1、1第一章 1.3 1.3.3 函数的最大(小)值与导数A级 基础巩固一、选择题1(2018潍坊高二检测)设函数 f(x)满足 x2f ( x)2 xf(x) ， f(2) ，则exx e28x0 时， f(x)( D )A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值解析 函数 f(x)满足 x2f ( x)2 xf(x) ，exx x2f(x) ，exx令 F(x) x2f(x)，则 f ( x) ，exxF(2)4 f(2) e22由 x2f ( x)2 xf(x) ，得 f ( x) ，exx ex 2F xx3令 (x)e x2 F(x)，则 (
2、 x)e x2 f ( x) ex x 2x (x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增， (x)的最小值为 (2)e 22 F(2)0 (x)0又 x0， f ( x)0 f(x)在(0，)上单调递增 f(x)既无极大值也无极小值故选 D2(2018新乡一模)若函数 f(x) x2 ax2ln x在(1,2)上有最大值，则 a的取值范围为( B )A(0，) B(0,3)C(3，) D(1,3)解析 f( x)2 x a 2x 2x2 ax 2x要使函数 f(x) x2 ax2ln x在(1,2)上有最大值则函数 f(x) x2 ax2ln x在(1,2)上有极大值即方程2 x2 a
3、x20 有两个不等实根，且较大根在区间(1,2)Error! ，解得 0 a32故选 B3(2017临沂高二检测)函数 y2 x33 x212 x5 在0,3上的最大值和最小值分别是( A )A5，15 B5，4C4，15 D5，16解析 令 y6 x26 x120，得 x1(舍去)或 x2，故函数 y f(x)2 x33 x212 x5 在0,3上的最值可能是 x取 0,2,3时的函数值，而 f(0)5， f(2)15， f(3)4，故最大值为 5，最小值为15，故选 A4已知函数 f(x)， g(x)均为 a， b上的可导函数，在 a， b上连续且 f( x)x ，12x令 y x ，12
4、x y是单调增函数，若 x0，则 y1， a16已知函数 f(x) x32 ax23 x(a0)的导数 f( x)的最大值为 5，则在函数 f(x)图23象上的点(1， f(1)处的切线方程是( B )A3 x15 y40 B15 x3 y20C15 x3 y20 D3 x y10解析 f(x) x32 ax23 x，23 f( x)2 x24 ax32( x a)22 a23， f( x)的最大值为 5，2 a235，3 a0， a1 f(1)5， f(1) 133 f(x)在点(1， f(1)处的切线方程是 y 5( x1)，即 15x3 y20133二、填空题7(2018荆州一模)函数
5、f(x) x3 x22 在(0，)上的最小值为 5027解析 函数 f(x) x3 x22 在(0，)，可得 f( x)3 x22 x，令 3x22 x0，可得 x0 或 x ，当 x(0， )时， f( x)23 230，函数是减函数； x( ，)时， f( x)0，函数是增函数，所以 x 是函数的极23 23小值即最小值，所以 f(x)min( )3( )22 23 23 5027故答案为 50278函数 f(x) x33 ax23( a2) x1既有极大值又有极小值，则 a的取值范围是(，1)(2，)解析 f ( x)3 x26 ax3( a2)，令 f ( x)0，即 x22 ax a
6、20因为函数 f(x)有极大值和极小值，所以方程 x22 ax a20 有两个不相等的实数根，即4 a24 a80，解得 a2或 a0)，2x x 1 x 2x令 f ( x)0解得 02，令 f ( x)bc B cabC cba D bac解析 ( x1) f ( x)0，当 x1 时， f ( x)0，此时函数 f(x)单调递减；当 x1 时， f ( x)0，此时函数 f(x)单调递增又 f(19 x) f(01 x)， f(x) f(2 x)， f(3) f2(1) f(1)，100时，有0，则不等式 x2f(x)0的解集是(1,0)(1，)xf x f xx2解析 令 g(x) (
7、x0)，f xx x0时， 0，xf x f xx2 g( x)0， g(x)在(0，)上为增函数，又 f(1)0， g(1) f(1)0，在(0，)上 g(x)0的解集为(1，)， f(x)为奇函数， g(x)为偶函数，在(，0)上 g(x)0得f(x)0， f(x)0的解集为(1,0)(1，)三、解答题5设函数 f(x)e x x2 xk2(1)若 k0，求 f(x)的最小值；(2)若 k1，讨论函数 f(x)的单调性解析 (1) k0 时， f(x)e x x， f ( x)e x16当 x(，0)时， f ( x)0，所以 f(x)在(，0)上单调减小，在(0，)上单调增加，故 f(x
8、)的最小值为 f(0)1(2)若 k1，则 f(x)e x x2 x，定义域为 R12 f ( x)e x x1，令 g(x)e x x1，则 g( x)e x1，由 g( x)0 得 x0，所以 g(x)在0，)上单调递增，由 g( x)0；3 3当 x(32 ，32 )时， f( x)0，所以 f(x)0 等价于 3 a0x3x2 x 1设 g(x) 3 a，则 g( x) 0，x3x2 x 1 x2 x2 2x 3 x2 x 1 2仅当 x0 时 g( x)0，所以 g(x)在(，)单调递增故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点又 f(3a1)6 a22 a 6 2 0
9、，故 f(x)有一个零13 (a 16) 16 13点综上， f(x)只有一个零点C级 能力拔高设函数 f(x) x3 ax b， xR，其中 a， bR()求 f(x)的单调区间；()若 f(x)存在极值点 x0，且 f(x1) f(x0)，其中 x1 x0，求证： x12 x00；7()设 a0，函数 g(x)| f(x)|，求证： g(x)在区间1,1上的最大值不小于 14解析 ()由 f(x) x3 ax b，可得 f( x)3 x2 a下面分两种情况讨论：(1)当 a0 时，有 f( x)3 x2 a0 恒成立，所以 f(x)的单调递增区间为(，)(2)当 a0时，令 f( x)0，
10、解得 x ，或 x 3a3 3a3当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x ( ， )3a33a3( ， )3a3 33 3a3( ，)3a3f( x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以 f(x)的单调递减区间为( ， )，单调递增区间为(， )，3a3 3a3 3a3( ， )3a3()证明：因为 f(x)存在极值点，所以由()知 a0，且 x00，由题意，得 f( x0)3 x a0，即 x ，20 20a3进而 f(x0) x ax0 b x0 b302a3又 f(2 x0)8 x 2 ax0 b x02 ax0 b x0 b f(x0)，且2 x0 x0，308a3 2a3由题意及()知，存在唯一实数 x1满足 f(x1) f(x0)，且 x1 x0，因此 x12 x0所以x12 x00()设 g(x)在区间1,1上最大值为 M，max x， y表示 x， y两数的最大值下面分三种情况讨论：(1)当 a3 时， 1f( ) f( )，23a3 3a3所以 f(x)在区间1,1上的取值范围为 f(1)， f(1)，因此Mmax| f(1)|，| f(1)|，max|1 a b|，|1 a b|max|1 a b|，|1 a b|1 a| b| 14综上所述，当 a0时， g(x)在区间1,1上的最大值不小于 14
