1、兴化市第一中 2018 学年秋学期第一次月考高二数学 命题人：张宇辉 2018.10.09一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1.命题“若 am2bm 2，则 ab”的逆命题为 命题 （填“真” 、 “假” ）2如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 3命题“对任意的 xR，x 3x 2+11”的否定是 4双曲线 2x2y 2=1 的渐近线方程是 5已知双曲线 上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 6，则点 M 到另一个焦点的距离 6下列命题中： ；xR，e x0；xZ，61=3x+2； xR，3x 26x+4=0其中真命题的个数是 7下列命题中，p
2、是 q 的充分不必要条件是 （填序号） （1）p：a=0，q：f（x）=x 2+ax， （xR）为偶函数（2）p：sinsin，q：；（3）p：lga=lgb，q：a=b；（4）p：xMN，q：xMN8 下列结论错误的序号是 命题“若 x23x4=0，则 x=4”的逆否命题是“若 x4，则 x23x40” ；命题“若 x+y=0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为真命题；若 ab 是整数，则 a，b 都是整数；命题“若 m2+n2=0，则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0” 10如图一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使
3、M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于 P，则点 P 的轨迹是 11已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为 12离心率为 2 且与椭圆 + =1 有共同焦点的双曲线方程是13已知双曲线 （a0，b0）的两条渐近线均和圆 C：x 2+y26x+5=0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为 14已知 F1，F 2是椭圆 的左右焦点，过 F1的直线与椭圆相交于 A，B 两点若 ，则椭圆的离心率为 二、解答题：本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文
4、字说明,证明过程或演算步骤.15. （本题满分 14 分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）过点 A（1，2）且与椭圆 的两个焦点相同；（2）过点 ，2） ， ，1） （3）离心率 ，短轴长为16 （本题满分 14 分）已知命题 p：函数 f（x）=（m2）x+1 在 R 上为单调递增函数，命题q：关于 x 的方程 4x2+4（m2）+1=0 无实数根，(1) “p 或 q”为真命题，求 m 的取值范围(2)若“p 或 q”为真命题;“p 且 q”为假命题，求 m 的取值范围17 （本题满分 15 分）已知命题 p：点 M（1，3）不在圆（x+m） 2+（ym） 2=16 的内部，命题 q
5、：“曲线 表示焦点在 x 轴上的椭圆” ，命题 s：“曲线表示双曲线” （1）若“p 且 q”是真命题，求 m 的取值范围（2）若 q 是 s 的必要不充分条件，求 t 的取值范围18. （本题满分 15 分）设椭圆 的左，右两个焦点分别为 F1，F 2，短轴的上端点为 B，短轴上的两个三等分点为 P，Q，且 F1PF2Q 为正方形 （1）求椭圆的离心率；（2）若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在 x 轴上的一个截距为 ，求此椭圆方程4319 （本题满分 16 分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个
6、椭圆形状（1）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多少？（2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为 ，柱体体积为：底面积乘以高）20 （本题满分 16 分）已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为 A（2，0） ，过原点且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 B，C 两点，其中点 B 在第二象限，过点 B 作 x 轴的垂线交 AC 于点 D（1）求椭圆的标准方程（2）当直线 BC 的斜率为 时，求ABD 的面积（3）试比较 AB2与 ADAC 大小答案1.命题“若 am2bm 2，则 ab”的逆命题为
7、 假 命题 （填“真” 、 “假” ）2如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 3命题“对任意的 xR，x 3x 2+11”的否定是 xR，x 3x 2+11 解：命题“对任意的 xR，x 3x 2+11”是全称命题，否定时将量词对任意的 xR 变为R，再将不等号变为即可故答案为： xR，x 3x 2+114双曲线 2x2y 2=1 的渐近线方程是 5已知双曲线 上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 6，则点 M 到另一个焦点的距离 14 6下列命题中： ；xR，e x0；xZ，61=3x+2； xR，3x 26x+4=0其中真命题的个数是 1 7下列命题中，p 是 q 的充分
8、不必要条件是 （3） ， （4） （填序号） （1）p：a=0，q：f（x）=x 2+ax， （xR）为偶函数；（2）p：sinsin，q：；（3）p：lga=lgb，q：a=b；（4）p：xMN，q：xMN8 下列结论错误的序号是 命题“若 x23x4=0，则 x=4”的逆否命题是“若 x4，则 x23x40” ；命题“若 x+y=0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为真命题；若 ab 是整数，则 a，b 都是整数；命题“若 m2+n2=0，则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0” 9将 x2+y2=4 上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，则所得
9、曲线的离心率为 10如图一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于 P，则点 P 的轨迹是 椭圆 11已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为 解：A 1（a，0） ，A 2（a，0） 以线段 A1A2为直径的圆 x2+y2=a2与直线 bxay+2ab=0 相切， =a，化为：a 2=3b2椭圆的离心率 e= = = 12离心率为 2 且与椭圆 + =1 有共同焦点的双曲线方程是 =1 13已知双曲线
10、 （a0，b0）的两条渐近线均和圆 C：x 2+y26x+5=0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为 解：将圆 C：x 2+y26x+5=0 化为标准方程，得（x3） 2+y2=4圆心为 C（3，0） ，半径 r=2双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，c=3，可得 a2+b2=9又双曲线 的两条渐近线均和圆 C 相切点 C（3，0）到直线 bxay=0 的距离等于半径，即 联解，得 a= ，b=2该双曲线的方程为 故答案为：14已知 F1，F 2是椭圆 的左右焦点，过 F1的直线与椭圆相交于 A，B两点若 ，则椭圆的离心率为 解：由题意设 ，根据题意， ，则ABF 2为等腰
11、直角三角形，设 ，所以 ，由椭圆的性质，则ABF 2周长为 4a，即 4a=2m+ m，则 2a=m+ ，所以所以 ；15.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）过点 A（1，2）且与椭圆 的两个焦点相同；（2）过点 ，2） ， ，1） （3）离心率 ，短轴长为 解：（1）椭圆 中，a 2=9，b 2=6c 2=a2b 2=3，得焦点坐标为（0， ）故设所求的椭圆方程为： ， （m3） ，解之得 m=6（m=2 不合题意，舍去）所以椭圆的标准方程为： ；（2）设椭圆的方程为： ，p、q 均为正数且不相等椭圆经过点 ，2） ， ，1） ，解之得 p=15，q=5所以椭圆的标准方程为： 解：（3）
12、由 ，椭圆的方程为： + =1 或 + =116已知命题 p：函数 f（x）=（m2）x+1 在 R 上为单调递增函数，命题 q：关于 x 的方程4x2+4（m2）+1=0 无实数根，(1) “p 或 q”为真命题，求 m 的取值范围(2)若“p 或 q”为真命题;“p 且 q”为假命题，求 m 的取值范围解：(1)若 P 为真，则 m2；若 q 为真，则=16（m2） 2160，1m3“p 或 q”为真,m1实数 m 的取值范围是（1， +）(2)若“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，则 p，q 一真一假；（1）p 真 q 假时， ，m3；（2）p 假 q 真时， ，1m2；实数 m
13、的取值范围是（1，23，+） 17已知命题 p：点 M（1，3）不在圆（x+m） 2+（ym） 2=16 的内部，命题 q：“曲线表示焦点在 x 轴上的椭圆” ，命题 s：“曲线 表示双曲线” （1）若“p 且 q”是真命题，求 m 的取值范围；（2）若 q 是 s 的必要不充分条件，求 t 的取值范围解：（1）若 p 为真：（1+m） 2+（3m） 216解得 m1 或 m3，若 q 为真：则 解得4m2 或 m4若“p 且 q”是真命题，则 ，解得4m2 或 m4；（2）若 s 为真，则（mt） （mt1）0，即 tmt+1，由 q 是 s 的必要不充分条件，则可得m|tmt+1 m|4m
14、2 或 m4，即 或 t4，解得4t3 或 t418.设椭圆 的左，右两个焦点分别为 F1，F 2，短轴的上端点为 B，短轴上的两个三等分点为 P，Q，且 F1PF2Q 为正方形 （1）求椭圆的离心率；（2）若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在 x 轴上的一个截距为 ，求此椭圆方程43解：（1）由题意知： ，设 F1（c，0）因为 F1PF2Q 为正方形，所以 即 b=3c，b 2=9c2，即 a2=10c2，所以离心率（2）因为 B（0，3c） ，由几何关系可求得一条切线的斜率为 ，所以切线方程为 y3c=2 x，即 ，因为在轴上的截距为 ，所以 c=1，所求椭圆方程为：19如图，某隧道设
15、计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（1）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多少？（2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为 ，柱体体积为：底面积乘以高）解：（1）如图建立直角坐标系，则点 P（11，4.5） ，椭圆方程为 将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程，得 ，此时此时 因此隧道的拱宽约为 米；（2）由椭圆方程 ，根据题意，将（11，4.5）代入方程可得 因为 即 ab99 且 l=2a，
16、h=b，所以当 S 取最小值时，有 ，得 ， 此时 ，h=故当拱高约为 米、拱宽约为 米时，土方工程量最小20已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为 A（2，0） ，过原点且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 B，C 两点，其中点 B 在第二象限，过点 B 作 x 轴的垂线交 AC 于点D （1）求椭圆的标准方程（2）当直线 BC 的斜率为 时，求ABD 的面积；（3）试比较AB2与 ADAC 大小解：（1）因为左顶点为 A（2，0） ，所以 a=2，因为椭圆的离心率为 e= ，解得 ，又因为 b2=a2c 2，所以 b2=1，故所求椭圆的标准方程为（2）因为直线 BC 过原点，且斜率为所以直线 BC
17、的方程为 ，代入椭圆方程 ，解得，因为 A（2，0） ，所以直线 AC 的方程为 ，从而有 ，故ABD 的面积等于 ；（3）方法一：设直线 AB 的方程为 y=k（x+2） ，k0，整理得（4k 2+1）x 2+16k2x+16k24=0，设 B（x 1，y 1） ，则有 ，解得从而|AB|= | （2）|= ，由椭圆对称性可得 C（x 1，y 1） ，所以 ，于是 ，故 ，从而所以因为点 B 在第二象限，所以 ，于是有 AB2ADAC；方法二：设点 B（x 0，y 0） ，则点 C（x 0，y 0） ，因为 A（2，0） ，所以直线 AC 的方程为，所以 从而，= ， ，从而有 AB2ADAC
