0yb2三、探究与拓展14正整数按下表的规律排列，则上起第 2 017 行，左起第 2 018 列的数应为( )A2 0162 017 B2 0172 018C2 0182 019 D2 0192 020考点 归纳推理的应用题
23、点 归纳推理在数阵(表)中的应用答案 B解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减 1 的平方再加 1，根据题意，左起第 2 018 列的第一个数为 2 01721，由连线规律可知，上起第 2 017 行，左起第 2 018 列的数应为 2 01722 0172 0172 018.15已知在 Rt ABC 中， AB AC， AD BC 于 D，有 成立那么在四面体1AD2 1AB2 1AC2A BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由考点 类比推理的应用17题点 平面几何与立体几何之间的类比解 类比 AB AC， AD BC，可以猜想在四面体 A BCD 中， AB， AC， AD 两两垂直， AE平面BCD，则 .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2猜想正确理由如下：如图所示，连接 BE，并延长交 CD 于 F，连接 AF. AB AC， AB AD， AC AD A， AB平面 ACD.而 AF平面 ACD， AB AF.在 Rt ABF 中， AE BF， .1AE2 1AB2 1AF2在 Rt ACD 中， AF CD， .1AF2 1AC2 1AD2 ，故猜想正确1AE2 1AB2 1AC2 1AD2
