1、1第 6 讲 一元二次方程根与系数的关系姓名：_一、 知识点与典型例题一元二次方程的根与系数的关系(通常也称为韦达定理)若 是一元二次方程 的两个根，则有 ， 21,x02acbxa abx2112cx根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1） （2）21212 2121xx（3） ；121212()xaxax（4） = =214x（5） =21x21()x【例 1】已知方程 的两根为 ，不解方程，求下列各式的值：035221,x（1） ； （2）2x【例 2】已知关于 x 的一元二次方程 x22（m1）xm 21=0（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；（2）若方程两
2、实数根分别为 x1，x 2，且满足（x 1x 2） 2=16x 1x2，求实数 m 的值【例 3】(2001 年全国竞赛题)如果 a,b 是质数,且 a213 a m0, b213 b m0.求 的值. ba+【例 4】(全国 初中数学联赛题)若 ab1，且有 5a22001a90 及 9b22001b50，求 的值ab【例 5】 (第 18 届江苏竞赛题)设 x1， x2是方程 2x24 mx2 mx3 m20 的两个实根，当 m 为何值时，x12 x22有最小值，并求这个最小值二、 课堂练习：1若方程 x2x1=0 的两实根为 、，那么下列说法不正确的是（ ）A=1 B=1 C 2 2=3
3、 D =12若关于 x 的一元二次方程 x2bxc=0 的两个实数根分别为 x1=2，x 2=4，则 bc 的值是（ ）A10 B10 C6 D13关于 x 的一元二次方程 x22（ m1） x m2=0 的两个实数根分别为 x1， x2，且 x1 x20， x1x20，则 m 的取值范围是（ ）A m B m 且 m0 C m1 D m1 且 m0124方程 x2（ m6） m2=0 有两个相等的实数根，且满足 x1 x2=x1x2，则 m 的值是（ ）2A2 或 3 B3 C2 D3 或 25已知关于 x 的方程 2x2 mx6=0 的一个根 2，则 m=_，另一个根为_6已知 m， n
4、是方程 x22 x5 = 0 的两个实数根，则 m2mn3 m n=_7已知关于 x 的一元二次方程 x22 x m=0，有两个不相等的实数根2（1）求实数 m 的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是 x1， x2，求代数式 x12 x22 x1x2的值8(江苏省初中数学竞赛题)已知 3m22 rn50，5 n22 n30，其中 m， n 为实数，求 的值.1n三、课后作业：1设方程（xa） （xb）x=0 的两根是 c、d，则方程（xc） （xd）x=0 的根是（ ）Aa，b Ba，b Cc，d Dc，d2如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m 的取值范围是（
5、 ）042mA B C D034m343已知 a，b 是方程 x2 x3=0 的两个根，则代数式 2a3 b23 a211 a b5 的值为_4若关于 的方程 有两个实数根 、 ，则 的最小值为21x212()x_5已知 a， b， c， d 是非零实数，c 和 d 是方程 x2 ax b=0 的解，a 和 b 是方程 x2 cx d=0 的解，则a b c d 的值为_ 6设 ， 是方程 2x24 x1=0 的两个根，不解方程求下列各式的值：1x2（1） ； （2） ； （3） （ 2） （ 2） 2 1x2 1x7设 m 是不小于1 的实数，使得关于 x 的方程 x22（ m2） x m2
6、3 m3=0 有两个不相等的实数根x1， x2（1）若 =1，求 的值；1x213m（2）求 m2的最大值18如果方程 的两个根是 那么 请根据以上结论，解决下列问题：20xpq12,x1212,.,xpq（1）已知关于 的方程 求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程20()mn两根的倒数；（2）已知 a、b 满足 a215 a5=0， b215 b5=0，求 的值； ab（3）已知 a、 b、 c 满足 a b c=0， abc=16，求正数 c 的最小值 9已知：关于 x 的两个方程 2x2（ m4） x m4=0 与 mx2（ n2） x m3=0 ，方程有两个不相等的负实数根，方程有两个实数根（1）求证方程的两根符号相同；（2）设方程的两根分别为 、 ，若 ： =1：2，且 n 为整数，求 m 的最小整数值10.（江苏省初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有 k 的值，使关于 x 的方程 kx2（ k1） x（ k 1）0的根都是整数311.（四川省竞赛题）ABC 的一边长为 5，另两边长恰为 2x2 12x m0 的两根，求 m 的取值范围12.（全国初中数学联赛题）已知 x， y 是正整数，并且 xy x y23， x2y xy2120，求 x2 y2的值
