1、数学奥林匹克高中训练题(179)第一试1、填空题（每小题 8分，共 64分）1. 若函数 的反函数为 ，且 ，则满足 的最(1)yfx1()yfx(1)39f()fn小正整数 .n2. 已知数列 满足 .则 （填“”na011,(),2)32nna 2014a.3“” “” ）.3. 设非负实数 满足 .则 的最小值为.xyz、 、 1xyz222941txyz4. 用一块边长为 2的正方形纸片（顶点为 ，中心为 ）折成一个正四棱锥ABCD、 、 、 O.当该四棱锥体积最大时，二面角 的平面角的大小为.OABCD5. 甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中
2、的任何一人.一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为.6. 给定非零实数 .若函数 满足：对任意实数 均有 ，则a:fRx()(fxfa方程 有个实根.()0fx7. 给定整数 .若关于 的方程 的根在复平面上对应abcd、 、 、 z4320azbczd四个点 为正方形四个顶很快空，则正方形 的面积的最小值为.ABCD、 、 、 ABCD8.集合 的 个不同子集 满足：对任意的1,2()In+Z k12,k均有 .则 的最大值为.()ijijk、 ijAI二、解答题（共 56分）9.（16 分）设 .求最小的正实数 ，使得对任意的 ，均有1()2nanZ 2n.21kna10.（20 分）已知
3、 为椭圆 的长轴， 为椭圆 的一条弦，过点AB2:1xyabCD的切线交于点 ， 的延长线与 的延长线交于点 ， 的延长线与 的延CD、 PDBEADB长线交于点 .若 三点共线，求 .FE、 、 EPF11.（20 分）自然数 使得 与 均为 11的倍数，且 .求ab、 4756ab2179ab的最小值.21T加 试1、 （40 分）如图 1，已知交于 两点， 分别在 上，且 与 相切，BC、 AD、 MNA、 CNA与 相切， 的延长线与 的外接圆交于点 .证明：CDMAE（1） ；EDA（2） .B二、 （40 分）设 为非负实数，且 .证明：xyz、 、 1xyz.222()()()x
4、zz三、 （50 分）已知 为正整数，集合 的 个三元子集 满n1,2(3)In k12,kA足：对任何 的其他三元子集 ，均存在整数 和子集 使得IBm1)iA.求 的最小值.(mod),1,iyxyxAk4、 （50 分）甲、乙两人轮流吹同一只气球，当且仅当气球的气体体积 （单位：毫升）大于V2014时，气球会被吹破.先由甲开始吹入 1毫升气体，约定以后每次吹入的气体体积为上一次体积的 2倍或 ，且吹入的气体体积为整数.1（1）若谁先吹破气球谁输，问谁有必胜策略？证明你的结论.（2）若在不吹破气球的前提下，约定单次吹入的气体体积最大者为赢家（如果吹入的体积相同，则最先吹出的最大体积者为赢家）.问：谁有必胜策略？证明你的结论.
