1、第二节 二项式定理 本节主要包括 2 个知识点： 1. 二项式的通项公式及应用； 2. 二项式系数的性质及应用 . 01 突破点 (一 ) 二项式的通项公式及应用 02 突破点 (二 ) 二项式系数的性质及应用 课时达标检测 04 03 全国卷 5年真题集中演练 明规律 01 突破点 (一 ) 二项式的通项公式及应用 基本知识 完成情况 抓牢双基 自学区 1 二项式定理 二项 展开式 公式 ( a b )n _ _ ( n N*) 叫做二项式定理 二项式 的通项 T k 1 为展开式的第 项 C 0n a n C 1n a n 1 b C kn a n k b k C nn b n k 1 C
2、 kna n kb k 2 二项式系数与项的系数 二项式 系数 二项展开式中各项的系数 Crn( r 0 ， 1 ， ， n ) 叫做第r 1 项的二项式系数 项的 系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念如 ( a bx )n的展开式中，第 r 1 项的系数是 Crnan rbr基本能力 1 判断题 (1) Crnan rbr是 ( a b )n的展开式中的第 r 项 ( ) (2) 在 ( a b )n的展开式中，每一项的二项式系数与 a ， b 无关 ( ) (3) ( a b )n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同 ( ) (4) ( a b
3、 )n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同 ( ) 2 填空题 (1) 已知 a 0 ，ax x6展开式的常数项为 15 ，则 a _. 解析： T r 1 Cr6 ( 1)ra6 rx 3 3 r2，由 3 3 r2 0 ，得 r 2 ， 常数项为 T 3 C26 a4 15 ，且 a 0 ，可得 a 1. 答案 ： 1 (2)( 1 2 x ) 7 展开式中 x 3 的系数为 _ _ 解析： Tr 1 Cr7 17 r ( 2 x ) r C r7 ( 2)r x r ，令 r 3 ，得 x 3 的系数为 C 37 ( 2) 3 35 ( 8) 280. 答
4、案 ： 28 0 (3)x 124x8的展开式中的有理项共有 _ _ 项 解析： T r 1 Cr8 ( x )8 r124xr12rCr8 x16 3 r4， r 为 4 的倍数，故 r 0,4,8 ，共 3 项 答案 ： 3 (4) 若 (1 3 x )n( 其中 n N 且 n 6) 的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 n _. 解析： (1 3 x ) n 的展开式中含 x 5 的项为 C 5n (3 x ) 5 C 5n 3 5 x 5 ，展开式中含 x 6 的项为 C 6n 3 6 x 6 . 由两项的系数相等得 C 5n 3 5 C 6n 3 6 ，解得 n 7. 答案 ：
5、7 全析考法 完成情况 研透高考 讲练区 形如 ( a b ) n 的展开式问题 例 1 (1) (2018 武汉模拟 )x22x35的展开式中的常数项为 ( ) A 80 B 80 C 40 D 40 (2) (2018 福州五校联考 ) 在x a2 x6的展开式中，若 x4的系数为 3 ，则 a _. (3) 二项式x31x2n的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为 _ _ 解析 (1) Tr 1 Cr5( x2)5 r2x3r ( 2)rCr5 x10 5 r，由 10 5 r 0 ，得 r 2 ， T3 ( 2)2C25 40. (2)x a2 x6的展开式的通项为 Tr
6、1 Cr6x6 ra2 xr Cr6a2rx6 2 r， 令 6 2 r 4 ，则 r 1 ，所以 x4的系数为 C16a21 3 ，解得 a 1. (3) 二项展开式的通项是 Tr 1 Crnx3 n 3 rx 2 r Crnx3 n 5 r，令3 n 5 r 0 ，得 n 5 r3( r 0,1,2 ， ， n ) ，故当 r 3 时， n 有最小值 5. 答案 (1) C (2)1 ( 3)5 方法技巧 二项展开式问题的常见类型及解法 (1) 求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第k 1 项，再由特定项的特点求出 k 值即可 (2) 已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项，
7、再由通项公式写出第 k 1 项，由特定项得出 k 值，最后求出其参数 形如 ( a b ) m ( c d ) n 的展开式问题 例 2 (1) 已知 (1 x )(1 x )5的展开式中 x2的系数为5 ，则 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 (2) (2018 湖南五市十校联考 ) 在 (2 x 1)( x 1)5的展开式中含 x3项的系数是 _ _ ( 用数字作答 ) 解析 (1) 展开式中含 x2的系数为 C25 a C15 5 ，解得a 1. (2) 由题易得二项式的展开式中含 x3项的系数为 C25 ( 1)2 2C35 ( 1)3 10. 答案 (1) D (2) 10 方
8、法技巧 求解形如 ( a b )n( c d )m的展开式问题的思路 (1) 若 n ， m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如 ( a b )2( c d )m ( a2 2 ab b2)( c d )m，然后展开分别求解 (2) 观察 ( a b )( c d ) 是否可以合并，如 (1 x )5(1 x )7(1 x )(1 x )5(1 x )2 (1 x2)5(1 x )2； (3) 分别得到 ( a b )n， ( c d )m的通项公式，综合考虑 形如 ( a b c ) n 的展开式问题 例 3 (1 ) ( 2018 湖北枣阳模拟 ) ( x2 x y )5的展开式中
9、x5y2的系数为 ( ) A 10 B 20 C 30 D 60 (2) (2018 太原模拟 )2 x 1x 15的展开式中常数项是_ 解析 (1) ( x2 x y )5的展开式的通项为 T r 1 Cr5 ( x2x )5 r yr， 令 r 2 ，则 T 3 C25 ( x2 x )3y2， 又 ( x2 x )3的展开式的通项为 Ck3 ( x2)3 k xk Ck3 x6 k， 令 6 k 5 ，则 k 1 ， 所以 ( x2 x y )5的展开式中， x5y2的系数为 C25 C13 30 ，故选 C. (2) 由2 x 1x 15 1 2 x 1x5，则其通项公式为 ( 1)5
10、 rCr52 x 1xr(0 r 5) ，其中2 x 1xr的通项公式为 2r tCtrxr 2 t(0 t r ) 令 r 2 t 0 ，得r 0 ，t 0或r 2 ，t 1或r 4 ，t 2 ，所以2 x 1x 15的展开式中的常数项为 ( 1)5C05 ( 1)3C25 2C12 ( 1)1C45 22C24 161. 答案 (1)C (2) 16 1 方法技巧 求形如 ( a b c ) n 展开式中特定项的步骤 1. 考点一 (2018 杭州测试 )x212 x6的展开式中，常数项是 ( ) A 54B.54C 1516D.1516 全练题点 解析： T r 1 Cr6 ( x2)6
11、 r12 xr12rCr6 x12 3 r，令 12 3 r 0 得 r 4 ，所以常数项为124C46 1516. 答案： D 2. 考点一 设 i 为虚数单位，则 ( x i)6的展开式中含 x4的项为 ( ) A 15 x4B 15 x4C 20i x4D 20i x4解析： T r 1 C r6 x 6 ri r ，由 6 r 4 得 r 2. 故 T 3 C 26 x 4 i 2 15 x 4 . 故选 A. 答案： A 3. 考点 三 (2018 厦门联考 ) 在1 x 1x2 01 810的展开式中，含x2项的系数为 ( ) A 10 B 30 C 45 D 120 解析： 因为
12、1 x 1x2 01 810 1 x 1x2 01 810 (1 x )10 C110 (1 x )91x2 01 8 C10101x2 01 810，所以 x2项只能在 (1 x )10的展开式中，所以含 x2的项为 C210 x2，系数为 C210 45. 答案： C 4. 考点二 (1 x )8(1 y )4的展开式中 x2y2的系数是 ( ) A 56 B 84 C 1 12 D 168 解析： (1 x ) 8 的展开式中 x 2 的系数为 C 28 ， (1 y ) 4 的展开式中 y 2 的系数为 C 24 ，所以 x 2 y 2 的系数为 C 28 C 24 168. 答案：
13、D 5. 考点二 ( x 2)2(1 x )5中 x7的系数与常数项之差的绝对值为 ( ) A 5 B 3 C 2 D 0 解析： 常数项为 C22 22 C05 4 ， x7的系数为 C02 C55 ( 1)5 1 ，因此 x7的系数与常数项之差的绝对值为 5. 答案： A 6. 考点三 (2018 合肥质检 ) 在x 1x 14的展开式中，常数项为_ 解析： 易知x 1x 14的展开式的通项 Tr 1 Cr4( 1)4 rx 1xr，又x 1xr的展开式的通项 Rm 1 Cmr( x 1)mxr m Cmr( 1)mxr 2 m， Tr 1 Cr4( 1)4 rCmr( 1)mxr 2 m
14、，令 r 2 m 0 ，得 r 2 m ， 0 r 4 ， 0 m 2 ， 当 m 0,1,2 时， r 0,2, 4 ，故常数项为 T1 T3 T5 C04( 1)4 C24( 1)2C12( 1)1 C44( 1)0C24( 1)2 5. 答案： 5 02 突破点 (二 ) 二项式系数的性质及应用 基本知识 完成情况 抓牢双基 自学区 二项式系数的性质 (1) 对称性： 当 0 k n 时， Ckn . (2) 二项式系数的最值： 二项式系数先增后减，当 n 为偶数时，第n2 1 项的二项式系数最大，最大值为 Cn ；当 n 为奇数时，第n 12项和第n 32项的二项式系数最大，最大值为
15、_ _ _ _ . (3) 二项式系数和： C0n C1n C2n Cnn ， C0n C2nC4n C1n C3n C5n . Cn kn n2 2n 2n 1 基本能力 1 判断题 (1) 在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 ( ) (2) 在 (1 x )9的展开式中，系数最大的项是第 5 项和第 6 项 ( ) (3) 若 (3 x 1)7 a 7 x7 a 6 x6 a 1 x a 0 ，则 a 7 a 6 a 1 的值 为 128. ( ) 2 填空题 (1) 若3 x 13x2m的展开式中二项式系数之和为 128 ，则展开式中1x3 的系数是 _ _ 解析： 由题意
16、可知 2m 128 ， m 7 ， 展开式的通项 T r 1 Cr7(3 x )7 r13x2r Cr7 37 r( 1)rx 7 5 r3，令 7 53r 3 ，解得 r 6 ，1x3 的系数为 C67 37 6( 1)6 21. 答案： 21 (2) 若 (2 x 1)5 a 5 x5 a 4 x4 a 3 x3 a 2 x2 a 1 x a 0 ，则 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 _. 解析： 令 x 0 ，得 1 a 0 ；令 x 1 ，得 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 1. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 2. 答案： 2 全析考法 完成情况 研透高考 讲练区 二项展开式中系数和的问题 赋值法在求各项系数和中的应用 (1) 形如 ( ax b )n， ( ax2 bx c )m( a ， b ， c R ) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x 1 即可 (2) 对形如 ( ax by )n( a ， b R ) 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y 1 即可 (3) 若 f ( x ) a0 a1x a2x2 anxn，则 f ( x ) 展开式中各项系数之和为 f (1) 奇数项系数之和为 a0 a2 a4 f 1 f 1 2， 偶数项系数之和为 a1 a3 a5 f 1 f 1 2.
