1、12.1.1 合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义(易混点)2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1归纳推理与类比推理归纳推理 类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示归纳推理的结论
2、超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠2合情推理基础自测1思考辨析(1)利用合情推理得出的结论都是正确的( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用( )(3)由个别到一般的推理为归纳推理( )答案 (1) (2) (3)2鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿， “锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似， “锯子”应该是齿形的该过程体现了( )A归纳推理 B类比推理C没有推理 D以上说法都
3、不对B 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是2推理，由性质类比可知是类比推理3等差数列 an中有 2an an1 an1 (n2，且 nN *)，类比以上结论，在等比数列bn中类似的结论是_解析 类比等差数列，可以类比出结论 b bn1 bn1 (n2，且 nN *)2n答案 b bn1 bn1 (n2，且 nN *)2n4如图 211 所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n1， nN *)个点，每个图形总的点数记为 an，则a6_， an_( n1， nN *). 【导学号：31062121】图 211解析 依据图形特点，可知第
4、 5 个图形中三角形各边上各有 6 个点，因此a636315.由 n2,3,4,5,6 的图形特点归纳得 an3 n3( n1， nN *)答案 15 3 n3合 作 探 究攻 重 难数、式中的归纳推理(1)观察下列等式：121，122 23，122 23 26，122 23 24 210，照此规律，第 n 个等式可为_(2)已知： f(x) ，设 f1(x) f(x)， fn(x) fn1 (fn1 (x)(n1，且 nN *)，则x1 xf3(x)的表达式为_，猜想 fn(x)(nN *)的表达式为_(3)已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a13，满足 Sn62 an1 (nN *)
5、求 a2， a3， a4的值；猜想 an的表达式解析 (1)1 21，3122 2(12)，122 23 2123，122 23 24 2(1234)，122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 (12 n)(1) n1 .n n 12(2) f(x) ， f1(x) .x1 x x1 x又 fn(x) fn1 (fn1 (x)， f2(x) f1(f1(x) ，x1 x1 x1 x x1 2xf3(x) f2(f2(x) ，x1 2x1 2 x1 2x x1 4xf4(x) f3(f3(x) ，x1 4x1 4 x1 4x x1 8xf5(x) f4(f4(x) ，x1 8x1 8
6、 x1 8x x1 16x根据前几项可以猜想 fn(x) .x1 2n 1x答案 (1)1 22 23 24 2(1) n1 n2(1) n1n n 12(2)f3(x) fn(x)x1 4x x1 2n 1x(3)因为 a13，且 Sn62 an1 (nN *)，所以 S162 a2 a13，解得 a2 ，32又 S262 a3 a1 a23 ，解得 a3 ，32 34又 S362 a4 a1 a2 a33 ，32 344解得 a4 .38由知 a13 ， a2 ， a3 ，320 32 321 34 322a4 ，猜想 an (nN *)38 323 32n 1规律方法 进行数、式中的归纳
7、推理的一般规律1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法1 要特别注意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律； 2 要特别注意所给几个等式 或不等式 中结构形式的特征；3 提炼出等式 或不等式 的综合特点；4 运用归纳推理得出一般结论.2.数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n项和.1 通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和；2 根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解；3 运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式.跟踪训练1数列 5,9,17,33， x，中的 x 等于_. 【导学号：31062122】解析 因为 41
8、5, 819, 16117,32133 猜测 x64165.答案 652观察下列等式：2 2 12；(sin 3) (sin 23) 432 2 2 2 23；(sin 5) (sin 25) (sin 35) (sin 45) 432 2 2 2 34；(sin 7) (sin 27) (sin 37) (sin 67) 432 2 2 2 45；(sin 9) (sin 29) (sin 39) (sin 89) 43照此规律，2 2 2 2 _.(sin2n 1) (sin 22n 1) (sin 32n 1) (sin2n2n 1)解析 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的 是个固
9、定数， 后面第一个数43 435是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 的系数的一半， 后面第二个数是第一个数43的下一个自然数，所以，所求结果为 n(n1)，即 n(n1)43 43答案 n(n1)43几何图形中的归纳推理(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 212 的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是_. 【导学号：31062123】图 212(2)根据图 213 中线段的排列规则，试猜想第 8 个图形中线段的条数为_ 图 213解析 (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为 5 的等差数列，从而第 n 个图案中黑色地面砖
10、的个数为 6( n1)55 n1.(2)图形到中线段的条数分别为 1,5,13,29，因为12 23,52 33,132 43,292 53，因此可猜想第 8 个图形中线段的条数应为293509.答案 (1)5 n1 (2)509规律方法 归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：6跟踪训练3如图 214，由火柴棒拼成的一列图形中，第 n 个图形中由 n 个正方形组成：图 214通过观察可以发现：第 5 个图形中，火柴棒有_根；第 n 个图形中，火柴棒有_根. 【导学号
11、：31062124】解析 数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，可见后一个图形比前一个图形多 3 根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒 16 根，第 n 个图形中有火柴棒(3 n1)根答案 16 3 n1类比推理及其应用探究问题三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完
12、成下列探究点：1在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积2三角形的面积等于底边与高乘积的 ，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？12提示：四面体的体积等于底面积与高的积的 .13(1)在等差数列 an中，对任意的正整数 n，有 an.a1 a2 a3 a2n 1n类比这一性质，在正项等比数列 bn中，有_(2)在平面几何里有射影定理：设 ABC 的两边 AB AC， D 是 A 点在 BC 上的射影，则AB2 BDBC.拓展到空间，在四面体 A BCD 中， DA平面 ABC，点 O 是 A 在平
13、面 BCD 内的7射影，类比平面三角形射影定理，写出对 ABC、 BOC、 BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明思路探究 (1)类比等差数列及等比数列的性质求解(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱 AD 与一侧面 ABC 垂直的四棱锥的侧面 ABC 的面积，将此直角边 AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到 ABC 在底面的射影OBC 及底面 BCD 的面积可得 S S OBCS DBC.2 ABC解析 (1)由 a1 a2 a2n1 类比成 b1b2b3b2n1 ，除以 n，即商类比成开 n次方，即在正项等比数列 bn中，有 bn.nb1b2b3b2n 1答案 bnnb1b2b
14、3b2n 1(2) ABC、 BOC、 BDC 三者面积之间关系为S S OBCS DBC.2 ABC证明如下：如图，设直线 OD 与 BC 相交于点 E， AD平面 ABE， AD AE， AD BC，又 AO平面 BCD， AO DE， AO BC. AD AO A， BC平面 AED， BC AE， BC DE. S ABC BCAE，12S BOC BCOE, S BCD BCDE.12 12在 Rt ADE 中，由射影定理知 AE2 OEDE， S S BOCS BCD.2 ABC母题探究：1.(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“ a bcos C ccos B，其中 a，
15、 b， c 分别为角 A， B， C 的对边” 类比上述定理，写出对空间四面体(如图215 所示)性质的猜想图 215解 如图所示，在四面体 P ABC 中， S1， S2， S3， S 分别表示 PAB， PBC，PCA， ABC 的面积， ， ， 依次表示平面 PAB，平面 PBC，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小8我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S S1cos S2cos S3cos .2(变条件)把本例(2)条件换为“在 Rt ABC 中， AB AC， AD BC 于点 D，有 1AD2 成立” 那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样
16、的猜想，并说明猜1AB2 1AC2想是否正确及理由解 猜想：类比 AB AC， AD BC，可以猜想四面体 A BCD 中， AB， AC， AD 两两垂直， AE平面 BCD.则 .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2下面证明上述猜想成立如图所示，连接 BE，并延长交 CD 于点 F，连接 AF. AB AC， AB AD，AC AD A， AB平面 ACD.而 AF平面 ACD， AB AF.在 Rt ABF 中， AE BF， .1AE2 1AB2 1AF2在 Rt ACD 中， AF CD， .1AF2 1AC2 1AD2 ，故猜想正确1AE2 1AB2 1AC2 1AD2规律方法
17、类比推理的一般步骤当 堂 达 标固 双 基91已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式 S ，可知扇形底 高2面积公式为( )【导学号：31062125】A Br22 l22C D无法确定lr2C 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式 S .lr22观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )图 216A. B. C. D.A 观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果. 3等差数列 an中， an0，公差 d0，则有 a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列 bn中，若 bn
18、0， q1，写出 b5， b7， b4， b8的一个不等关系_解析 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有 b4 b8b5 b7.答案 b4 b8b5 b74观察下列等式：1 32 3(12) 2,132 33 3(123)2,132 33 34 3(1234) 2，根据上述规律，第四个等式为_. 【导学号：31062126】解析 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整数的立方和，且个数依次加 1，等号的右边是从 1 开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加 1，因此，第四个等式为 132 33 34 35 3(12345) 2.答案 1 32 33 34 35 3(12345) 25在 Rt ABC 中，若 C90，则 cos2Acos 2B1，在空间中，给出四面体性质的10猜想解 如图，在 Rt ABC 中，cos2Acos 2 B 2 2 1.(bc) (ac) a2 b2c2于是把结论类比到四面体 P A B C中，我们猜想，三棱锥PA B C中，若三个侧面 PA B， PB C， PC A两两互相垂直，且分别与底面所成的角为 ， ， ，则 cos2 cos 2 cos 2 1.
