1、豫北豫南 2017-2018 学年第二次联考联评高三数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 = ， = ，所以故选 B2. 若原命题为：“若 为共轭复数，则 ”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）A. 真真真 B. 真真假 C. 假假真 D. 假假假【答案】C【解析】根据共轭复数的定义，原命题“若 z1，z 2互为共轭复数，则|z 1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z 1|=|z
2、2|，则 z1，z 2互为共轭复数” ，例|1|=|-1|，而 1 与-1 不是互为共轭复数，原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题故选 C3. 函数 与 ，这两个函数在区间 上都是减函数的一个充分不必要条件是实数 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】f（x）=-x 2+2（a-1）x 在区间1，2上是减函数，a-11，即 a2，在区间1，2上是减函数，a-10，即 a1，a 的取值范围是（1，2故（1，2一个充分不必要条件是实数故选 C4. 已知 为边 的两个三等分点，则 （ ）A. B
3、. C. D. 【答案】D【解析】在ABC 中，BAC=60，AB=2，AC=1，根据余弦定理可知 BC= 由 AB=2，AC=1，BC= ，满足勾股定理可知BCA=90以 C 为坐标原点，CA、CB 方向为 x，y 轴正方向建立坐标系AC=1，BC= 则 C（0，0） ，A（1，0） ，B（0， ）又E，F 分别是 RtABC 中 BC 上的两个三等分点，则 E（0， ） ，F（0， ）则 故选 D5. 设 的两根是 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 解得 或 或 即 ， 所以 故选 D6. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【
4、答案】A【解析】由三视图可知：该几何体是以 2 为边长正方体从右下前方挖去 个球，该球以顶点为球心，2 为半径，则该几何体的表面积为 ，故选 A.7. 函数 .若该函数的两个零点为 ，则（ ）A. B. C. D. 无法判定【答案】C【解析】由两个函数 的图像可知交点的横坐标即为 ，因为 的函数值横大于 0，所以设函数 与直线 的交点的横坐标为 ， ,，且 故选 C8. 古代数学名著九章算术中的“盈不足”问题知两鼠穿垣.今有垣厚 5 尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？题意是：由垛厚五尺（旧制长度单位， 尺= 寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一
5、直线相对打洞.大鼠第一天打进 尺，以后每天的速度为前一天的 倍；小鼠第一天也打进 尺，以后每天的进度是前一天的一半.它们多久可以相遇？A. 天 B. 天 C. 天 D. 天【答案】A【解析】由于前两天大鼠打 1+2 尺，小鼠打 尺，因此前两天两鼠共打 3+1.5=4.5第三天，大鼠打 4 尺，小鼠打 尺，因此第三天相遇设第三天，大鼠打 y 尺，小鼠打 0.5-y 尺，则 ，因为第三天大鼠速度是 4 尺，故第三天进行了 天 所以共进行天故选 A9. 线段的黄金分割点定义：若点 在线段 上，且满足 ，则称点 为线段 的黄金分割点，在 中， ，若角 的平分线交边 于点 ，则点 为边 的黄金分割点，利
6、用上述结论，可以求出 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】不妨设 AB=2，利用黄金分割点的定义得 在 中，故选 B10. 已知矩形 .将矩形 沿对角线 折成大小为 的二面角 ，则折叠后形成的四面体 的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 与 的大小无关【答案】C【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心为对角线 AC 的中点，AC=5，所以球的半径为 ，所以球的表面积为 故选 C11. 已知直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点 的横坐标为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 M ，设 代入双曲线方程相减得故选 B
7、点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，已知弦 AB 的中点 M 坐标，可采用点差法，得出 是解决本题的关键.12. 定义在 上的偶函数 的导函数为 ，且当 .则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意，设 g（x）=x 2f（x） ，其导数 g（x）=（x 2）f（x）+x 2f（x）=2xf（x）+x 2f（x）=x2f（x）+xf（x），又由当 x0 时，有 2f（x）+xf（x）0 成立，则数 g（x）=x2f（x）+xf（x）0，则函数 g（x）在（0，+）上为减函数，若 g（x）=x 2f（x） ，且 f（x）为偶函数，则 g（-x）=（-x） 2f（-x）=x 2
8、f（x）=g（x） ，即 g（x）为偶函数，所以 即 因为 为偶函数，所以 ,所以故选 D点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数 g（x）并分析 g（x）的单调性与奇偶性第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 过点 作圆 的切线方程是_【答案】【解析】因为点 在圆 上，所以切点为 ，切线斜率 所以由点斜式写方程得 即故答案为14. 已知实数 满足 ，则 的取值范围为_【答案】【解析】可行域是由 A 围成的三角形及其内部， 表示点 与区域中的点 之间距离的平方，在点 B 处， 取得最大值为 9，
9、最小值即为点 到直线 的距离 的平方，故 的取值范围为故答案为15. 下面结论中：不等式 成立的一个充分不必要条件是 ；对 恒成立；若数列 的通项公式 ，则数列 中最小的项是第 项；在锐角三角形 中， ；其中正确的命题序号是_【答案】【解析】对于不等式 得 所以不等式 成立的一个充分不必要条件是 ；故对；对于， 在 处的切线为 ,所以对 恒成立；故对；对于 = 令 ， 在 所以对于= 最小的项是第 项；对；对于锐角三角形 中， 又 0 ,所以 故错；故答案为16. 已知锐角 的内角 的对边分别为 ，其外接圆半径为 ，则的周长的取值范围是_【答案】【解析】根据正弦定理得 在锐角 中， 所以 .故
10、答案为点睛：本题考查了正弦定理解三角形，正弦型函数图像的性质，利用正弦定理把所求的边转化为角来解决是本题的关键.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 是首项 的等比数列，且 是首项为 的等差数列，.（1）求数列 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 a5+b3=21，a 3+b5=13 求出数列a n的公比，数列b n的公差，从而求出数列的通项公式；（2）根据（1）中求得的结果代入试题解析：（1）设数列 的公比为 的公差为 ，则由已知条件得： ，解之得：。（2
11、）由（1）知-得：，.18. 某老师对全班 名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示：参加社团活动 不参加社团活动 合计学习积极性高学习积极性一般合计（1）请把表格数据补充完整；（2）若从不参加社团活动的 人按照分层抽样的方法选取 人，再从所选出的 人中随机选取两人作为代表发言，求至少有一个学习积极性高的概率；（3）运用独立性检验的思想方法分析：请你判断是否有 的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系？附：【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）有 的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系.【解析】试题分析：（1）根据列联表给出的数据可以补全其它数据（2） 人选
12、 人，其中学习积极性高的 人记为 ，学习积极性一般的 人，记为 ，从 这 人中任选两人，共有以下 个等可能性基本事件：，则至少有以为学习积极性高的事件有 个，根据古典概型的概率计算即得解.（3）根据列联表中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系试题解析：（1）参加社团活动 不参加社团活动 合计学习积极性高学习积极性一般合计（2） 人选 人，其中学习积极性高的 人记为 ，学习积极性一般的 人，记为 ，从这 人中任选两人，共有以下 个等可能性基本事件：，则至少有以为学习积极性高的事件有 个
13、，所以至少有一位学习积极性高的概率 .（3） 所以大约有 的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系.19. 如图，已知三棱锥 中， 为 中点， 为 中点，且 为正三角形.（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）先证明 平面 在平面 ABC 内直线 APBC，BCAC，即可证明 BC面 APC，从而证得平面 ABC平面 APC；（2）因为 BC=4，AB=20，利用等积转化，求出 即可求三棱锥 D-BCM 的体积试题解析：（1） 为 中点， 为 中点， ，为正三角形，且 为 中点，得又 平面 平面 ，又 ，平面 ，又
14、 平面 平面 平面 .（2）又，又 .。20. 已知圆 ，定点 ，点 为圆 上的动点，点 在直线 上，点 在直线 上，且满足 .（1）求点 的轨迹 的方程；（2）过点 作斜率为 的直线 ，与曲线 交于 两点， 是坐标原点，是否存在这样的直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的斜率 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）点 Q 在 NP 上，点 G 在 MP 上，由已知有|GN|+|GM|=|MP|=6，由椭圆的定义知 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，由定义写出其标准方程即可得到点 G 的轨迹 C 的方程 （2）令 A（x 1，y 1） ，B（x
15、 2，y 2） ，则有 x1x2+y1y2 1，由直线 l 与曲线 C 联立求利用根与系数的关系求出 x1x2，y 1y2的参数表达式，代入求直线的斜率 k 的范围试题解析：（1） 为线段 的中点且 ，则 为 的中垂线，故 ，所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，其中点 的轨迹 的方程是（2）设 的方程为 ，由 得 ，则 ，解得 .故存在这样的直线 ，使得 ，此时其斜率 的取值范围是 .21. 已知定义在正实数集上的函数 ，其中 ，设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同 .（1）若 ，求实数 的值；（2）用 表示 ，并求实数 的最大值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）设 y=f
16、（x）与 y=g（x） （x0）在公共点（x 0，y 0）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后利用两直线重合列出等式即可求得 b 值；（2）利用（1）类似的方法，利用 a 的表达式来表示b，然后利用导数来研究 b 的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得试题解析：（1）设 与 在公共点 处的切线相同，由题意知，由 得， ，或 （舍去）即有 .（2）设 与 在公共点 处的切线相同，由题意知，由 得， ，或 （舍去） ，即有 ，令 ，则 ，于是当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，故 在 的
17、最大值为 ，故 的最大值为 .点睛：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2） 为曲线 上任一点，过点 作曲线 的切线 （ 为切点） ，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由已知 ，即 ，由
18、 ，两边同乘以 得到 ，即 即得解（2）由（1）知，曲线 为圆心 ，半径为 的圆，故 ，当且仅当取得最小值时， 取得最小值，求得 即可得 .试题解析：（1）由已知 ，即 ，由 ， ，即， .（2）由（1）知，曲线 为圆心 ，半径为 的圆，故，当且仅当 取得最小值时， 取得最小值，所以， .点睛：本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆相切求切线长的最小值可以根据勾股定理转到先求圆外的点与圆心距离的最小值即可得解.23. 选修 4-5：不等式选讲定义在 上的函数 ，若 ，有 ，则称函数 为定义在 上的非严格单增函数；若 ，有 ，则称函数 为定义在 上的非严格单减函数.已知：.（1
19、）若函数 为定义在 上的非严格单增函数，求实数 的取值范围.（2）若函数 为定义在 上的非严格单减函数，试解不等式 .【答案】 （1） ；（2）当 时，不等式 的解集为： ；当 时，不等式的解集为： .【解析】试题分析：（1）讨论 与 2 的大小，去绝对值符号，把 写成分段函数，根据题目定义即可得解（2）函数 为定义在 上的非严格单减函数，由（1）知 ，且.所以，当 时， 不等式 的解集为：；当 时，不等式 ,即或 或 解得 x 的范围即得解.试题解析：（1）当 时， ；当 时， ；当 时， .因为 为定义在 上的非严格单增函数，根据定义，可得： .（2）函数 为定义在 上的非严格单减函数，由（1）知 ，且 .所以，当 时， 不等式 的解集为：；当 时，不等式 ,即 或 或 解得 或 即 所以 的解集为： .点睛：本题考查了新定义的应用，分类讨论思想去绝对值，解含绝对值不等式，注意在第二问中先求出 的值域，从而要解 可以讨论 的最大值 与 2 的大小关系.
