1、2.3.1 双曲线及其标准方程,数 学 实 验,1取一条拉链， 2如图把它固定在板上的两点F1、F2 3 拉动拉链（M）思考拉链运动的轨迹,动画演示,双曲线的定义：,平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（02a F1F2）的点的轨迹是双曲线.,这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，用2c来表示,若 PF1 PF22a(02a F1F2 )，则P的轨迹是双曲线,若2a0，则轨迹是F1F2的中垂线,若2a F1F2，则轨迹是以F1、F2为端点的两射线,若2a F1F2，则轨迹不存在,设M（x , y）是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c（c0）,则F1(-c
2、,0),F2(c,0) 常数=2a,以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,1. 建系.,设点,2.列式,3.化简.,M,F2,F1,双曲线的标准方程,双曲线的标准方程,（1）双曲线的标准方程用减号 “-” 连接；,（2）双曲线方程中a0,b0,但a不一定大于b,说明：,（3）如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上；,（4）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是c2=a2+b2；,（5）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB0),F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=
3、b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,练习 判断下列各双曲线方程焦点所在的坐标轴；求a、b、c各为多少？,练习写出双曲线的标准方程,1、已知a=3,b=4焦点在x轴上，双曲线的标准方程为,2、已知a=3,b=4焦点在y轴上，双曲线的标准方程为,若双曲线上有一点， 且|F1|=10,则 |F2|=_,例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.,4或16,方程 表示双曲线时，则m的取值范围是_.,变式:,例2.已知A、B
4、两地相距800m，在A处听到 炮弹爆炸声的时间比在B处晚2s, 且声速为 340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程,例题3：已知两点A（5,0）B（5，0），动点M满足KAMKBM 。求M点的轨迹。,思考：已知F1、F2为双曲线 的焦点，弦MN过F1且M,N在同一支上，若|MN|=7, 求MF2N的周长.,思考：已知双曲线16x2-9y2=144求焦点的坐标；设P为双曲线上一点，且|PF1|PF2|=32，求 ；设P为双曲线上一点，且 F1PF2=120，求 .,2.3.2 双曲线的简单几何性质,2、对称性,双曲线 的几何性质,1、范围,关于x轴、y轴和原点都是对称的.。,x轴、y轴是双曲线的对称
5、轴，原点是对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.,3、顶点,（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点,a,4、渐近线,M,N,P,(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.,5、离心率,e反映了双曲线开口大小 e越大 双曲线开口越大 e越小 双曲线开口越小,（3）离心率范围：,（2）离心率的几何意义：,e1,a,b,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（- a，0），A2（a，0）,A1（0，-a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐进线,F2(0,c)F1(0,-c),如何记忆双曲线的渐进线方程？,例1、（1）求双曲线9y216x2=
6、144的实半轴长、 虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；,（2）求双曲线9y216x2=144的实半轴长、 虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；,例2 :求双曲线的标准方程：,“共渐近线”的双曲线的应用,0表示焦点在x轴上的双曲线； 0表示焦点在y轴上的双曲线。,练习：,2、求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的 顶点为焦点的双曲线的方程。,例3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).,A,A,0,x,C,C,B,B,y,例4、,解：,x,y,.,.,F,O,M,.,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（- a，0），A2（a，0）,A1（0，-a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐进线,F2(0,c)F1(0,-c),如何记忆双曲线的渐进线方程？,
