1、中 考 数 学 2019 第六章 圆 CONTENTS 目 录 第一节 圆的基本性质 第二节 与圆有关的位置关系 第三节 与圆有关的计算 第一节 圆的基本性质 PART 01 考点帮 考点 1 垂径定理及其推论 (2011年新课标 选学内容 ) 考点 2 弦、弧、圆心角之间的关系 考点 4 圆内接四边形的概念和性质 考点 3 圆周角定理及其推论 考点帮 垂径定理及其推论 (2011年新课标选学内容 ) 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 1. 垂径定理 : 垂直于弦的直径 弦 , 并且 弦所对的两条弧 .2. 垂径定理的推论 : 平分弦 ( 非直径 ) 的直径垂直于弦 , 并且平分弦所对的
2、两条弧 .3. 延伸 :(1) 弦的垂直平分线经过圆心 , 并且平分弦所对的两条弧 .(2) 平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦 , 并且平分弦所对的另一条弧 .平分 平分 考点帮 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 弦、弧、圆心角之间的关系基础点 1. 定理 : 在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧 , 所对的弦也相等 .2. 推论 :(1) 在同圆或等圆中 , 如果两条弧相等 , 那么它们所对的圆心角 , 所对的弦 .(2) 在同圆或等圆中 , 如果两条弦相等 , 那么它们所对的圆心角 , 所对的弧 .(3) 弧的度数等于圆心角的度数 .得分速记 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、
3、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各量也相等 . 相等 相等 相等 相等 相等 考点帮 圆周角定理及其推论 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .常见图形结论 AOB= 推论(1) 同弧或等弧所对的圆周角 .(2) 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ,90 的圆周角所对的弦是 .易失分点 运用圆周角定理及其推论解题时的易错点 在应用圆周角定理及其推论时 ,一定要注意“在同圆或等圆中”这一条件 ,同时要特别注意一条弦对着两条弧 ,这两条弧所对的圆周角互补 ;一条弧只对着一个圆心角 ,但对着无数个圆周角 . 方法指导 有关直径的问题 ,常通
4、过构造直径所对的圆周角来进行证明或计算 . 一半 2 ACB 相等 直角 直径 考点帮 圆内接四边形的概念和性质 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 提分技法 确定圆的条件及圆的对称性 1.确定圆的条件 不在同一直线上的三点可以确定一个圆 . 2.圆的性质 (1)对称性 :圆既是轴对称图形 ,又是中心对称图形 ,任意一条直径所在直线都是它的对称轴 ,圆心是它的对称中心 . (2)旋转不变性 :将圆绕着它的圆心任意旋转一个角度 ,都能与原来的圆重合 . 概念四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形 .性质(1) 圆内接四边形对角 ; A+ BCD= B+ D=(2) 圆内接四边形的任意
5、一个外角等于它的( 和它相邻的内角的对角 ). DCE=互补 内对角 180 180 A PART 02 方法帮 命题角度 1 圆周角定理及其推论 方法帮 例 1 提分技法 ( 注重推理能力 )201 8 内蒙古通辽 已知 O 的半径 为 10, 圆 心 O 到 弦 A B 的距离 为 5, 则 弦 A B所对的圆周角的度数是 ( )A.30 B.60 C.30 或 150 D.60 或 120 思路分析 D 命题角度 1 圆周角定理及其推论 方法帮 例 1 提分技法 利用圆周角定理及其推论解题时的思路1. 在利用圆周角定理解答具体问题时 , 找准同弧所对的圆周角及圆心角 , 并结合圆周角定理
6、进行相关计算是关键 . 与圆周角有关的常用辅助线有 : 过圆上某点作直径 , 连接过直径端点的弦 ; 弦垂直平分半径时可构造直角三角形 ; 构造同弧所对的圆周角 .2. 在利用圆周角定理的推论解答具体问题时 , 要找准直径及等弦或同弦所对应的圆周角 , 一般会结合圆周角定理进行相关计算或证明 .命题角度 2 圆内接四边形的性质 方法帮 例 2 思路分析 首先在优弧 BD上取一点 A,连接 AB,AD,构造圆内接四边形 ,然后根据圆的内接四边形的性质 ,即可求出 BAD的度数 ,最后根据圆周角定理 ,即可求得答案 . 2018 山东济宁 如图 , 点 B,C,D 在 O 上 , 若 BCD=13
7、0 , 则 BOD 的度数是 ( )A.50 B.60 C.80 D.100 D 第二节 与圆有关的位置关系 PART 01 考点帮 考点 1 点与圆的位置关系 考点 2 直线与圆的位置关系 考点 4 正多边形与圆的有关计算 考点 3 三角形的外心和内心 考点帮 点与圆的位置关系 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 温馨提示 平面内的点与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆心连线所在的直线上 . 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 图形 d 与 r 的关系点 A 在圆内 dr考点帮 直线与圆的位置关系 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 2. 切线的性质与判定(1) 定义 : 直线和圆只有
8、一个公共点 , 这时我们说这条直线和圆相切 , 这条直线叫做圆的切线 , 这个点叫做切点 .1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系相交 相切 相离图形d 与 r 的关系 d r d r d r公共点的个数 2 0 1 考点帮 直线与圆的位置关系 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 提分技法 判定切线的常用辅助线 在判定一条直线为圆的切线时 ,若已知条件明确指出圆与直线有公共点 ,常 “连半径 ,证垂直” ;若没有明确指出圆与直线有公共点时 ,常需“作垂直 ,证半径” . 3. 切线长 : 过圆外一点作圆的切线 , 这点和 之间的线段长叫做这点到圆的切线长 .* 切线长定理 (2011
9、版新课标选学内容 ): 从圆外一点可以引圆的两条切线 , 它们的切线长相等 ,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 .性质定理 圆的切线 于过切点的半径 .推论a. 经过圆心且垂直于切线的直线必过 .b. 经过切点且垂直于切线的直线必过 .判定a. 和圆有 个公共点的直线是圆的切线 .b. 如果圆心到一条直线的距离等于圆的 , 那么这条直线是圆的切线 .c. 经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线 .垂直 切点 圆心 一 半径 垂直 切点 ( 2 ) 性质与判定考点帮 三角形的外心和内心 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 提分技法 直角三角形内切圆及外接圆半径长的确定 直角三角形
10、外心为其斜边的中点 ,其外接圆半径 R = ;其内切圆半径 r = (其中 a,b为直角边长 ,c为斜边长 ). 2 cba 2c三角形的外心 三角形的内心概念 三角形外接圆的圆心 三角形内切圆的圆心作法三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形三个内角的平分线的交点性质三角形的外心到三角形 的距离相等 .三角形的内心到三角形 的距离相等 .位置 外心不一定在三角形内 . 内心一定在三角形内 .三个顶点 三条边 考点帮 正多边形与圆的有关计算 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 设正 n的边长为 a，外接圆半径为 R 特例探究 正六边形的边长等于其外接圆的半径 ;正三角形的边长等于其外接圆半径
11、的 倍 ;正方形的边长等于其外接圆半径的 倍 . 32边心距 或 R2-(a2)2正 n 边形的周长 na正 n 边形的面积12na r正 n 边形中心角的度数正 n 边形每个外角的度数360 nPART 02 方法帮 命题角度 与切线有关的证明和计算 方法帮 例 1 思路分析 提分技法 ( 培养演绎推理能力 ) 2 0 1 8 湖北武汉 如图 , P A 是 O 的切线 ,A 是切点 , A C 是直径 , A B 是弦 , 连 接P B , P C , P C 交 AB 于点 E, 且 P A = P B .( 1 ) 求证 : P B 是 O 的切线 ;( 2 ) 若 A P C = 3
12、 B P C , 求的值 .( 1 ) 连接 O B , 证明 O B P = 9 0 即可 . ( 2 ) 连接 O P , B C , 设 OP 交 AB 于点 F, 设 O F = t , 通过证明 FPB B P O , 可用含 t 的式子表示 PF, 再通过证明 PFE C B E , 即可求得 的值 .命题角度 与切线有关的证明和计算 方法帮 例 1 提分技法 ( 1 ) 证明 : 方法一 :连接 O P , O B .在 OAP 和 O B P 中 ,= ,= ,= , OAP O B P , O A P = O B P . PA 是 O 的切线 , O A P = 9 0 ,
13、O B P = 9 0 , PB 是 O 的切线 .方法二 :连接 O B . PA 是 O 的切线 , P A O = 9 0 . O A = O B , P A = P B , O A B = O B A , P A B = P B A , P B O = P A O = 9 0 , PB 是 O 的切线 .( 2 ) 解 : 连接 B C ,设 OP 交 AB 于点 F. AC 是 O 的直径 , A B C = 9 0 . O A = O B , A P = B P , OP 垂直平分 A B , BC O P , O P C = P C B . A P C = 3 B P C , A
14、 P O = B P O , O P C = C P B , P C B = C P B , B C = B P .设 O F = t ,则 P B = B C = 2 t ,易得 FPB B P O ,=, PB2= P F P O ,即 ( 2 t )2= P F ( P F + t ) ,解得 PF=-1+ 172t( 负值已舍去 ). PFE C B E,=2 =17 -14.自主解答命题角度 与切线有关的证明和计算 方法帮 例 1 提分技法 解答与圆有关的证明及计算的技巧1. 圆中常用的辅助线有如下几条 :( 1 ) 半径 : 圆的半径是圆的重要元素 , 圆中的许多性质 , 如 “
15、同圆的半径相等 ” 和 “ 圆的切线垂直于过切点的半径 ” 等都与圆的半径有关 , 连接半径是常用的添加辅助线的方法之一 , 常用于切线的性质及证明 ;( 2 ) 弦心距 : 在解决有关弦的问题时 , 常常作弦心距 , 以便利用垂径定理或三角函数 ;( 3 ) 构造直角三角形 : 在解决有关直径的问题时 , 常常作直径所对的圆周角 , 构造直角三角形求解 ;( 4 ) 构造相等的圆周角或圆心角需要的辅助线 .2. 圆内有关角的计算或证明 , 一要正确应用圆周角定理及推论 , 把不同位置的角的数量关系建立起来 ; 二要正确应用圆心角 、 弦 、 弧之间的关系定理 , 把弧 、 弦的相等关系转化到
16、角的相等关系上来 ;三要正确应用切线的性质定理 , 已知切线 , 作出过切点的半径 , 构造直角 .第三节 与圆有关的计算 PART 01 考点帮 考点 1 弧长与扇形面积的计算 考点 2 圆锥的相关计算 考点 3 阴影部分面积的计算 如图 ( 1 ) , O 的半径为 R,所对的圆心角为 n ,的长为 l.弧长公式 的周长 : = ;的长 : l= .面积公式 的面积 : = ;扇形 的面积 : 扇形= .考点帮 弧长与扇形面积的计算 考点 1 考点 2 考点 3 图 (1) 2 R180nR2R 2360nR如图 ( 1 ) , O 的半径为 R, 弧 AB 所对的圆心角为 n , 弧 A
17、B 的长为 l.考点帮 圆锥的相关计算 考点 1 考点 2 考点 3 如图 (2), 圆锥的侧面展开图是扇形 , 圆锥的高为 h, 底面圆半径为 r, 母线长为 a, 侧面展开扇形的圆心角为 n , 弧长为 l.1. 圆锥底面圆的面积为 S= r 2 , 周长 C=2 r;2. 圆锥侧面展开扇形的圆心角 n= ;3. 圆锥的高、底面圆半径和母线长之间的关系 :h 2 +r 2 = ;4. 圆锥的母线长等于其侧面展开扇形的半径 ; 圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长 .图 (2) 考点帮 阴影部分面积的计算 考点 1 考点 2 考点 3 1. 弓形面积的求法类型 劣弧对应的弓形 优弧对应的弓形图形面积计算 S阴影=S扇形 AOB-S OAB S阴影=S扇形 AOB+S OAB2. 常用方法(1) 规则图形 , 可直接用公式求解 .(2) 分割求和法 : 把图形适当分割 , 将不规则的阴影部分的面积转化成几个规则图形面积的和或差 . 如图 (3),S阴影=S扇形BOC +S COD -S ODE .图 (3) 图 (4)考点帮 阴影部分面积的计算 考点 1 考点 2 考点 3 名师点拨 一般地 ,图形中若出现弧线 ,则要先找到这条弧所在圆的圆心 ,将其补全为扇形 ,再利用图形间的关系进行求解 . PART 02 方法帮
