1、2.5 简单复合函数的 求导法则, 导数的加减法法则：, 导数的乘除法法则：,引例,一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形 成一个圆形油膜，其面积 是半径 的函数：,油膜半径 随着时间 的增加而扩大，其函数关 系为：,问：油膜面积 关于时间 的瞬时变化率是多 少？,分析：,油膜面积 关于时间 的新函数：,由于,所以由导数的运算法则可得：,概括,一般地，对函数 和 ， 给定 的一个值，可得 的值，进而确定 的值， 这就确定了新函数 ，它是由 和 复合而成的，我们称之为复合函 数，其中 是中间变量。,复合函数 的导数：,复合函数 中，令 ，则,注意：,复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中
2、阶段我们只讨论 的情况。,推广：,注意：不要写成 ！,对x求导,对 求导,利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的关键。,分析：,令 ，则函数是由 与 复合而成，由复合函数求导法则 可知：,解：,例1 求函数 的导数。,解：,令 ，则函数是由 与复合而成，由复合函数求导法则 可知：,例2 求函数 的导数。,（1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量；,（2）尽可能地将函数化简，然后再求导；,（3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用；,（4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”， 一环套一环，缺一不可。,复合函数求导法则的注意问题：,解：
3、,令 ，由复合函数求导法则可 以求得：,当 时，水面高度下降的速度是 。,解：,（1）函数是由 与 复合而成的，,由复合函数的求导法则知：,例4 求下列函数的导数：,前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们 的导数如何求得？,求下列函数的导数：,动手做一做,1. 求下列函数的导数：,2. 求曲线 在 处的切线方程。,关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。, 复合函数求导公式：,利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。,对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导法则。, 抽象复合函数的导数：,
