1、定远重点中学 2018届高三 5月高考模拟卷理科数学第 I卷（选择题 共 60分）一、选择题(共 12小题,每小题 5分,共 60分)1. 已知集合 ， ，则 AB=（ ）A. B. C. （0，1 D. （0，3【答案】D【解析】由 解得 ，所以 ，由 解得 ，所以，故 ，选 D.2. 若复数 的实部和虚部互为相反数，那么实数 等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】，因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此 ，因此 。故选 A.3. 如图，正方形 内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑
2、色部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设正方形 的边长为 ，则正方形的面积 ，则圆的半径为 ，阴影部分的面积为 ，根据几何概型及其概率的计算公式可得 ，故选 C.4. 某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为 ，左视图为边长是 1的正方形，俯视图为有一个内角为 的直角梯形，则该多面体的体积为（ ）.A. 1 B. C. D. 2【答案】C【解析】由题可知， ，所以 ，故选 C。5. 已知实数 ， 满足不等式组 则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由 的几何意义，即原点 到阴影区域的距离的平方求解
3、【详解】由约束条件 作出可行域如图，表示原点 到阴影区域的距离的平方， 是原点（ 到 的距离的平方，则 ，x是原点 到点 的距离的平方，则 ， 的取值范围是 ，故选：D【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6. 若 为 的内角，且 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】所以,选 A.7. 若命题“ ，使得 ”是假命题，则实数 取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】命题“ ,使得 ”是假命题,则其否命题： ,使得 为真命题,则 ,解得 a ,即实数 取值范围是 .本题选择 C选项.点睛：本题涉及参数问题，直接解决较为困难，先用
4、等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用等价命题来考虑，这是破解此类问题的关键8. 已知 为抛物线 ： 的焦点，过 的直线 与 相交于 、 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，垂足为 ，若 ，则 的长为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知得 ，设直线 的方程为 ，并与 联立得 ，设，则 ， ， ，又，解得 ，线段 的垂直平分线为，令 ，得 ，从而 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于难题. 解决过抛物线焦点的弦长有关的问题时，求往往考虑将韦达定理与抛物线定义相结合，
5、同时注意两个转化的灵活运用：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短” ，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.9. 如图所示的流程图，最后输出的 的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】执行程序有：n=1，n=n+1=2，此时，2 n=4，n 2=4，故有 n=n+1=3，此时 2n=8，n 2=9，故有 n=n+1=4，此时 2n=16，n 2=16，故有 n=n+1=5，此时 2n=32，n 2=25，即满足 2nn 2故输出 n的值 5故选：C10. 函数 （ ） ，若 的解集为 ，且 中只有一个
6、整数，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令 ，得到 ，令 ，结合函数图象求出 k的范围即可【详解】 令 ，得到 ，令 ， ，则令 ，解得： 令 ，解得： ，故 在 递增，在 递减，画出函数草图，如图所示：结合图象解得： 故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题11. 已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 两点，且 ，抛物线的准线 与 轴交于点 ， 于点 ，若四边形 的面积为 ，则准线 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p= m，B
7、AA 1=60，四边形 AA1CF的面积为 ， = ，m= ， = ，准线 l的方程为 x= ，故选 A12. 如图，正四面体 中， 、 分别是棱 和 的中点，则直线 和 所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：如图所示，作 AO底面 BCD，垂足为 O，O 为底面等边BCD 的中心，建立空间直角坐标系不妨取 CD=2则：，设点 M是线段 CD的中点，则：利用空间向量求解余弦值有：.异面直线 AE与 CF所成角的余弦值为 .第 II卷（非选择题 90 分）二、填空题(共 4小题,每小题 5分,共 20分) 13. 已知向量 .若 ,则实数 _.【答案】【解析】【分
8、析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得 与 的坐标，进而由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得 ，解可得 的值，即可得答案【详解】根据题意，向量 ，则 ，又 ，则 解得： 故答案为 【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式14. 若 的展开式中含有常数项，则 的最小值等于_【答案】2【解析】【分析】在 的展开式中，求出它的常数项以及含 的项，可得结论【详解】 的展开式中，通项公式为 令 展开式中含有常数项，当 时， 取最小值为 5；令 展开式中含有常数项，当 时， 取最小值为 2；综上可知： 取最小值为 2，故答案为：2【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项
9、展开式的通项公式，属于中档题15. 是 上可导的奇函数， 是 的导函数.已知 时 不等式的解集为 ，则在 上 的零点的个数为_.【答案】2【解析】【分析】根据题意，设 ，对其求导分析可得函数 在 上为增函数，利用的值分析可得 的值；进而分析，可以将不等式变形转化为，解可得 的取值范围，即可得集合 ，由正弦函数的图象性质分析可得答案【详解】根据题意，设 ，其导数 又由当 时 ，则 ，则函数函数 在 上为增函数，又由 ，则 又由 是 上可导的奇函数， ，则有 ，则 则当 时，有 ，则有 ，又由函数 为奇函数，则当 时， ，则有 ，即 解可得： 即不等式的解集为 ，即 ，而 的的周期为 ，而 ，在
10、上， ，有 2个零点，即 与 ，故答案为：2【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的零点的判断，关键是求出不等式的解集属难题.16. 已知点 是抛物线 上一点， 为其焦点，以 为圆心、 为半径的圆交准线于 两点， 为正三角形，且 的面积是 ，则抛物线的方程是_.【答案】【解析】由题意可得 且|DF|=p ，可得|BF|= ，从而|AF|= ，由抛物线的定义可得 A到准线的距离也为 ，又ABC 的面积为 ，可得 ，解得 p=8，则抛物线的方程为 y2=16x三、解答题(共 6小题 ,共 70分) 17. 等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 （
11、） ，且 ， .（1）求 与 ；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ， ;（2） .【解析】【分析】（1）等差数列 的公差为 ， ， ，求出公比和公差，然后求解通项公式（2）求出数列 前 项和为 ，化简通项公式，利用裂项相消法求和即可【详解】 （1）等差数列 的公差为 ， ， ， .整理得： ，解得： 或 （舍去） ， ， ，（2）数列 前 项和为 ， ，数列 的前 项和数列 的前 项和【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力18. 某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物 （下简称 作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了
12、500 处 作物种植点，其生长状况如表：其中生长指数的含义是：2 代表“生长良好” ，1 代表“生长基本良好” ，0 代表“不良好，但仍有收成” ，1 代表“不良好，绝收” （1）估计该市空气质量差的 作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（2）能否有 99%的把握认为“该市 作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市 作物的种植点中，绝收种植点的比例？请说明理由.【答案】(1) (2) 有 99%的把握认为“该市 A作物的种植点是否绝收与所在地域有关,(3) 采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好【解析】试题分析：（1）根据表格数据计算；（
13、2）采用独立检验方法列联表计算 K2，与 6.635比较大小得出结论；（3）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理试题分析：（1）调查的 500处种植点中共有 120处空气质量差，其中不绝收的共有 110处，空气质量差的 A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例 （2）列联表如下：收 绝收 合计南区 160 40 200北区 270 30 300合计 430 70 500K 2= 9.9679.9676.635，有 99%的把握认为“该市 A作物的种植点是否绝收与所在地域有关（3）由（2）的结论可知该市 A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分
14、南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好19. 如图，三棱台 中， 侧面 与侧面 是全等的梯形，若,且 .（）若 ， ，证明： 平面 ；（）若二面角 为 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.【答案】()见解析；() .【解析】试题分析：() 连接 ，由比例可得 ，进而得线面平行；（）过点 作 的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设 ，则 求得平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ，由 求二面角余弦即可.试题解析：（）证明：连接 ，梯形 ， ,易知： ；又 ，则 ；平面 ， 平面 ，可得： 平面 ；（）侧面 是梯形， ，, ,则 为二面角 的平面角， ；均为正三角形，在平面 内，过点 作
15、 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设 ，则,故点 ，；设平面 的法向量为 ，则有：；设平面 的法向量为 ，则有：；，故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .20. 已知椭圆 的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，点 是坐标平面内一点，且 ， （ 为坐标原点）.（1）求椭圆 的方程；（2）过点 且斜率为 的动直线 交椭圆于 两点，在 轴上是否存在定点 ，使以 为直径的圆恒过该点？若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】 （1） ；（2）点 的坐标为 .【解析】试题分析：（1）设 的坐标，利用 和 求得 c，通过椭圆的离心率求得 a，最后利用 a,b和 c的关系求出 b，则椭圆的
16、方程可得.（2）设出直线 l的方程，与椭圆方程联立消去 y，设 ， ，则可根据韦达定理表示出 和 ，假设在 y轴上存在定点 ，满足题设，则可表示出 ，利用，求出 m的值试题解析：（1）设 ， ， ，则由 ，得 ；由 得 ，即 .所以 .又因为 ，所以 .因此所求椭圆的方程为： .（2）设动直线 的方程为： ，由 得 .设 ， ，则 ， .假设在 轴上是否存在定点 ，满足题设，则 ， .由假设得对于任意的 ， 恒成立，即 解得 .因此，在 轴上存在定点 ，使以 为直径的圆恒过该点，点 的坐标为 .21. 已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.（1）求 的值；（2）求函数 的值域；（3）当 时
17、， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；(2) ；(3) .【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性得到 f（x）=f（x） ，求出 a的值即可；（2）将 f（x）变形，解关于 y的不等式，求出 f（x）的值域即可；（3）结合图象求出 m的范围即可；（4）令 2x=u，x（0，1u（1，2，得到 u（1，2时，u 2（t+1）u+t20 恒成立，求出 t的范围即可试题解析：（1） 是定义在 上的奇函数，即 恒成立， .即 ，解得 .（2）由（1）知 ，记 ，即 ， ，由 知 ， ，即 的值域为（3）原不等式 ，即为 .即 .设 ， ， ， 时， 恒成立， 时， 恒成立， ， 解得 .
18、点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立，转化为 ;若 恒成立，可转化为 .22. 选修 4-5：不等式选讲设函数 。（1）解不等式 ；（2）若 对一切实数 均成立，求 的取值范围。【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）对 讨论，分当 时，当 时，当 时，分别解一次不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，求得 的最小值，即可得到 的范围【详解】当 时， ，得 ，所以 ；当 时， ，得 ，所以 ；当 时， ，得 ，所以 .综上，原不等式的解集为 。 （2）令 ，当 时等号成立，即有 的最小值为 ，所以 ， 的取值范围为 .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键
