1、1第一章 1.2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则A 级 基础巩固一、选择题1函数 y( x1) 2(x1)在 x1 处的导数等于( D )A1 B2 C3 D4解析 y( x1) 2( x1)( x1) 2(x1)2( x1)( x1)( x1) 23 x22 x1， y| x1 42曲线 yln( x2)在点 P(1,0)处的切线方程是( A )A y x1 B y x1C y2 x1 D y2 x1解析 yln( x2)， y ，1x 2切线斜率 k y| x1 1，切线方程为 y01( x1)，即 y x13(2018邵阳三模)已知函数 f(x) f(2)e x x2
2、，则 f(2)( D )A Be2e2 1 4 e2 1e2C De2 14e2 4e2e2 1解析 f( x) f(2)e x2 x； f(2) f(2)e 2 2(2)；解得 f(2) 4e2e2 1故选 D4(2018揭阳一模)已知 f(x)sin xcos x，实数 满足 f( )3 f( )，则tan2 ( A )A B43 34C D34 43解析 f( x)cos xsin x； f( )cos sin ；2又 f( )3 f( )；cos sin 3sin 3cos ；2cos sin ；tan 2；tan2 221 22 43故选 A5设函数 f(x) xm ax 的导数为
3、f ( x)2 x1，则数列 (nN *)的前 n 项1f n和是( A )A B nn 1 n 2n 1C Dnn 1 n 1n解析 f(x) xm ax 的导数为 f ( x)2 x1， m2， a1， f(x) x2 x， f(n) n2 n n(n1)，数列 (nN *)的前 n 项和为：1f nSn 112 123 134 1n n 1 (112) (12 13) (1n 1n 1)1 ，故选 A1n 1 nn 16(2018邯郸高二检测)已知二次函数 f(x)的图象如图所示，则其导函数 f ( x)的图象大致形状是( B )解析 依题意可设 f(x) ax2 c(a0)，于是 f
4、( x)2 ax，显然 f ( x)的图象为直线，过原点，且斜率 2a0，故选 B二、填空题37(2018黄山一模)已知 f(x) x33 xf(0)，则 f(1)113解析 根据题意， f(x) x33 xf(0)，13则其导数 f( x) x23 f(0)，令 x0 可得： f(0)3 f(0)，解可得 f(0)0，则 f( x) x2，则有 f(1)1，故答案为 18(2018天津文，10)已知函数 f(x)e xln x， f( x)为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为 e解析 f(x)e xln x， f( x)e xln x ，exx f(1)e三、解答题9求下列函数的导数：(
5、1)y x(x2 )；(2) y( 1)( 1)；1x 1x3 x 1x(3)ysin 4 cos 4 ；(4) y x x 1 x1 x 1 x1 x解析 (1) y x x31 ，(x21x 1x3) 1x2 y3 x2 2x3(2) y( 1) x x ，x (1x 1) 12 12 y x x 12 12 12 32 12x(1 1x)(3) ysin 4 cos 4x x 22sin 2 cos2(sin2x4 cos2x4) x4 x41 sin2 1 cosx，12 x 12 1 cosx2 34 14 y sinx144(4) y 1 x1 x 1 x1 x 1 x 21 x
6、1 x 21 x 2，2 2x1 x 41 x y (41 x 2) 4 1 x 1 x 2 4 1 x 210已知函数 f(x) 的图象在点 M(1， f(1)处的切线的方程为ax 6x2 bx2 y50，求函数的解析式解析 由于(1， f(1)在切线上，12 f(1)50， f(1)2 f( x) ，a x2 b 2x ax 6 x2 b 2Error!解得 a2， b3( b10， b1 舍去)故 f(x) 2x 6x2 3B 级 素养提升一、选择题1已知函数 f(x)的导函数为 f ( x)，且满足 f(x)2 xf (e)ln x，则 f (e)( C )Ae 1 B1 Ce 1 D
7、e解析 f(x)2 xf (e)ln x， f ( x)2 f (e) ，1x f (e)2 f (e) ，解得 f (e) ，故选 C1e 1e2曲线 y xsinx 在点 处的切线与 x 轴、直线 x 所围成的三角形的面( 2， 2)积为( A )A B 2 22C2 2 D (2) 212解析 曲线 y xsinx 在点 处的切线方程为 y x，所围成的三角形的顶( 2， 2)5点为 O(0,0)， A(，0)， C(，)，三角形面积为 22二、填空题3(2018太原高二检测)设函数 f(x)cos( x )(0 )，若 f(x) f ( x)是3奇函数，则 6解析 f ( x) sin
8、( x )，3 3f(x) f ( x)cos( x ) sin( x )3 3 32sin (3x 56)若 f(x) f ( x)为奇函数，则 f(0) f (0)0，即 02sin ， k( kZ)( 56) 56又 (0，)， 64(2018南昌一模)设函数 f(x)在(0，)内可导，其导函数为 f( x)，且 f(lnx) xln x，则 f(1)1 1e解析 f(ln x)1 ； f(lne)1 ；1x 1e即 f(1)1 故答案为 1 1e 1e三、解答题5偶函数 f(x) ax4 bx3 cx2 dx e 的图象过点 P(0,1)，且在 x1 处的切线方程为 y x2，求 y
9、f(x)的解析式解析 f(x)的图象过点 P(0,1)， e1又 f(x)为偶函数， f( x) f(x)故 ax4 bx3 cx2 dx e ax4 bx3 cx2 dx e b0， d0 f(x) ax4 cx21函数 f(x)在 x1 处的切线方程为 y x2，切点为(1，1) a c11 f ( x)|x1 4 a2 c，4 a2 c1 a ， c 52 92函数 y f(x)的解析式为 f(x) x4 x2152 926已知 f(x) x3 bx2 cx(b， cR)， f (1)0， x1,3时，曲线 y f(x)13的切线斜率的最小值为1，求 b， c 的值6解析 f ( x)
10、x22 bx c( x b)2 c b2，且 f (1)12 b c0(1)若 b1，即 b1，则 f ( x)在1,3上是增函数，所以 f ( x)min f (1)1，即 12 b c1由解得 b ，不满足 b1，故舍去14(2)若1 b3，即3 b1，则 f ( x)min f ( b)1，即 b22 b2 c1由解得 b2， c3 或 b0， c1(3)若 b3，即 b3，则 f ( x)在1,3上是减函数，所以 f ( x)min f (3)1，即 96 b c1由解得 b ，不满足 b3，故舍去94综上可知， b2， c3 或 b0， c1C 级 能力拔高(2018德州模拟)设函数
11、 f(x) ax ，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程bx为 7x4 y120(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 y x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解析 (1) f( x) a ，又根据切线方程可知 x2 时， y ， y ，bx2 12 74则有Error! ，解Error! (2)设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y1 知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程3x2为 y y0(1 )(x x0)，3x20即 y( x0 )(1 )(x x0)3x0 3x20令 x0 得 y ，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为(0， )6x0 6x0令 y x 得 y x2 x0，从而得切线与直线 y x 的交点坐标为(2 x0,2x0)所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形面积为7| |2x0|612 6x0故曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6
