1、 做好高考复习的领路人-2004年高考复习心得与小结浙江省湖州中学 姚恒(313000)一、高考怎么考（一） 、数学高考试题从哪里来1、以国外等水平的考试题为题源高考的命题专家一般都见多识广，所以他们往往回从更广阔的范围寻找命题的灵感点，由于国内外传统的数学文化的差异，使得国外的试题往往有着不同于国内的着眼点和立意点，所以国外的等水平的考试题是产生有创意的高考题的题源之一。例 1、 （2002 年高考）不等式 的解集是（D ）0)1(xA、 B、 C、 D、0x0x且 1x1x且这一题题源来自于美国第 27 届中学生竞赛试题第 7 题，原题如下类比 1：若 是实数，那么 是正数的充分必要条件是
2、（ ）)1(A、 B、 C、 D、 E、xxx1x1xx或例 2、 （1997 年高考）设 ，方程 的两根 满足)0()(2acbf 0)(f 2、， （1） 、当 时，证明 （2） 、 （略）ax01 ,01x1xf这是 1998 年日本部分大学入学考试题，命题者在不改变“解题思想与解题方法”的基础上，以一种新的面貌呈显给考生类比 2、设 ，其中 满足 的常数，定义数列)()(xxf ,10nx如下： ， ，求证：对一切自然数 ，有1 21nfn nnx02、以现行教材为题源紧扣教材出新题，是高考命题方向之一，而教材丰富的内涵又是高考编拟试题的源泉，命题者以教材中一些重要例题、习题为基础，编
3、拟高考题是较为常见的现象，每年高考中有不小比例的此类考题例 3、 （老教材代数下 P30 第 12 题）求证 （ ）2lg)lg(BA0类比 3、 （1998 年高考题）比较 与 （ ）的大小。)21(logtatao,10t分析：令 ， ，常用对数换成以 为底的对数。1AtB类比 4、 （1994 年高考文科题）已知函数 ，判断),10(log)( Rxaxfa且与 的大小并加以证明。)(212xff)(21xf分析：令 ， ，常用对数换成以 为底的对数。1A2Ba类比 5、 （1994 年高考理科题）设 ， ，若 ，且 ，证明xftn)()2,0()2,0(1x、 21x)(212xff(
4、21xf分析：令 ， ，常用对数换成正切函数。1A2B类比 6、 （2000 年高考理科题）若 ， ， ， ，1babaPlg.)lg(21baQ)2l(baR则（ ）A、 B、 C、 D、QPRRPRP分析：令 ，ab3、竞赛题为题源例 4、 （2002 年高考）已知函数 ，求 的值21)(xf)10(.)102()(fff类比 7、 （配对思想） ，求 的值4)(xf )(.)()0(fff例 5、 （2003 年高考）一个四面体所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为2（ ）A、 B、 C、 D、3436分析：（构造思想）四面体在正方体内，正方体再内接一个球4、高等数学思想
5、初等化例 6、 （2002 年高考）设数列 满足na,.321,21nan()、当 时，求 ，并由此猜想出 的一个通项公式；21a432,（）当 时，证明对所有的 ，有31n 2na 21.12na分析：（）中由高等数学中“正项级数 前 项和有上界，故级数 收敛”为出发点1in1ia命题的5、以生活热点为题源作为高考热点应用题，几乎每年都与现实生活热点有关，如 2000 年高考纳税一题（二） 、2003 年高考试题给我们的启示1、继续稳定的题型2003 年高考题型不变，仍由选择题、填空题和解答题组成，三种题型分值比为：理科30：8：39，文科 30：8：37，其中理科多了附加题的 4 分2、在
6、知识网络的交汇点设计命题，注重综合在知识的交汇点出题，一题串联多个知识点，这种“综合考查”数学知识的命题理念，使得对数学知识的要求，不能停留在孤立的对各个知识的理解和记忆，更要注重知识结构的理解性，如：例 7、 （2003 高考）已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列，0)2)(2( nxmx 41则 （ ）nmA、1 B、 C、 D、432183此题既是基础的又是综合的，利用韦达定理和等差数列的性质可以分析出四个根的排列形式是解题的关键，有不少同学求出四个根，再讨论就把问题复杂化了。3、运算能力考查有新定位以往对运算能力的考察重点放在对“正确迅速的数与式运算、变形的能力”上，而近几年逐
7、步转移到“对估算意识、估算能力”的考查，2002 年将其扩大到“在懂得基本运算技能的基础上，考查学生对运算策略的选择，估算意识，对运算工具的使用技能及对运算结果反思、演算的自觉性”2003 年高考继承了这一成果，以 2003 年高考为例，除第（14） 、 （16）题可以不计算，第（1） 、 （2） 、 （9） 、 （19）题运算量较小外，其余运算量都较大。4、注重新颖题2003 年的高考题中新题型和新情景的问题多了，这种新颖性对学生来说构成了一种事实上的难度，但有利于摆脱题海，有利于高校选拔人才，如：例 8、 （2003 高考）已知 ，设 ：函数 在 上单调递减； ：不等式 的0cPxcyRQ
8、12cx解集为 。如果 和 有且仅有一个正确，求 的取值范围。RPQ此题把集合、简易逻辑、函数和不等式知识综合起来，在高考命题中也是一个创举。5、鼓励“投机取巧”例 9、 （2003 高考）设函数 ，若 ，则 的取值范围是0,12)(xf 1)(0xf0xA、 B、 C、 D、)1,(),1(),()2,(),1(),(此题目如果采用简答题的方法就太浪费时间了，可以由 时， 得 ，所以选0x20x0D。高考数学对计算能力的要求是快捷而正确，因而鼓励聪明的投机取巧以节约时间。二、我们要做点什么？针对以上对高考的分析，在最后的时间里我们还能做什么？还应该做什么？这是我们大家应该思考的问题？我认为我
9、们还应该重视以下几个方面：（1） 、帮助学生构建好知识网络在高中阶段尽管学习了很多知识，但是学生普遍感到所学的知识是点点滴滴、零零星星，没有一个系统的感觉，在考试时有时不知用何种知识来解决问题，这是因为学生学了太多的知识，一时还没有理顺，所以在解题中不能迅速找到需要的知识块。因此在高中阶段的最后时刻，应该对所学的知识进行梳理，使所学的知识形成一个网络，做到：时时刻刻不会丢，反复运用不会乱。下面我们一起以等差数列为例，一起来梳理一张网络。1定义(1) 。 功能 ： 判断一个数列是不是等差数列（要求已知通项） 。dan(2) 。 功能 ： 判断一个数列是不是等差数列（不要求已知通项） ，解决和相邻
10、三项21有关的问题。2公式(1)通项公式： 。 功能 ： 求等差数列中的任意一项；已知 ， ， ， 中的dnan1 1and三个量，求第四个量。(2) 前 项的和公式： 。 功能 ： 求出等差数列指定几项的和。dnaSnn 21211(3)通项和求和的关系： 。 功能 ：把数列中的两大问题有机的联系一起。1an也体现了通项和求和的等价性。上述的整理是对课本知识的再现和归纳，是等差数列中的基本量和基本方法，它在解决问题时往往要辅以一定的计算，偏重于体力劳动。决不能停留在此！要继续探索。3.性质(1) 。 功能 ：充分体现了等差数列中任意两项的关系，也是对通项公式的一dmnan次推广。(2) （
11、） 。 功能： 它可以对等差数列中两项的和作我们需要的变qpn qp形，在求和公式的推导中就有很好的体现。(3)等分和： ， ， ， 功能： 它是对求和的一种补充和完善，有利于我21a34a,们迅速解决和部分和有关的问题。很好的掌握上述性质将有利于我们灵活的解题，使学习成为真正意义上的脑力劳动。4特征(1)正负特征：等差数列的正负项是相间分离的。 功能：求和的最大值和最小值，求绝对值的和。(2)公式特征：通项 是一次函数的形式；求和 是二次函数的形式。 功能：ban bnaSn2使数列问题函数化。了解等差数列的这些性质，将使我们的解题更加巧妙和漂亮！现在的高考提倡在知识的交叉点上构建问题，可我
12、们的许多学生连知识的网络都还没有构建好，哪来的交叉？所以在最后的阶段要让学生理顺各知识间的关系，更清楚构建好知识的网络。（2） 、抓住机会，引导学生感悟一些“好题”我们做题目的目的究竟是什么？是想做到和高考一样的题目？这不太可能；想提高学生的解题速度？不完全正确，应该要培养学生的能力！做题是一个感悟的过程，有些知识只能意会不能言传。题目应该越做越少，越做越精。我们所做的许多题目都是好题，但是很容易丢失，我们应该找到它们的一条共同的线索，把它串联成一条项链，挂在脖子上，这样就不会忘记。告诉学生在做题目时应该“用心” ，要注意题目的结构特点，要关注条件、记住结论、不忘图形。做到：题目穿肠过，精神心
13、中留。具体的就是：类似的条件要加以总结。相同的图形要加以归纳，细微的变化要加意注意。下面我们也可以看一个问题。 （看图说话）问题 如右图,过抛物线 的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点分别为pxy2和 。这是一张我们经常见到的图，它有丰富的内涵，1y,xA2yB可以编制出很多有价值的问题。你能说出几个？三个太少，五个不够，争取十个也不过分！结论 1 ； 。2py 421px结论 2 抛物线 上有两个动点 ， 的纵坐标分别是 、 ，且满足 。问：AB1y221py直线 是否过焦点 ？ABF结论 3 一定是钝角。 结论 4 有最值 。OO53arcos结论 5 的面积有最值 . 结论 6 若直
14、线 的倾斜角为 ，则 。2pl2sinpAB结论 7 为常数。 结论 8 以 为直径的圆和准线相切。BFA1AB结论 9 ， 分别是 ， 在准线上的射影。求证 1 oF901结论 10 弦 的垂直平分线交 轴于一点 ，则xP2AB这样的题目很多，最好让学生自己总结：十大课本例题；十大经典题目；十大重要结论；十大基本条件；十大变形题组。这样使学生对所做的题目有一个归纳和总结。（3） 、及时对错误进行整理和反思这也是我们在复习的最后阶段所要做的一项重要工作：整理反思错误。整理错误就是对已发生的错误进行分析，进一步理清概念，防止再犯同样的错误；反思错误就是从错误中提取有价值的成分，提高自己的防错能力
15、，你的每一个错误都将成为一个很好的学习反例。我们一起来看一下下面的问题。问题 2 求函数 的最小值。23xy分析：此题的解法最容易想到基本不等式。那原函数变形为： ，那么有：21xy，所以最小值为 。错了！等号不能取到。对这样的错误应该引起我212xy 2们的注意，我们可以从得到两点有价值的结论。一是，利用基本不等式求函数的最值，一定要注意等号是否能够取到。二是，如果一定要求最值，那该怎么办？这是函数 （ ，xay0）挺身而出。函数在 上是减函数，在 上是增函数。利用单调性来解决问题。0aa,0,a所以原函数的最小值是： 21我们要经常提醒学生进行思考，即错误反思；方法反思；过程反思；变化反思
16、。经常要向学生灌输解题的四步曲：优先考虑；捕捉特征；挖掘隐含；冷静反思。（4） 、多重视在“教学最佳期”开展教学我觉得在“教学最佳期”进行教学可以收到良好的教学效果，即：在教学设计中努力去寻找学生数学认知结构中与某个教学难点最近的知识或经验作为出发点，在教学中恰倒好处地引导学生亲自参与，经历认识所学知识的过程，让学生在学习中再创造。如在复习基本方法“赋值法”时典型例题：已知函数 ，满足 ， ，求 范围。caxf2)( 1)(4f 5)(xf)3(f分析： cf4)2(13)1(ff )(32(83fff20)(1f方法推广：对于 ，令 得)()(2Rxcbaxf,10xcbaff)1(0)0(
17、21)(fff)0(2)1(2)()( 2fxfxffxf )1(02)1(2)1( 2xfxfxfx 方法运用 1：求形如 取值范围材料 1、设函数 ，满足 ， ， ，求证： 时，cbxaxf2)( 1)(f)(f 1)0(f 1,x。45)(xf方法应用 2：处理根与系数的关系材料 2、设正系数一元二次方程 有实根，求证02cbxa（1） 、min cba41,（2） 、max c9,实战演练：（96 高考题）已知 是实数，函数 ， ，且当 时，cba, cbxaxf2)( baxg)( 1x1)(xf（1） 、证明 1（2） 、证明当 时，x2)(xg（3） 、设 ，且当 时， 最大值是
18、 2，求0a1,)(xf教学反思：如果我们直接拿出材料 1和材料 2，学生可能会感到比较茫然，大部分学生都可能百思不得其解，对教师的解答也只是盲目的附和，认为不过是老师事先凑好的数字游戏，不能发现蕴涵的解题规律。而如果仅仅给出一个基本方法，不作必要推广，学生又往往会认为复习课只是对过去知识机械的反复。而在以上的教学设计中，我们在引导学生突破难点时，首先引导他们找到了与这一难点最接近的知识和经验，然后突破这些知识的局限进行再创造，接着运用所得的方法和结论解决一些较难的问题，最后回归高考，整个教学过程一气呵成，毫不拖泥带水，学生在教学过程中由被动的接受者成为主动的创造者，亲身体验了数学学习的好奇、
19、思索、紧张、兴奋、喜悦的过程，培养了学生的主体精神和创新能力。（5） 、重视对课本知识的回归高三最后复习阶段，可千万要重视课本知识，要注意对课本知识和例题的挖掘，如果我们能指导学生不满足课本所给的知识，学会对课本例题的再研究和再探索，那势必会达到事半功倍的效果。新教材在定义的给出上一般多作了严谨、合理的推导，而正因为这样，我们在教学时也常常不假思索，按本宣科，丧失了许多教学最佳期，事实上，在定义推导过程中，蕴含着许多值得我们去深思和发掘的东西，从这里出发去探索、证明，远比另辟蹊径，寻求它路或盲目附和要强的多、好的多。如在用定义推导椭圆的标准方程过程中，原过程如下：设 是椭圆上任一点，椭圆的焦距
20、为 ， 与 和 的距离的和等于正常数 ，则 、),(yxM)0(2cM1F2 a21F的坐标分别是 ， 。椭圆就是集合 ， ，2F)0,(c,(aP1)(ycxMF得方程 ，将这方程移项，两边平方，得2yx 22)()ycxycx，两边再平方，得 ，整理22)(ycxac 22224 yacxaxca得 ， ，设 ，得椭圆标准方程2(a)2cc02bc，师生探讨到这里，已经复习了圆锥曲线的第一定义，导出了椭圆的标准方程，)0,(12bayx如果能顺水推舟，引导学生思考以下几个问题，将会发现由这一推导过程可步入另一个新天地。思索（1）：式与圆的标准方程比较有什么不足；思索（2）：哪一式弥补了这一
21、不足；思索（3）：在哪里进行了不等价变化；思索（4）：可不可以不平方；通过思考，不难发现与圆方程比较无法揭示圆锥曲线定义的本质，而有这个优点，但在平方过程中丢失了这一优点，对于如果不平方，可以两边除以 ，得 ，再得a2)(ycxc，并由此可得 ，而这正是我们想导出的椭圆的0)()(22ycxca xcy2)(第二定义。思索（5）：符合这样的方程一定是椭圆吗？对知识的复习进行这样的处理和设计，我认为不仅可以在最后复习阶段回归课本，而且可以培养学生的创新精神，使知识的给出水到渠成，弥补了教材的不足，让学生经历了发现，体验了成功。三、教学结果检测以上就是我在高三这一年的教学心得，在实际教学过程中也取得了一定的效果，2004 年的高考也取的了比较好的成绩，7 班平均分为 122.8 ，10 班平均分为 141，都名列前矛。
