1、1第二章 2.3 2.3.4 平面向量基本定理A级 基础巩固一、选择题1已知向量 a(1， m)， b( m,2)，若 a b，则实数 m等于( C )A B 2 2C 或 D02 2解析 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等由 a b知12 m2，即 m 或 m 2 22已知点 A(1,1)，点 B(2， y)，向量 a(1,2)，若 a，则实数 y的值为( C )AB A5 B6 C7 D8解析 (3， y1)，又 a，AB AB 所以( y1)230，解得 y73已知点 A(0,1)， B(3,2)，向量 (4，3)，则向量 ( A )AC BC A(7，4) B(7,4)C(
2、1,4) D(1,4)解析 设 C(x， y)， A(0,1)， (4，3)，AC Error! 解得Error! C(4，2)，又 B(3,2)， (7，4)，选 ABC 4已知向量 a( ，sin )， b(sin ， )，若 a b，则锐角 为( A )32 16A30 B60 C45 D75解析 a b，sin 2 ，32 16 14sin 12 为锐角， 305已知向量 a(1,3)， b(2,1)，若 a2 b与 3a b平行，则 的值等于( B )A6 B6 C2 D2解析 a2 b(5,5)，3 a b(32 ，9 )，2由条件知，5(9 )5(32 )0， 66若 a(1,2
3、)， b(3,0)，(2 a b)( a mb)，则 m( A )A B 12 12C2 D2解析 2 a b2(1,2)(3,0)(1,4)，a mb(1,2) m(3,0)(13 m,2)(2 a b)( a mb)1(13 m)26 m3，解得 m12二、填空题7已知向量 a(1,2)， b(1,0)， c(3,4)，若 为实数，( a b) c，则 的值为 12解析 a b(1,2) (1,0)(1 ，2)( a b) c，4(1 )320， 128已知向量 a(1,2)， b(2,3)若 a ub与 a b共线，则 与 u的关系为_ u_解析 a(1,2)， b(2,3)， a b(
4、1,2)(2,3)(1,5)， a ub (1,2) u(2,3)( 2 u,2 3 u)又( a ub)( a b)，(1)(2 3 u)5( 2 u)0. u三、解答题9平面内给定三个向量： a(3,2)， b(1,2)， c(4,1)(1)求 3a b2 c；(2)求满足 a mb nc的实数 m和 n；(3)若( a kc)(2 b a)，求实数 k解析 (1)3 a b2 c3(3,2)(1,2)2(4,1)(9,6)(1,2)(8,2)(918,622)(0,6)(2) a mb nc， m， nR，(3,2) m(1,2) n(4,1)( m4 n,2m n)3Error! 解得
5、Error! m ， n 59 89(3)a kc(34 k,2 k)，2 b a(5,2)又( a kc)(2 b a)，(34 k)2(5)(2 k)0 k 161310已知向量 (3，4)， (6，3)， (5 x，3 y)OA OB OC (1)若点 A， B， C不能构成三角形，求 x， y满足的条件(2)若 2 ，求 x， y的值AC BC 解析 (1)因为点 A， B， C不能构成三角形，则 A， B， C三点共线由 (3，4)， (6，3)，OA OB (5 x，3 y)得OC (3,1)， (2 x,1 y)，AB AC 所以 3(1 y)2 x所以 x， y满足的条件为 x
6、3 y10(2) ( x1， y)BC 由 2 得AC BC (2 x,1 y)2( x1， y)，所以Error! 解得Error!B级 素养提升一、选择题1已知向量 a(2,4)， b(3，6)，则 a和 b的关系是( B )A共线且方向相同 B共线且方向相反C是相反向量 D不共线解析 因为 a(2,4)， b(3，6)，所以 a b，由于 0，故 a和 b23 23共线且方向相反2已知向量 a(1,0)， b(0,1)， c ka b(k R)， d a b，如果 c d，那么( D )A k1 且 c与 d同向 B k1 且 c与 d反向C k1 且 c与 d同向 D k1 且 c与
7、d反向4解析 c d， c d，即 ka b (a b)，又 a， b不共线，Error! Error!. c d， c与 d反向3已知向量 a(1,1)， b(2， x)，若 a b与 4b2 a平行，则实数 x的值是( D )A2 B0 C1 D2解析 因为 a(1,1)， b(2， x)，所以 a b(3， x1)，4 b2 a(6,4 x2)，由于 a b与 4b2 a平行，得 6(x1)3(4 x2)0，解得 x24已知向量集合 M a|a(1,2) (3,4)， R， N a|a(2，2) (4,5)， R，则 M N( C )A(1,1) B(1,2)，(2，2)C(2，2) D
8、 解析 设 a M N，则存在实数 和中 ，使得(1,2) (3,4)(2，2) (4,5)，即(3,4)(4 3 ，5 4 )Error! 解得Error! a(2，2)二、填空题5(北京高考)已知向量 a( ，1)， b(0，1)， c( k， )若 a2 b与 c共线，3 3则 k_1_解析 a2 b( ，3)因为 a2 b与 c共线，3所以 ，解得 k1k3 336已知点 P1(2，1)，点 P2(1,3)，点 P在线段 P1P2上，且| | | |，则求P1P 23PP2 点 P的坐标为 ( ， ) 45 35解析 设点 P的坐标为( x， y)，由于点 P在线段 P1P2上，则有
9、，P1P 23PP2 又 ( x2， y1)， (1 x,3 y)，P1P PP2 由题意得Error!解得Error!点 P的坐标为 (45， 35)三、解答题7已知 AOB中， O(0,0)， A(0,5)， B(4,3)， ， ， AD与 BC交于 M点，OC 14OA OD 12OB 5求点 M的坐标解析 O(0,0)， A(0,5)， B(4,3)， (0,5)， (4,3)OA OB ( xC， yC) (0， )，OC 14OA 54点 C的坐标为(0， )54同理可得点 D的坐标为(2， )32设点 M(x， y)，则 ( x， y5)，AM 则 (20， 5)(2， )AD
10、32 72 A、 M、 D共线， 与 共线AM AD x2( y5)0，即 7x4 y20.72而 ( x， y )， (40,3 )(4， )，CM 54 CB 54 74 C、 M、 B共线， 与 共线CM CB x4( y )0，即 7x16 y20.74 54联立解得 x ， y2127点 M的坐标为( ，2)1278已知 A、 B、 C三点的坐标分别为(1,0)、(3，1)、(1,2)，并且 ， AE 13AC BF 13BC (1)求 E、 F的坐标；(2)判断 与 是否共线EF AB 解析 (1)设 E(x1， y1)、 F(x2， y2)，依题意得 (2,2)， (2,3)AC
11、 BC 由 可知( x11， y1) (2,2)，AE 13AC 13即Error! ，解得Error! ， E( ， )13 236由 可知( x23， y21) (2,3)BF 13BC 13Error! ，解得Error! F( ，0)，73即 E点的坐标为( ， )， F点的坐标为( ，0)13 23 73(2)由(1)可知 ( ，0)( ， )( ， )，( O为坐标原点)，EF OF OE 73 13 23 83 23又 (4，1)， (4，1) ，AB EF 23 23AB 即 与 共线EF AB C级 能力拔高如图，已知直角梯形 ABCD， AD AB， AB2 AD2 CD，
12、过点 C作 CE AB于 E， M为 CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE BC；(2)D、 M、 B三点共线解析 如图，以 E为原点， AB所在直线为 x轴， EC所在直线为 y轴建立直角坐标系，令| |1，则| |1，| |2AD DC AB CE AB，而 AD DC，四边形 AECD为正方形可求得各点坐标分别为： E(0,0)， B(1,0)， C(0,1)， D(1,1)， A(1,0)(1) (1,1)(0,0)(1,1)， (0,1)(1,0)(1,1)，ED BC ，ED BC ，即 DE BCED BC (2) M为 EC的中点， M(0， )，127 (1,1)(0， )(1， )，MD 12 12(1,0)(0， )(1， )MB 12 12 ， MD MB MD MB 又 MD与 MB共点于 M， D， M， B三点共线
