1、四川省成都市第七中学 2018 届高三上学期模拟测试（1.5）数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,选 A.2. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 = ,选 C.3. 某城市 2017 年 12 个月的 PM2.5 平均浓度指数如右图所示.根据图可以判断，四个季度中PM2.5 的平均浓度指数方差最小的是（ ）A. 第一季度 B. 第二季度 C. 第三季度 D. 第四季度【答案】B【解析】
2、方差最小的数据最稳定,所以选 B.4. 设 ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以 ,选 B.5. 展开式 的系数是（ ）A. B. 10 C. D. 5【答案】A【解析】 的系数是 ,选 A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数.6. 棱长为 1 的正方体经切割之后余下的几何体，其三视图如图所示，则余下几何体体积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】
3、D【解析】余下几何体体积的最小值为正方体截去两个直角三棱锥时的体积,即为,选 D.7. 当点 到直线 的距离最大时， 的值为（ ）A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】直线 过定点 Q(2,1),所以点 到直线 的距离最大时 PQ 垂直直线,即 ,选 C.8. 函数 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 时, ,所以舍 B,C;当 时, ; 当 时, ;因此选 A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势
4、；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题9. 要得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）A. 沿轴向左平移个单位 B. 沿轴向右平移个单位C. 沿轴向左平移个单位 D. 沿轴向右平移个单位【答案】A【解析】试题分析：将 向左平移个单位得到，故选 A.考点：三角函数 的图像.【方法点睛】三角函数图象变换：（1）振幅变换（2）周期变换（3）相位变换（4）复合变换.10. 已知等差数列 的前项和为 ， ，若 ，则 （ ）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】B
5、【解析】 ,所以,选 B.11. 已知为抛物线 ： 上一动点，直线： 与轴、轴交于 两点，点 且，则 的最小值为（ ）A. B. C. 4 D. 【答案】B【解析】由题意得 ,由 得因此 ,所以选 B.12. 已知 为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与圆 相切于点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】 ,所以由 ，得 ,所以由余弦定理得,选 C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空
6、题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知为第二象限的角， ，则 _.【答案】【解析】本试题主要考查同角三角函数的基本关系式和正切的二倍角公式由已知得， 视频14. 实数 满足约束条件 ，则 的最大值是_.【答案】1【解析】作可行域,则直线 过点 A(1,0)时取最大值 1点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单
7、位：）满足函数关系（ e2.718为自然对数的底数， 为常数）.若该食品在 0的保鲜时间为192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间为_小时.【答案】24【解析】 16. 函数 的图象与二次函数 的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当 时, 函数 的图象与二次函数 的图象有一个交点，设当 时, 与 相切于 A 则有 ,因此当 时,要使 函数 的图象与二次函数 的图象有两个交点，需点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离
8、，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知函数 的最大值为 1.（1）求函数 的周期与单调递增区间；（2）若将 的图象向左平移个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最大值和最小值.【答案】 （1）见解析；（2） 最大值 ，最小值 .【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数周期公式求周期，根据正弦函数单调性列不等式解单调递增区间；（2）先根据图像平移得 解析式
9、，再根据正弦函数图像求在区间 上的最大值和最小值.试题解析：（1） ，其周期为（2）将 的图象向左平移个单位，得到函数 的图象， ，当 时， ， 取最大值当 时， ， 取最小值 .18. 某商场庆元旦举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球， 则不获奖（）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列，数学期望【答案】
10、 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）记事件 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 ， 从乙箱中摸出的 1 个球是红球顾客抽奖 1 次获一等奖 ， 顾客抽奖 1 次获二等奖 ， 顾客抽奖 1 次能获奖 ，则可知与 相互独立， 与 互斥， 与 互斥，且 ， ，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知 ，分别求得， ， ，即可知 的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 ， 从乙箱中摸出的 1 个球是红球顾客抽奖 1 次获一等奖 ， 顾客抽奖 1 次获二等奖 ， 顾客抽奖 1 次能获奖 ，由题意， 与 相互独立， 与 互斥， 与 互斥，且 ， ， ，
11、 ， ， ，故所求概率为 ；（2）顾客抽奖 3 次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为， ，于是 ， ， ，故 的分布列为0 1 2 3的数学期望为 .考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.视频19. 如图，四边形 是直角梯形， ， ，又，直线 与直线 所成的角为 .（1
12、）求证： ； （2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）根据条件得 再根据线面垂直判定定理得 平面 ，即得结论（2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解各面法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果试题解析：（1） ， 平面 ， 平面 ， .（2）在平面 内，过点 作 的垂线，建立空间直角坐标系，如图所示设 ，且 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则由 ，又平面 的一个法向量为 ，显然，二面角 为锐二面角所以二面角 的余弦值为 .20. 已知椭圆 的一个焦点 ，且过点 ，右顶点为 ，经过点的动直线与椭圆交于 两点
13、. （1）求椭圆 的方程；（2） 是椭圆 上一点， 的角平分线交轴于 ，求 的长；（3）在轴上是否存在一点 ，使得点 关于轴的对称点 落在 上？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） ;（2） ;（3）存在点 满足条件 .【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入椭圆方程，与 c=1 联立方程组解得（2）由角平分线定理得 ，解得 N 坐标，再根据两点间距离公式求的长；（3）根据对称得 ，设 ，利用斜率公式转化得 ，代入直线方程化简得 ，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得 最后根据方程恒成立条件得试题解析：（1）由已知得 ，解得 ，椭圆方程为（2）依题可得 ，由平
14、面几何角平分线定理得，即 ，得所以（3）假设在轴上存在一点 满足已知条件，则即整理得： ， 任意，故存在点 满足条件.点睛：定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 ，然后利用条件建立 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关21. 已知函数（1）证明：当 时， ；（2）若当 时， ，求实数的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最小值为 ，即证得结论（ 2）先讨论分母正负，化分式为整式，再求导数，由于 ，所以 必须为增函数，
15、根据单调性讨论可得实数的取值范围.试题解析：（1）当 时， ，则 ，令 ，解得当 时， ， 在 上是减函数；当 时， ， 在 上是增函数；故 在 处取得最小值 ，即 .（2）由已知 ， .（i）当 时，若 ，则 ，此时 ，不符合题设条件；（ii）当 时，若 ，令 ，则而 .当 时，由（ 1）知， ，即 ，它等价于 ，此时 在 上是增函数， ，即 .当 时，由（1）知， ，当 时， ，此时 在 上是减函数， ，即 ，不符合题设条件.综上: .22. 已知曲线 是极坐标方程式 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 是参数方程是 （为参数）.（1）求曲线 的直角
16、坐标方程和直线 的普通方程； （2）设点 ，若直线 与曲线 交于两点 ，且 ，求 的值.【答案】 （1） , ;（2） 或 1.【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是 的两边分别乘以 ，再根据极坐标与直角坐标的互化公式 及 即可得到曲线 的直角坐标方程，消去直线的参数方程 中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造 的方程.试题解析：（1）曲线 的极坐标方程是 ，化为 ，可得直角坐标方程：直线的参数方程是 （为参数） ，消去参数可得 （2）把 （为参数）代入方程： 化为： ，由，解得 ， ， ，解得 或 又满足 实数 或 2
17、3. 已知 ， .（1）若 ，求实数的取值范围；（2）对 ，若 恒成立，求的取值范围.【答案】 （1） ;（2） .【解析】试题分析：（1）两边平方去掉两个绝对值，转化为解一元因此不等式（2）先将不等式恒成立转化为对应函数最值： ，根据绝对值三角不等式得 的最大值为 1， 的最小值为 ；再解绝对值不等式可得的取值范围.试题解析：（1）由 得两边平方得 ，解得 ，故实数的取值范围为 .（2） ，若 恒成立等价于 恒成立，当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 ；，当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 1，故 ，解得 或 ，故的取值范围是 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
