1、洛阳市 2017-2018 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 的子集个数为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】分析：求出集合 A,B，得到 ，可求 的子集个数的子集个数为 故选 C.点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.2. 已知复数 （ 是虚数单位） ，则 的共轭复数 对应的点在（ ）A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限【答案】A【解析】分析：直接利
2、用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求 的共轭复数即可详解： 则 的共轭复数 对应的点在第四象限.故选 A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3. “ ”是“ ”的（ ）A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 m，n 的大小关系，进而判断出结论详解： ，“ ”是“ ”的的充分不必要条件故选 C点睛：本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4. 设随机变量 ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 中随机投掷个
3、点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）注：若 ，则 ， .A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算详解： ， 点睛：本题考查了正态分布、几何概型，正确理解正态分布的定义是解题的关键，属于中档题5. 九章算术中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3节的容积之和为（ ）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】B【解析】分析：设自上而下各节的容积分别为 公差为 ，由上面 4 节的容积共
4、 3升，下面 3 节的容积共 4 升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出 由此能求出自上而下取第 1，3，9 节，则这 3 节的容积之和详解：设自上而下各节的容积分别为 ，公差为 ，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升， ，解得 ，自上而下取第 1，3，9 节，则这 3 节的容积之和为： （升） 故选 B点睛：本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6. 将函数 的图像向平左移 个单位，得到函数 的图像，则下列说法不正确的是（ ）A. B. 在区间 上是增函数C. 是 图像的一条对称轴 D. 是 图像的
5、一个对称中心【答案】D【解析】分析：利用三角函数的图象平移求得 ，然后逐一分析四个选项得答案详解：把函数 的图像向平左移 个单位，得到函数图象的解析式 故 A 正确；当 时， 在区间 是增函数，故 B 正确；不是 图象的一条对称轴，故 C 正确； ，是 图像的一个对称中心，故 D 错误故选 D点睛：本题考查 型函数的图象和性质，是基础题7. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作倾斜角为 的直线与 轴和双曲线的右支分别交于点 、 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意求出直线方程，再根据 ，可得 为 的中点，根据中点坐标公式求出 的坐标
6、，代入双曲线方程可得 ，化简整理即可求出详解： ， 为 的中点，由题意可得直线方程为 当 时， 设 即 即 整理可得 即 解得 。故选 C点睛：本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及直线方程，中点坐标公式，属于中档题8. 在 中，点 满足 ，过点 的直线与 ， 所在直线分别交于点 ， ，若， ，则 的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A【解析】分析：用 ， 表示出 ,根据三点共线得出 的关系，利用基本不等式得出的最小值.详解：三点共线， 则 当且仅当 即 时等号成立.故选 A.点睛：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用，属中档
7、题.9. 若 ，则 的值为（ ）A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D【解析】分析：先由题意求得 ，再令 ，可得 的值详解：根据 ，令 ，可得 再令 ，可得 故选 D点睛：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法，属于基础题10. 在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 是边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形找出 的外接圆圆心与三棱锥 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积详解： 三棱锥 设直线 与平面 所成
8、角为 ，如图所示；则 由题意且 的最大值是 ， ，解得 即 的最小值为 的最小值是 ，即点 到 的距离为 ， 取 的外接圆圆心为 ，作 ， 解得 ； 为 的中点， 由勾股定理得 三棱锥 的外接球的表面积是故选 B.点睛：本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，是中档题11. 记数列 的前 项和为 .已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题 可得 由此可得 又，可得数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为 1,2，由此可求 .详解：由题数列 满足 ， ， 又，由此可得数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1,2，则故选 A.
9、点睛：本题考查等比数列的通项公式及其前 项和公式，属中档题.12. 已知函数 与 的图像有 4 个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：函数 与 的图像有 4 个不同的交点，即有 4 个不同的实根，由 可得 ，讨论其性质可得 的取值范围.详解：函数 与 的图像有 4 个不同的交点，即 有 4 个不同的实根，由 可得 ，即 其定义域为 且 ，设 （ 且 ） ，则 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 但 且 ） ，故 的值域为 ，设 ，则 ,此时 此时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，由图像可知，在 上单调递减，在 上单调递增，且当 时，函数
10、函数 与 的图像有 4 个不同的交点，则实数 的取值范围为 .故选 C.点睛：本题考查利用导数眼函数零点问题，注意数形结合思想的应用，解题时注意函数的定义域，属难题第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出 的值为_【答案】4【解析】分析：利用循环体，计算每执行一次循环后 的值，即可得出结论详解：第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环，；第四次循环， ，退出循环，此时输出的值为 4故答案为 4：点睛：本题考查循环结构，考查学生的读图能力，解题的关键是读懂循环结构14. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最大
11、值为_【答案】1【解析】分析：由约束条件作出可行域，可知 z 恒大于等于 0，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案详解： 由约束条件作出可行域，可知 z 恒大于等于 0，则目标函数 的几何意义是可行域内（包括边界）的点与点 连线的斜率的绝对值的取值范围，由可行域可知直线 ， 故答案为 1 .点睛：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】分析：由三视图可得：该几何体为左右两部分组成，左边为 圆锥，右边为三棱锥利用体积计算公式即可得出详解：由三视图可得：该几何体为左右两部分组成，左边为 圆
12、锥，右边为三棱锥该几何体的体积 故答案为 点睛：本题考查了圆锥与三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16. 已知椭圆的焦点为 ， ，其中 ，直线 与椭圆相切于第一象限的点 ，且与 ， 轴分别交于点 ， ，设 为坐标原点，当 的面积最小时，则此椭圆的方程为_【答案】【解析】分析：先根据定积分求出 c ，由题意，切线方程为 利用基本不等式，结合 （ 为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，即可求出 ，问题得以解决详解：由椭圆的焦点为 ，可设椭圆的方程为 直线与椭圆相切，则切线方程为 当且仅当 时取等号，此时 的面积最小，设 由余弦定理可得，的面积
13、故椭圆的方程为 ，故答案为 .点睛：本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆是位置关系，考查余弦定理的运用，基本不等式，椭圆的切线方程，属于难题三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 .（1）求角 的大小；（2）若 ，且 的面积为 ，求 .【答案】(1) ；(2)4.【解析】分析：（1）利用已知条件，通过正弦定理以及余弦定理转化求角 的大小；（2） ，利用正弦定理以及三角形的面积转化求解 即可详解：（1）由 ，由正弦定理得 ，即 ，所以， .（2）由正弦定理 ，可得 ， ，所以 .又
14、 ， ， ，解得 .点睛：本题考查正弦定理以及余弦定理三角形的面积的求法，考查计算能力18. 如图，四边形 是矩形，沿对角线 将 折起，使得点 在平面 内的摄影恰好落在边 上.（1）求证：平面 平面 ；（2）当 时，求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）先证明 . 结合 ，得 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .（2）以点 为原点，线段 所在的直线为 轴，线段 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.试题解析：（1）设点 在平面 上的射影为点 ，连接则 平面 ，所以 .因为四边形 是矩形，所以 ，所以 平面 ，所以 . 又 ，所以 平面
15、，而 平面 ，所以平面 平面 .（2）方法 1：在矩形 中，过点 作 的垂线，垂足为 ，连结 .因为 平面 ，又 DMDE=D所以 平面 ，所以 为二面角 的平面角. 设 ，则 .在 中，易求出 ， .在 中， ，所以 . 方法 2：以点 为原点，线段 所在的直线为 轴，线段 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设 ，则 ，所以 ， .由（I）知 ，又 ，所以 ， ，那么， ， ，所以 ，所以 ， . 设平面 的一个法向量为 ，则 即取 ，则 ， ，所以 . 因为平面 的一个法向量为 ，所以 .所以求二面角 的余弦值为 . 点睛：此题考查二面角余弦值的计算，向量坐标的运算等.向量
16、法在解决立体几何中二面角问题的一般步骤是：1.建系，根据图形特点建立合理的空间直角坐标系；2.标点，把所涉及到的点的坐标找出来，并计算相应向量的坐标；3.求法向量，通过向量的运算，把二面角的两个半面的法向量计算出来；4.代入公式求值，利用向量的数量积公式，求出两个法向量的夹角，从而求二面角的相关值.19. 某次数学知识比赛中共有 6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取 3 个题目进行作答，已知这 6 个题目中，甲只能正确作答其中的 4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为 ，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答 3 个题目的概率；（2）若甲
17、、乙两位同学答对题目个数分别是 ， ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得 15 分，乙答对一题得 10 分，求甲乙两人得分之和 的期望.【答案】(1) ;(2)50.【解析】分析：（1）由题意可知共答对 3 题可以分为 3 种情况：甲答对 1 题乙答对 2 题；甲答对 2 题乙答对 1 题；甲答对 3 题乙答对 0 题由此能求出甲、乙两位同学总共正确作答3 个题目的概率（2） 的所有取值有 1，2，3.分别求出相应的概率，由此能求出 ，由题意可知，故 利用 ，得 详解：（1）由题意可知共答对 3 题可以分为 3 种情况：甲答对 1 题乙答对 2 题；甲答对 2 题乙答对 1 题；甲答
18、对 3 题乙答对 0 题.故所求的概率.（2） 的所有取值有 1，2，3.， ， ，故 .由题意可知 ，故 .而 ，所以 .点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20. 已知抛物线 ，点 ， 在抛物线上，且横坐标分别为 ， ，抛物线 上的点 在， 之间（不包括点 ，点 ） ，过点 作直线 的垂线，垂足为 .（1）求直线 斜率 的取值范围；（2）求 的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：（1）设 ，得出 关于 的函数，根据 的范围得出 的范围；（2）根据 ， 的方程得出
19、点坐标，根据距离公式计算 ， ，得出 关于的函数，再根据函数单调性得出最大值详解：（1）由题可知 ， ，设 ， ，所以，故直线 斜率 的取值范围是 .（2）直线 ，直线 ，联立直线 ， 方程可知点 的横坐标为 ， ，所以 ，令 ，则 ，当 时 ，当时 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减.故 ，即 的最大值为 .点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查弦长公式与距离公式的应用，属于中档题21. 已知函数 ，其中 .（1）讨论函数 的单调性；（2）当 时，证明：不等式 恒成立（其中 ， ）.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围
20、，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证明 恒成立设 ，则上式等价于 ，要证明 对任意 ， 恒成立，要证明 g（x 1+x2）g（x 1-x2）对任意 x1R，x 2（0，+）恒成立，即证明在 上单调递增，根据函数的单调性证明即可详解：（1）由于 .1）当 时， ，当 时， ， 递增，当 时， ， 递减；2）当 时，由 得 或 .当 时， ，当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增；当 时， ， 递增；当 时， .当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增.综上，当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数；当 时， 在 ， 上是增函数，在 上是减函数；当 时
21、， 在 上是增函数；当 时， 在 ， 上是增函数，在 上是减函数.（2）依题意 恒成立.设 ，则上式等价于 ，要证明 对任意 ， 恒成立，即证明 在 上单调递增，又 ，只需证明 即可.令 ，则 ，当 时， ，当 时， ， ，即 ， ，那么，当 时， ，所以 ；当 时， ， ， 恒成立.从而原不等式成立.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的极坐标方程为 ，现以极点 为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平
22、面直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.（1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；（2）若曲线 为曲线 关于直线 的对称曲线，点 ， 分别为曲线 、曲线 上的动点，点 坐标为 ，求 的最小值.【答案】(1)见解析;(2)6.【解析】试题分析: （1）利用 进行代换,即可得出直线 的直角坐标方程,利用 消去参数可得曲线 的普通方程;(2) 点 在直线 上，根据对称性，的最小值与 的最小值相等,求出点 P 到圆心的距离减去半径即可.试题解析:（1） ， ，即 ，直线 的直角坐标方程为 ； ，曲线 的普通方程为 .（2） 点 在直线 上，根据对称性， 的最小值与 的最小值相等，曲线 是以 为圆心，半径 的圆. ，则 的最小值为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， .（1）求不等式 的解集；（2）若存在 ， ，使得 和 互为相反数，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）分 ， ，和 三种情况去掉绝对值，解不等式即可.（2）由题存在 ，使得 成立，即 .又 ，由（1）可知 ，所以 ，可解得 的取值范围.试题解析：（1）由题意可得 ，当 时， ，得 ，无解；当 时， ，得 ，即 ；当 时， ，得 .综上， 的解集为 .（2）因为存在 ，使得 成立，所以 .又 ，由（1）可知， ，则所以 ，解得 .故 的取值范围为 .
