1、高新部高三模拟考试理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则集合 与的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据函数定义域求集合 M，再根据定义求集合 Q，最后根据集合交集与并集定义确定选项.【详解】由 ；因为 ，所以 ;,选 C.【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，
2、常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图2. 已知为虚数单位，复数 在复平面内对应的点分别是 ，则线段 的中点 对应的复数的模为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义求线段 的中点 对应的复数，再根据模的定义求结果.【详解】线段 的中点 对应的复数为 ，所以模为 ，选 B.【点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为3. 已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】先求渐近线
3、，再根据垂直关系得 a,b 关系，最后得离心率.【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 选 B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4. 已知函数 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得 ,最后根据弦化切得结果.【详解】选 A.【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载
4、体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5. 设函数 的图象在点 处切线的斜率为 ，则函数 的图象一部分可以是( )A. B. .C. D. 【答案】A【解析】分析：求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可详解：由 可得： 即 ，函数是奇函数，排除选项 B，D；当 时， ，排除选项 C故选：A点睛：本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是基本知识的考查6. 二项式 的展开式中含 项的系数是( ）A. 80 B. 48 C. -40 D. -80【答案】D【解析】由题意可得 ，令 r=1, 所以 的系数为-80.选 B.7.
5、如图，是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是底边为 4，高位 的等腰三角形，俯视图是边长为 的正方形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意首先确定该几何体的几何特征，然后结合几何特征求解几何体的体积即可.详解：由三视图可知，该几何体是所有棱长都是 4 的一个四面体，如图所示，将几何体放入正方体，结合题意可知其体积 .本题选择 B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等
6、方法进行求解8. 执行如图所示的程序框图，则的值变动时输出的 值不可能是（ ）A. B. 9 C. 11 D. 13【答案】C【解析】分析：由题意模拟程序的运行，考查可能的输出结果，据此即可求得最终结果.详解：运行程序 x=2，2 是偶数，x=3，3 不是偶数，x=5，输出 5 或执行程序；不满足条件，x=6，6 是偶数，x=7 ，7 不是偶数，x=9，输出 9 或执行程序；不满足条件，x=10，10 是偶数，x=11 ，11 不是偶数，x=13，输出 13 或执行程序；不满足条件，据此可知，输出的 值不可能是 11.本题选择 C 选项.点睛：本题主要考查流程图知识与程序运行等知识，意在考查学
7、生的分析问题和计算求解能力.9. 设 满足约束条件 ，则 的最小值为A. 12 B. 13 C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作可行域，根据可行域确定 取值范围，最后根据基本不等式求最值.【详解】作可行域， 根据可行域确定 ,所以 ，当且仅当 时取等号，因此选 A.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.10. 中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述， 九章算术注曰：“倍上袤
8、，下袤从之。亦倍下袤，上袤从之。各以其广乘之，并以高乘之，皆六而一。 ”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一。已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩形，上底面矩形的长为 3，宽为 2， “刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的最大值为A. B. C. 39 D. 【答案】D【解析】【分析】根据定义列“刍童”的体积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.【详解】设下底面的长宽分别为 ，有则“刍童”的体积为 ,当 时， “刍童”的体积取最大值 ，选 D.【点睛】研
9、究二次函数最值问题,一般通过对称轴与定义区间位置关系,确定单调性,进而确定最值取法.11. 已知圆 的一条切线 与双曲线 C： 有两个交点，则双曲线 C 离心率的取值范围是A. B. （1，2） C. D. 【答案】D【解析】由已知 ，由 ，消去 得， ，则， ，所以 ，即 ，故选 D.12. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴的对称点，e 为自然对数的底数，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 与 的图象上存在关于 轴的对称点， 有解， ，在 有解，分别设 ， ，若 为 的切线， ，设切点为 ， ， ， ， ，结合图象可知， ，故选 D.点睛：本题导数的几何意义，
10、以及函数与方程的综合应用问题，关键是转化为 与有交点，属于中档题；由题意可知 有解，即 与 有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知的范围.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 向量 ， ，若向量， 共线，且 ，则 的值为_【答案】【解析】由题意可得： 或 ，则： 或 .14. 设点 是椭圆 上的点，以点 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于不同的两点 、 ，若 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为_【答案】【解析】分析：设 ，由题意 ，从而可求椭圆的离心率的取值范围.详解：因为圆 与 轴相切于焦点 ，所以圆心与 的连线必垂直于
11、 轴，不妨设 ，因为 在椭圆上，则 ，所以圆的半径为 ，由题意 ，所以 ，所以 .点睛：本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式) ，解方程(不等式) ，即可得 (的取值范围)15. 设 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围为_【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数 表示可行域内的点 与坐标原点 之间连线的斜率，目标函数在点 处取得最大值 ，在点 处取得最小值 ， 则
12、 的取值范围为 .点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义16. 在平面五边形 中，已知 ， ， ， ， ，当五边形 的面积 时，则 的取值范围为_【答案】【解析】由题意可设： ，则：，则：当 时，面积由最大值 ；当 时，面积由最大值 ；结合二次函数的性质可得： 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和为 满足： （ ）.(1) 求 . (2)若 （ ） ， ，则是否存在正整数 ，当 时 恒成立？若存在
13、，求 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2）1【解析】分析：(1)根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及前 n 项和公式求结果，(2)先代入化简 ，再根据 ， ，利用裂项相消法求 ，分别研究， 取值范围得 对一切正整数恒成立，因此可得 的最大值.详解：（1）当 时， ，由 ，得 .当 时， ， ，所以 ，即 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 .（2）由（1）可知， ，所以 ，所以.又 ，所以 为递增数列， .而 ，所以 恒有 ，故存在正整数，当 时 恒成立，其 的最大值为 1.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后
14、通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .18. 有 120 粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将 120 粒种子分种在 40 个坑内，每坑 3 粒；方案二：120 粒种子分种在 60 个坑内，每坑 2 粒 如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（每个坑至多补种一次，且第二次补种的种子颗粒同第一次）.假定每个坑第一次播种需要 2 元，补种
15、 1 个坑需 1 元；每个成活的坑可收货 100 粒试验种子，每粒试验种子收益 1 元.(1)用表示播种费用，分别求出两种方案的的数学期望；(2)用 表示收益，分别求出两种方案的收益 的数学期望；(3)如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：(1)先确定播种费用随机变量，再计算对应概率，利用数学期望公式求期望，(2) 先确定收益随机变量，再计算对应概率，利用数学期望公式求期望，(3)根据纯利润的大小确定选择方案.详解：（1）方案一：用 表示一个坑播种的费用，则 可取 2，3.2 3 . 元.方案二：用 表示一个坑
16、播种的费用，则 可取 2，3.2 3 . 元.（2）方案一：用 表示一个坑的收益，则 可取 0，100.0 100 . 元.方案二：用 表示一个坑的收益，则 可取 0，100.0 100 . 元.（3）方案二所需的播种费用比方案一多 50 元，但是收益比方案一多 1687.5 元，故应选择方案二.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机
17、变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值。19. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，点 为棱 的中点，（1 ）证明： ；（2 ）若点 为棱 上一点，且 ，求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】分析：（）由题意可得 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据 可证得 （）根据点 在棱 上可设 ，再由 ，得 ，由此可得 ，从而可得 然后可求得平面 的法向量为 ，又平面的一个法向量 ，可得 ，然后结合图形可得所求详解：（）证
18、明： 底面 ， 平面 ， 面 ， ， ，又 ， 两两垂直以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴，建立空间直角坐标系 .则由题意得 ， ， ， （）由（）可得 , 由点 在棱 上，设 ， ，,解得 ， 设平面 的法向量为 ，则由 ，得 ，令 ，得 由题意取平面 的一个法向量 ，由图形知二面角 是锐角，所以二面角 的余弦值为 点睛：用坐标法解答立体几何问题的几个注意点：（1）建立空间直角坐标系时首先要判断是否满足条件，即是否有三条两两垂直的直线；（2）求点的坐标时一定要准确，对于不容易求的点的坐标，可根据向量的共线等方法求解；（3）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形
19、判断出二面角为锐角还是钝角，最后再下结论20. 如图，分别过椭圆 左、右焦点 ， 的动直线 ， 相交于 点，与椭圆 分别交于 ， 与 ， 不同四点，直线 ， ， ， 的斜率 ， ， ， 满足已知当 与 轴重合时， ， ，（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）是否存在定点 ， ，使得 为定值？若存在，求出 ， 点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）当 与 轴重合时， 垂直于 轴，得,得 , 从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则 点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，所以把 坐标化，可得 点的轨迹是椭圆，从而求得定点 和点 .试题解析： 当 与 轴
20、重合时， , 即 ,所以 垂直于 轴，得 ， ，, 得 , 椭圆 的方程为.焦点 坐标分别为 , 当直线 或 斜率不存在时， 点坐标为或 ;当直线 斜率存在时，设斜率分别为 , 设 由 , 得：, 所以: ， , 则：. 同理：, 因为, 所以 , 即 , 由题意知, 所以， 设 ，则 ，即 ，由当直线 或 斜率不存在时， 点坐标为 或 也满足此方程，所以点 在椭圆上.存在点 和点 ，使得 为定值，定值为 .考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量 ， ，得 , ,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则 点
21、的轨迹是椭圆或者双曲线 ，本题的关键是从这个角度出发，把 坐标化，求得 点的轨迹方程是椭圆 ，从而求得存在两定点 和点 .21. 已知函数 （1 ）若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围；（2 ）若函数 在 上存在两个极值点 ， ，且 ，证明： 【答案】 （1） ；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由条件可知 恒成立，通过参变分离的方法得到 恒成立，即转化为利用导数求函数 的最大值，即求 的取值范围；（2）根据条件可知 ， 和 ，经过变形整理为，经过换元，可将问题转化为证明 ，利用导数求函数的最小值，即可证明.试题解析：(1)由函数 在 上是减函数，知 恒成立，.由 恒成立可知 恒成
22、立，则 ，设 ，则 ，由 ， 知，函数 在 上递增，在 上递减， ， .(2)由(1)知 .由函数 在 上存在两个极值点 ，且 ，知 ，则 且 ，联立得 ，即 ，设 ，则 ，要证 ，只需证 ，只需证 ，只需证 .构造函数 ，则 .故 在 上递增， ，即 ，所以 .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，考查了转化与化归的鞥努力，尤其是第二问，利用条件可变形为 ，这样通过换元设 ，转化为关于的函数 .22. 以直角坐标系的原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为 （为参数， ） ，曲线 的极坐标方程为（1 ）若 ，求直线的普通方程
23、和曲线 的直角坐标方程；（2 ）设直线与曲线 相交于 ， 两点，当 变化时，求 的最小值【答案】 （1） ， ；（2 ）【解析】分析：（1）将 代入到直线的参数方程，消去即可得直线的普通方程，再根据 ，即可求得曲线 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线 的直角坐标方程，根据韦达定理可得 ， ，结合参数的几何意义及三角函数的图象与性质即可求得 的最小值详解：（1）当 时，由直线的参数方程 消去得 ，即直线的普通方程为 ；因为曲线过极点，由 ，得 ，所以曲线 的直角坐标方程为 （2）将直线的参数方程代入 ，得 .由题意知 ，设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，则 ， . ， ， .当
24、，即 时， 的最小值为 点睛：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化的方法，直线的参数方程及其几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解.把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法.23. 已知函数 （1 ）若 在 上的最大值是最小值的 2 倍，解不等式 ；（2 ）若存在实数 使得 成立，求实数的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）根据 在 上的最大值是最小值的 2 倍求出 a 的值，再解不等式 .(2)先分离参数得 ，再求右边式子的最小值，得到 a 的取值范围.详解：（1） ， ， ， ，解得 ，不等式 ，即 ，解得 或 ，故不等式 的解集为 （2）由 ，得 ，令 ，问题转化为 ，又 故 ，则 ，所以实数的取值范围为 点睛：（1）本题主要考查不等式的解法和求绝对值不等式的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，得到 ，问题转化为 ，不是转化为 ,因为它是存在性问题.
