1、安庆一中 2018 届高三热身考试数学(理科)试题第卷（共 60 分）一、单选题1. 已知集合 ， ，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先化简集合 ，再按选项依次验证可解.详解：因为集合 ，所以故选 C.点睛：本题主要考查集合的交、并、补运算，在解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2. 复数 (为虚数单位)的共轭复数 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将复数化为最简形式，可求其共轭复数，得到正确选项.详解： ,故选 C.点睛：本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念
2、，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 命题“如果 ，那么 ”的逆否命题是( )A. 如果 ，那么 B. 如果 ，那么C. 如果 ，那么 D. 如果 ，那么【答案】C【解析】本题考查逆否命题的定义。对于“若 则 ”形式的命题，其逆否命题为“若 则 ”。故选 C。4. 平行四边形 中， 是 的中点，若 ，则 ( )A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】分析：首先将图画出来，再分别将 用 表示出来，建立等量关系，求解 的值.详解：因为 ，所以 ，即 ，因此 ，解得 ，所以 ，故选 D.点睛：该题主要考查平面向量基本定理，涉及到的知识点有平行四边形的对角线向量、向
3、量加法的三角形法则、共线向量的表示等问题，需要注意在解题推导过程中运算的准确性.5. 已知等差数列 的前 项为 ， 且 ， ，则 ( )A. 90 B. 100 C. 110 D. 120【答案】A【解析】分析：是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.详解：设 公差为 ， ， ， ， ， ，故选 A.点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如 是等差数列，则 是等比数列，如 是等比数列且均为正，则 是等差数列.6. 已知 ，则点 在直线 的右下方是是双曲线 的离心率的取值范围为 的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案
4、】A【解析】当点 在直线 的右下方时，则 ，所以双曲线的离心率；反过来，当双曲线 的离心率的取值范围为 时，由 知 ，所以点 在直线 的右下方，故点 在直线的右下方是双曲线 的离心率的取值范围为 的充要条件。选 A.7. 记不等式组 的解集为 ，若 ，则实数的最小值是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】分析：首先根据题干所给的约束条件，画出相应的可行域，再分析可得目标函数所表示的直线经过定点 ，分析参数 的几何意义可知当直线 经过点时， 取最小值为 详解：作出约束条件所表示的可行域,如图所示,直线 经过点 ,而经过 两点的直线的斜率为 ,所以要使得 , 成立,则 ,所
5、以实数的最小值是 ,故选 C.点睛：本题在求解时，首先要根据约束条件正确画出可行域，之后根据目标函数的形式，判断参数的几何意义，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值即可.8. 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100
6、项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A. 是偶数?， ? B. 是奇数?， ?C. 是偶数?， ? D. 是奇数?， ?【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以 ，奇数项是序号平方减 再除以 ，可知第一个框应该是“奇数” ，执行程序框图， 结束，所以第二个框应该填 ，故选 D.9. 如图 1，四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， 是侧棱 上靠近点 的四等分点， .该四棱锥的俯视图如图 2 所示，则 的大小是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据俯视图，计算 的长度，然后在直角三角形 中，计算 的大小即可.详解：在俯视图中，因为 ，所以 ，而四边形 为直
7、角梯形，故 为直角三角形斜边上的高且大小为 ，又 ，所以在直角三角形 中， ，从而 ， ，选 C.点睛：本题中所要求解的角是直角三角形内角的补角，该直角三角形的一个直角边已知，所以只要求出 的长度即可，但该长度隐含在俯视图中，利用勾股定理和等积法可以求出其大小.10. 已知 ， ，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：设 ，得 ，利用导数研究其单调性可得 的大小关系，又由 ，即可得出结论.详解：设 ，则 ，可得函数 在 内单调递增，所以 ，即 ，可化为 ，即 ，又 ，所以 ，故选 B.点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比
8、较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.11. 已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，若 为线段 的中点，连接井延长交抛物线 于点 ，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知， 的焦点 的坐标为（2,0） 。直线的斜率存在且不为 0，设直线方程为。由 消去 y 整理得 ，设 ，则 ，故 ，所以，直线 的方程为 ，代入抛物线方程，解得，由条件知 。所以 。选 D。 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明
9、确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围12. 已知函数 与函数 在区间 都为减函数，设，且 ， ， ，则 的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ,即 ，又 ，又函数 在区间 都为减函数， ； ， ，即 ， ，又函数 在区间 都为减函数，综上：点睛：本题重点考查了函数的单调性的应用，函数 与函数在区间 都为减函数，同时
10、注意重要结论的应用，x ，利用这个桥梁搭起了三个变量间的关系.二、填空题13. 定积分 的值为_.【答案】 . 【解析】试题分析：根据定积分的几何意义可知其表示的是以 为圆心，以 为半径的圆的面积，从而求得其结果为 ，故选 A考点：定积分的几何意义【方法点睛】该题考查的是有关定积分的运算，从积分公式，很难算出来，在中学阶段是很难解决的，但是，从定积分的几何意义去分析，该题可以转化为求圆弧与直线 所围成的几何图形（四分之一圆）的面积，最后应用公式，求得结果，该题更进一步引导学生要注意提高对定积分的几何意义的重视程度14. 从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人
11、，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为_.(用数字作答)【答案】5040.【解析】分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为。填 5040.【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法” ，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法” 。15. 已知 ， ，则 的值为 _.【答案】 .【解析】分析：首先通过配凑 ，结合两角差的正切公式可得 ，再利用两角和的正切公式将 展开，结合切化弦可求解.详解：因为 ，且
12、 ，将 代入可得点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等.（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等.16. 已知定义在 上的函数 的导函数 是连续不断的，若方程 无解，且， ，设 ， ，则 的大小关系是_.【答案】 .【解析】分析：根据 无解知函数为单调函数，则可得 是定值，进而可知函
13、数 为单调递增函数，比较 三个数的大小，可得 的大小关系.详解：因为方程 无解，所以 或 恒成立，所以函数 是单调函数，由题意得 ，又函数 是定义在 上的单调函数，则 是定值，令 ，则 ，所以 是单调递增函数，又 ，所以 点睛：本题主要考查函数单调性的基本知识，解决本题有两个核心的关键：（1）由函数连续且 ，从而分析出函数 在定义域上严格单调；（2）由 ，得 是定值，从而进一步可得函数 为单调递增函数.三、解答题17. 已知数列 的前 项和 ，且 .(1)证明: 是等比数列；(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数成等差数列.记插入的 个数的和为 ，求 的最大值.【答案】(1)证明见解析.(2
14、) .【解析】分析：（1）根据题意构造等式 ，两式相减可得 与的关系，从而根据等比数列的定义得证；（2）由（1）可得数列 的通项公式，进而可求得 ，可表示出 ，即得 ，可求 的最大值.详解：(1)证明 因为 ，所以 ，所以，当 时，有 ，上述两式相减，得 ，即当 时， .又 时， .所以 是首项为 1，公比为 的等比数列.(2)解 由(1)得 ，所以 ，因为 ，所以 ， ，所以 的最大值为 .点睛：本题主要考查数列通项求法及其前 项和等知识，解决第（1）问的关键在于根据题干构造等式，再利用 找到 的关系，利用定义法证明数列 为等比数列；对于第（2）问，首先根据第（1）问表示出 ，判断 的增减性
15、求其最大值.18. 如图，在各棱长均为 2 的正三棱柱 中， 分别为棱 与 的中点， 为线段 上的动点，其中， 更靠近 ，且 .(1)证明: 平面 ；(2)若 与平面 所成角的正弦值为 ，求异面直线 与 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得 ，结合线面垂直得 .因此可得 平面 ，即 .再根据 ，得 平面 ， （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面 法向量，根据向量数量积求夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列方程，解得 N 坐标，最后根据向量数量积求异面直线 与 所成角的余弦值.试题解析：解：（1）证明：由已
16、知得 为正三角形， 为棱 的中点， ，在正三棱柱 中， 底面 ，则 .又 ， 平面 ， .易证 ，又 ， 平面 .（2）解：取 的中点 ， 的中点 ，则 ， ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，设 ，则 ，易知 是平面 的一个法向量， ，解得 . ， ， ， ， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 .19. 为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标 )、推理(能力指标 )、建模(能力指标)的相关性，并将它们各自量化为 1、2、3 三个等级，再用综合指标 的值评定学生的数学核心素养，若 ，则数学核心素养为一级；若 ，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为
17、了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校 10 名学生，得到如下：(1)在这 10 名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为 ，记随机变量 ，求随机变量 的分布列及其数学期望.【答案】 （1） .（2）分布列见解析， .【解析】分析：(1)由题可知：建模能力一级的学生是 ；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是 ，进而可求解概率.(2) 由题可知，数学核心素养一级： ，数学核心素养不是一级的：； 的可能取值为 1，2，3，4，5. 具体如下：学生编号综
18、合指标7 7 9 5 7 8 6 8 4 6核心素养等级一级 一级 一级 二级 一级 一级 二级 一级 三级 二级分别计算当 时， 的值，进而可得随机变量 的分布列及其数学期望详解：（1）由题可知:建模能力一级的学生是 ；建模能力二级的学生是 ；建模能力三级的学生是 .记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 ，则 .(2)由题可知，数学核心素养一级: ，数学核心素养不是一级的: ； 的可能取值为 1，2，3，4，5.； ； ；.随机变量 的分布列为：1 2 3 4 5点睛：离散型随机变量分布列的求解步骤：（1）明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的含义；（2）求概率：要弄
19、清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；（3）画表格：按规范要求形式写出分布列；（4）做检查：利用分布列的的性质检验分布列是否正确.20. 已知平面上动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，记动点 的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程；(2)设 是曲线 上的动点直线的方程为 .设直线与圆 交于不同两点 求 的取值范围；求与动直线恒相切的定椭圆 的方程;并探究:若 是曲线 上的动点，是否存在直线 恒相切的定曲线 ？若存在，直接写出曲线 的方程:若不存在说明理由.【答案】(1) .(2) .见解析.【解析】分析：（1）设设 ，根据动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为，建立
20、方程，即可求得曲线 的方程；（2）先求出圆心到直线的距离 ，结合勾股定理可表示出 ，再根据 及 ，即可求得 的取值范围，从而可得 的取值范围；取 ， ，直线的方程为 ，取 ， 时，直线的方程为 ，根据椭圆对称性，猜想 的方程为 与直线相切，由此联立方程组，转化为恒成立，即可推出存在，若 是曲线 ： 上的动点，结合以上结论可得与直线相切的定曲线的方程为 .详解：（1）设 ，由题意，得 .整理，得 ，所以曲线 的方程为 .（2）圆心 到直线的距离直线于圆有两个不同交点 ，又由 ，得 .又因此 ， ，即 的取值范围为 .当 ， 时，直线的方程为 ；当 ， 时，直线的方程为 ，根据椭圆对称性，猜想 的
21、方程为 .下证：直线 与 相切，其中 ，即 .由 消去 得： ，即 . 恒成立，从而直线 与椭圆 ： 恒相切.若点 是曲线 ： 上的动点，则直线： 与定曲线 ：恒相切.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的方法，确定参数的取值范围.2
22、1. 已知函数 ，(1)当 时，讨论函数 的单调性；(2)求函数 的极值.【答案】(1) 时， 递减； 时， 递增.(2)见解析.【解析】分析：（1）将 代入函数 中，求导得 ，令 可得函数的单调递增区间，令 可得函数的单调递减区间；（2）求导可得 ，对参数分 三种情况进行讨论，判断每种情况下 的正负，进而可得函数 的增减性，得其极值情况.详解： (1)函数 的定义域为 ，其导数为 .当 时， 设 ，则 ，显然 时 递增；时， 递减，故 ，于是 ，所以 时， 递减； 时， 递增；(2)由(1)知， .函数 在 递增在 递减所以又当 时， ，当 时， ，此时；因为 时， 递增； 时， 递减；所以
23、 无极小值；当 时， ，此时；因为 时， 递减； 时. 递增；所以 ，无极大值；当 时，又 在 递增所以 在 上有唯一零点 ，且 .易证： 时， ，所以 ，所以 又 在 递减，所以 在 上有唯一零点 ，且 ，故：当 时， 递减；当 ， 递增；当 时， 递减；当 ， 递增；所以， ， ，.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等问题. 导数是研究函数的单调性、极值（或最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数
24、的几何意义；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值（最值） ，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用22. 已知在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 (为参数)，曲线 的方程为 .以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和曲线 的极坐标方程:(2)曲线 分别交直线和曲线 于点 ，求 的最大值及相应 的值.【答案】(1) ， .(2) 时， 取得最大值 .【解析】试题分析：（1）利用代入法消去参数可得直线的普通方程，将曲线 的方程化为一般式，利用公式 ， ，即可得到直线和曲线 的极坐标方程；（2）直线的极坐
25、标方程为 ，令 ，可得 ，由曲线 的极坐标方程可得，所以 ，利用三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1） ，直线的普通方程为： ，直线的极坐标方程为 .曲线 的普通方程为 ， ， ， 的参数方程为：（2）直线的极坐标方程为 ，令 ，则，即 ；又 ， ， ， ，即 时， 取得最大值23. 已知函数 .(1)当 时求函数 的最小值；(2)若函数 在 上恒成立求实数 的取值范围.【答案】(1)4.(2) .【解析】试题分析：（）结合题意利用基本不等式求解即可 （）由题意得 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立构造函数 ，求得函数的最值后可得结论试题解析：（）当 时，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 （）由题意得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，设 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增， ，又 ，解得 ，所以实数 的取值范围是
