1、山西省 45 校 2018 届高三第一次联考理数试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合 B 表示函数 的定义域，故或 ，故图中阴影部分所表示的集合为 ，故选 B.2. 已知 ，命题“若 ，则 ”的否命题是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】C【解析】因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以命题“若，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，
2、故选 C.3. 下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于选项 , 既不是奇函数又不是偶函数，不合题意；对于 ,函数是奇函数，不合题意；选项函数 为偶函数， 在 上单调递增，不合题意；对于 函数 就是奇函数又在 上单调递增，故选 C.4. 函数 （ 且 ）与函数 在同一个坐标系内的图象可能是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过 点，故排除 ；二次函数的对称轴为直线 ，当 时，指数函数递减， ， 符合题意；当 时，指数函数递增， ， 不合题意，故选 C.5. 已知 ， ， ，则 的大
3、小关系为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由指数函数的性质可得 ，由对数函数性质可得 ，所以 ，故选 B.【 方法点睛】本题主要考查函数的指数函数对数函数的性质、比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间，） ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6. 函数 在区间 和区间 上分别存在一个零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】根据函数零点存在性定理，结合二次函数图象可知，函数 在区间 和区间 上分别存在一个零点时， ，解得 ，故选 B.7
4、. 幂函数 在其图象上点 处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】将点 代入 得 ，解得 ，故幂函数为 ，因为，故切线方程为 ，即 ，故选 A.8. 函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 为减函数，且 ，若，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 是定义在 上的奇函数，是 上的减函数，故函数 在 上单调递减，又 ，所以 ，因此， 的取值范围是 ，故选 A.9. 下列选项中， 的一个充分不必要条件的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先分别求出各个不等式成立的充要条件，然后再分析它们之间的关系，或 ，其中能够推出 的只有 ，即
5、， 的一个充分不必要条件的是 ，故选 B.10. 函数 定义域为 ，且对任意 ，都有 ，若在区间 上则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，可知 是周期为 的函数，故 ，代入解析式，得 ，解得 ，从而 ，故，故选 C.11. 定义在 上的函数 与其导函数 满足 ，则下列不等式一定成立的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，令，则 为 上的增函数，因此 ，故 ，即，从而 ，故选 A.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数
6、是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题是根据构造函数 后再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.12. 某班同学进行了三次数学测试，第一次有 名学生得满分，第二次有 名学生得满分，第三次有 名学生得满分，已知前两次均为满分的学生有 名，三次测试中至少有一次得满分的学生有 名，若后两次均为满分的学生至少有 名，则 的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，因为三次测试中至少有一次得满分的 15 名学生的分布情况：因为第一次有 8
7、 名学生得满分，第二次有 10 名学生得满分，前两次均为满分的学生有 5 名.所以前两次至少有一次得满分的学生有：8+10-5=13 名.又因为三次测试中至少有一次得满分的学生有 15 名，第三次有 12 名学生得满分，所以第三次得满分的 12 名学生中，仅在第三次得满分的学生有 2 名，其余 10 名学生则在第一次或第二次得过满分，当第二次得满分的学生最多有 10 名.故选 D.点睛：将学生的得分情况通过图表展现出来，一目了然.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若命题 ， ，则命题 ：_【答案】【解析】因为全称命题的否定是特称命题， ，
8、否定全称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，二是要否定结论，因此“ ”的否定是“”，故答案为 .14. 若函数 是偶函数，则 _【答案】【解析】 是偶函数， ，即 ，故 ，解得， ，而当时， ，此时有 ，综上可知，若函数是偶函数，则 ，故答案为 .15. 设 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则方程 的解集为_【答案】【解析】 或 或 ，故答案为.16. 已知函数 满足 ，当 时， ，设 ，若方程 在 上有且仅有 个实数解，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】 当 时， ， 当 时，从而 ，故有，由 ，可得 ，在同一坐标系内画出 与 的图象如图所示：.【方法点睛】判断方程 根的个
9、数 的常用方法： 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法： 一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .本题就利用了方法.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设集合 ， . （）若 且 ，求实数 的值；（）若 是 的子集，且 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) ， ， ,(2) .【解析
10、】试题分析：（）化简 ，可得，由 可得结果；（）由 ，得，由 是 的真子集，得 且 ，解不等式即可得结果.试题解析：（） ， ， ， ， ， ， .（） ， ， 是 的真子集， 且 ，解得 .18. 已知命题 ， ，命题 . （）分别求 为真命题， 为真命题时，实数 的取值范围；（）当 为真命题且 为假命题时，求实数 的取值范围.【答案】(1) ,(2) 或 .【解析】试题分析：（）当 为真命题等价于 ，结合对数函数的单调性可得， 为真时， 且 ，从而可得结果；（）命题 为真命题， 为假命题，则 一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组求解，然后求并集即可.试题解析：（） ， ， ，又 时， ，
11、 为真命题时， . ， 且 ， 为真命题时， .（） 为真命题且 为假命题时， 真 假或 假 真，当 真 假，有解得 ；当 假 真，有解得 ； 为真命题且 为假命题时， 或19. 某公司研发出一款新产品，批量生产前先同时在甲、乙两城市销售 30 天进行市场调查.调查结果发现：甲城市的日销售量 与天数 的对应关系服从图所示的函数关系；乙城市的日销售量 与天数 的对应关系服从图所示的函数关系；每件产品的销售利润 与天数 的对应关系服从图所示的函数关系，图是抛物线的一部分. （）设该产品的销售时间为 ，日销售量利润为 ，求 的解析式；（）若在 的销售中，日销售利润至少有一天超过 万元，则可以投入批量
12、生产，该产品是否可以投入批量生产，请说明理由.【答案】(1) ,(2) 在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过 2 万元，不可以投入批量生产【解析】试题分析：（）分三种情况讨论，当 时，当 时，当时，分别求两城市销售量的和与每日销售利润的积可得结果；（）分别求出三段函数的最大值，发现每段函数的最大值都不超过 ，所以不可以投入批量生产.试题解析：（1） ， ；由题可知， ，当 时， ；当 时， ；当 时， .（ ）（）该产品不可以投入批量生产，理由如下：当 时， ，当 时， ，当 时， ， 的最大值为 ， ，在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过 2 万元，不可以投入批量生产.【方法点睛
13、】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).20. 已知函数 在 处有极值 . （）求实数 的值；（）设 ，讨论函数 在区间 上的单调性.【答案】(1) 在 处有极值 时， ,(2)见解析.【解析】试题分析：（）求出导函数，由 且 ，求得 或，检验后可得结果；（）由（
14、）可知 ，利用导数研究函数的单调性和极值，分五种情况讨论，分别比较极值与端点处的函数值即可得结果.试题解析：（） 定义域为 ， 在 处有极值 ， 且 ，即解得： 或当 时， ，当 时， 在 处有极值 时， .（）由（）可知 ，其单调性和极值分布情况如表：+ 0 - 0 +增 极大 减 极小 增当 ，即 时， 在区间 上的单调递增；当 ，即 时， 在区间 上单调递增，在区间上单调递减；当 且 ，即 时， 在区间 上单调递减；当 ，即 时， 在区间 上的单调递减，在区间 上单调递增； 时， 在区间 上单调递增.综上所述，当 时函数 在区间 上的单调性为：或 时，单调递增；时，在 上的单调递增，在
15、上单调递减；时，单调递减；时，在 上单调递减，在 上单调递增.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，属于难题利用导数研究函数 的单调性进一步求函数最值的步骤：确定函数的定义域；对 求导；令 ，解不等式得 的范围就是递增区间；令，解不等式得 的范围就是递减区间；根据单调性求函数 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.21. 已知函数 的定义域为 ，值域为 ，且对任意 ，都有， . （）求 的值，并证明 为奇函数；（）若 时， ，且 ，证明 为 上的增函数，并解不等式 .【答案】(1) ,见解析(2) 解集为 .【解析】试题分析：（）
16、令 ，得 ，结合值域为 ，即可得结果；（）任取 ，可得 ，根据 时，及 值域为 ，可得 ，从而可证明其单调性，为 上的增函数， ，由单调性可得结果.试题解析：（）解：令 ，得 . 值域为 ， . 的定义域为 ， 的定义域为 .又 ， ， 为奇函数.（2） ，任取 ， ， 时， ， ， ，又 值域为 ， ， . 为 上的增函数.， .又 为 上的增函数， .故 的解集为 .22. 已知定义域为 的函数 存在两个零点.（）求实数 的取值范围；（）若 ，求证： .【答案】(1) 在区间 上存在两个零点时， ,(2)见解析.【解析】试题分析：（） 存在两个零点等价于 有两个零点，研究函数 的单调性可得实数 的取值范围；（）求出 ，则，先证明 ，根据函数 在区间 上单调递增可得.试题解析：（） ，令 ，则 ，的符号以及 单调性和极值分布情况如表：- +减 最小 增 ，当 时， ； 时， ，故 在区间 上存在两个零点时， .（） ， .又 . .令 ， ，则 .由题知 且 ，不妨设 ，则 . 时， ， 在 单调递减. 时， .又 ， ，即 . . 在区间 上单调递增， ，得证.
