1、- 1 -存瑞中学 2018-2019 学年度第一学期期中考试高三数学（理）试题（存瑞部）一选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题中只有一项符合题目要求)1.已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B2.已知 ， 为虚数单位，若 为实数， 则的值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A3.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所
2、得的橘子个数是（ ）A. 15 B. 16 C. 18 D. 21【答案】C4.已知 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B5.执行如图所示的的程序框图，则输出的 ( )A. 4 B. C. 5 D. 6【答案】B- 2 -6.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A. 至 月份的收入的变化率与 至 月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是 C. 第三季度平均收入为 万元D. 利润最高的月份是 月份【答案】D7.学校艺术节对同一类的 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“
3、 或 作品获得一等奖” ； 乙说:“ 作品获得一等奖” ；丙说:“ , 两项作品未获得一等奖” ； 丁说:“ 作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品8.某几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C9.设抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 两点，若 ,则抛物线的准线方程为（ ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】A10.若函数 满足 且 的最小值为 ，则函数 的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 11.定义在 上的偶函数 满足：对任意的
4、实数 都有 ，且 ， 。则 的值为（ ）A. 2017 B. 1010 C. 1008 D. 2【答案】B12.已知双曲线 在左，右焦点分别为 ，以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在 轴左侧交于 两点，且 是等边三角形.则双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13.二项式 展开式中的常数项为_【答案】14.若 满足约束条件 ，则 的取值范围是_【答案】15.已知向量 与 的夹角为 ，且 ， 若 ，且 ,则实数 的值为_【答案】16.数列 的前 项和为 ，若 ，则 _- 4 -
5、【答案】三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .(1)求角 的大小:(2)若点 为的 中点，且 ,求的值 的值解：（1）在 中，由正弦定理得 ， ，则 ， ，（2）在 中，由余弦定理得 ，在 中，由余弦定理得 ， ，整理得 ， ，由正弦定理得18.如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ， . 是 的中点， 底面 ， 在平面 上的正投影为点 ，延长 交 于点 .(1)求证： 为 中点；(2)若 ， ，在棱 上确定一点 ，使得 平面 ，并求出 与面- 5 -所成角的正弦值.解：(1)连结 ， ， 是 中点，
6、， ， ，四边形 是平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， ， 在平面 的正投影为 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ， ，又 ， 是 的中点.(2) ， ， ， 平面 ，以 为原点， ， ， 分别为 的正方向建立空间直角坐标系 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的外心， ， 是 的重心， ，设 ， ， ，又 是平面 的一个法向量，且 平面 ， ， ，解得 ， ，设 是平面 的法向量， ， ， ，即 ，取 ，则 ， ， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 .- 6 -19.从甲、乙两种棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位: ) 组成一个样本，且将纤维长度超过 315 的棉花定为一级棉花.
7、设计了如下茎叶图:(1)根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算） ；(2)从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各 2 根，求其中恰有 3 根一级棉花的概率；(3)用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取 1 根，求其中一级棉花根数 X 的分布列及数学期望解：(1) 1.乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度(或:乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度).2.甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散.(或:乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更
8、大.)3.甲种棉花的纤维长度的中位数为 307 .乙种棉花的纤维长度的中位数为 318 .4.乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近).甲种棉花的纤维长度除一个特殊值(352) 外，也大致对称，其分布较均匀.(2) 记事件 为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各 2 根，其中恰有 3 根一级棉花”.则 (3) 由题意知， 的可能取值是 0,1,2,其相应的概率为, , ,所以 的分布列为- 7 -0 1 220.已知椭圆 的焦点坐标分別为 , , 为椭圆 上一点，满足且(1) 求椭圆 的标准方程:(2) 设直线 与椭圆 交于 两点，点 ，若 ，求 的取值范围.解：（1）由
9、题意设 ， 则 ，又 ， ，在 中，由余弦定理得， ，解得 ， ， ， 所求椭圆方程为（2）联立方程 ，消去 得 ，则 ， ，且 设 的中心为 ，则 ， ，, ,即， ，解得 - 8 -把代入得 ，整理得 ，即解得21.已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为(1) 求 的值；(2) 证明: .【答案】 （1） ；（2）见解析详解：（1）解： ，由题意有 ，解得（2）证明：（方法一）由（1）知， .设则只需证明，设则 ， 在 上单调递增，使得且当 时， ，当 时，当 时， ， 单调递减当 时， ， 单调递增，由 ，得 ，设 ， ， - 9 -当 时， ， 在 单调递减，因此（方法二）先证当 时，
10、 ，即证设 ， 则 ，且， 在 单调递增，在 单调递增，则当 时，（也可直接分析 显然成立）再证设 ，则 ，令 ，得且当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.，即又 ，22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，过点 的直线 的参数方程为 （ 为参数） ，与 交于 两点.（1）求 的直角坐标方程和 的普通方程；（2）若 成等比数列，求 的值.解：（1）由 ，两边同乘 ，得化为普通方程为- 10 -将 消去参数 ，得直线 的普通方程为（2）把 代入 ，整理得， ，由 ，得 或 ， ， ，, , 成等比数列，由 的几何意义得 ，即，即 ，解得又 ，
