1、厦门市湖滨中学 2018 届高三年 5 月适应性考试理科数学试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合 ，求出集合 的补集，解方程化简集合 ，利用集合交集的定义进行计算即可.详解：因为 或 ，所以又因为 ，所以 ，故选 C.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2.
2、的值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：逆用二倍角正弦公式即可得到结果.详解：sin75cos75= sin75cos75= 故选：A点睛：本题考查了二倍角正弦公式，属于基础题.3.下列函数中，与函数 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是A. B. C. D. 【答案】B【解析】易知原函数的定义域为 ，单调递增，奇函数，所以 A、C、D 错误，B 正确.故选 B.4. 的展开式中 的系数为（ ）A. B. 84 C. D. 280【答案】C【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式 ，得 展开式的通项为，则 展开式的通项为 ，由 ，得 ，所以所求的系数为 .故选 C
3、.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式 ，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出 ，将 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.5.设 满足约束条件 则 的最大值为（ ）A. B. 3 C. 9 D. 12【答案】C【解析】【分析】画出可行域，通过平移动直线 求最大值.【详解】可行域如图所示：动直线平移到点 时， 取最大值 .故选 C.【点睛】一般地，二元一次不等式组条件下的二元一次函数的最值问题，可用线性规划的方法求解.6.已知斜率为 3
4、的直线 与双曲线 交于 两点，若点 是 的中点，则双曲线 的离心率等于（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】设 ，则 ，所以 ， ，所以 ，得 ，所以 ，所以 。故选 A。7. 的值为 ，则判断框内应填入( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】流程图是判断何时 ，逐次计算即可.【详解】第一次执行判断前， ；第二次执行判断前， ；第三次执行判断前， ，以此类推，有 ，故 ， ，因此判断框应填 ，故选 A.【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.8.日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规
5、”.通常由铜制的指针和石制的圆盘组成，铜制的指针叫做“晷针” ，垂直地穿过圆盘中心，石制的脚盘叫做“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久，下图是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片，假设相机镜头正对的方向为正方向，则根据图片判断此日晷的侧(左）视图可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】从左边看，圆盘的投影是椭圆，而晷针的投影是左虚右实，故可判断选项.【详解】从左边看，圆盘在底面的投影为椭圆，又晷针斜向下穿盘而过，故其投影为左虚右实，故选 A.【点睛】本题考察三视
6、图，属于基础题.9.在 中， ， ，则角 （ ）A. B. C. 或 D. 【答案】D【解析】分析：在 中，利用 ，结合题中条件，利用和差角公式可求得，利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.详解：在 中，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，所以由正弦定理得 ，联立两式可得 ，即 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，故选 D.点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得 之后，一定要抓住题中条件，最后确定出角的大小.10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为 ，底面边长为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计
7、容器的厚度，则球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，设求和三棱柱的上底面的三个焦点分别为 ,设截面圆的半径为 ，因为上底面是边长为 的正三角形，则 ，设求的半径为 ，根据球的性质可得 ，所以球的表面积为 ，故选 B。11.已知过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 两点，若 为线段 的中点，连接并延长交抛物线 于点 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知， 的焦点 的坐标为（2,0） 。直线 的斜率存在且不为 0，设直线 方程为。由 。消去 y 整理得 ，设 ，则 ，故 ，所以，直线 OS 的方程为 ，代入抛物线方程，解得，由条
8、件知 。所以 。故选：D点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围12.已知函数 ，则（ ）A. 有 个零点 B. 在 上为减函数C. 的图象关于 点对称 D. 有 个极值点【答案】
9、B【解析】【分析】因为 ，故可判断 无零点，而 ，当 ，可通过 的符号确定其单调性，通过考虑 与 可得 极值点的个数.最后通过取特殊值去判断函数的图像是否关于 对称.【详解】因此 ，故 ，所以 ，故判断 无零点判断，A 错.又 ，当 时 ，故 在 为减函数，所以 B 正确.，因 ，故函数的图像不关于 对称，所以 C 错误.考虑 及 的图像（如图所示） ，它们在 上有且仅有一个交点，故 在 上有且仅有一个实数根，且在其左右两侧，导数的符号发生了变化，故 有一个极值点，所以 D 错.综上，选 B.【点睛】 （1）函数的零点的个数判断有时可以根据解析式的特点去判断，大多数情况下需要零点存在定理和函数
10、的单调性来考虑.（2）如果函数的解析式满足 ，那么函数的图像关于 对称.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若复数 满足 是虚数单位 ，则 的虚部为_【答案】 . 【解析】分析：先求出复数 z，再求复数 z 的虚部.详解：由题得 所以复数 z 的虚部为-1.故答案为：-1点睛：（1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的掌握能力.(2)复数 的虚部是 b,不是 bi,这一点要注意.14.已知向量 与 的夹角是 ，且 ，则向量 与 的夹角是_【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示， ，所以向量 与
11、 的夹角是 120. 故填 120. 点睛：本题主要考查平行四边形法则和向量的夹角，属于基础题.15.已知函数 ，函数 ，则不等式 的解集为_.【答案】【解析】函数 f（x）= ，当1x1 时，f（x）=1x；当 x1 时，f（x）=x+3；当 x1 时，f（x）=（x1） 2当 x1，即x1，可得 g（x）=（x1） 2+3x=x 23x+4，由 g（x）2，解得 1x2；当 x1 时，x1，则 g（x）=x+3+（x+1） 2=x2+3x+4，由 g（x）2，解得2x1；当1x1 时，1x1，可得 g（x）=1x+1+x=2，由 g（x）2，解得1x1，综上可得，原不等式的解集为2，2故答
12、案为：2，216.将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到 的图像.若 在上单调递减，则 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据三角变换和图像变换得到 ，先求出该函数的单调减区间的一般形式，利用 是其子区间可得 的取值范围【详解】 ，故 ，令 ，故 因为 在 为减函数，所以存在 ，使得，故 ， 又 ，故 ，所以填 【点睛】若 在给定区间上是单调函数，那么我们可以先求出单调区间的一般形式（实际上是无数个单调区间） ，其中必定存在一个区间，使得给定的区间是其子集，从而求得参数的取值范围解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且
13、 成等差数列。（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求 的值。【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：第一问需要利用条件确定出项与和的关系，之后类比着往前写，之后两式相减，求得相邻两项的关系，确定出数列为等比数列，之后应用等比数列的通项公式求得结果；第二问利用利用题中条件，求得 ，之后应用裂项相消法求和即可得结果.详解：（1）由题知 ，当 时， ；当 时， ，即 ，所以数列 为以 2 为公比的等比数列，所以数列 的通项公式为 ；（2）由 ，得 ，所以 ，所以点睛：该题属于数列的综合题，题中考查了数列的通项公式以及求和问题，在解题的过程中，需要明确对数列的项的关系的转化，利用等比数列的定义得结果
14、，在求和时，一定需要熟记裂项的规则，从而求得结果.18.如图，已知四边形 是直角梯形， ， ，且 ， 是等边三角形， ， 为 的中点（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值【答案】(1)见解析;(2) .【解析】分析: (1)先证明 平面 ,再证明 平面 .(2)利用空间向量法求二面角的余弦值详解：（1）证明：取 的中点为 ，连接 ， ，由题意知 ，可得四边形 为平行四边形，所以 由题可知， ， ，且 ， 平面 ， 面 ，所以 平面 ，又 平面 ， ， 为正三角形， ，又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 ， 平面 （2）解：由（1）可知 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 ，为正三角形
15、，因此取 的中点 为坐标原点，以 为 轴，在底面内过 作 的垂线为 轴， 为 轴，建立空间坐标系， ， ， ， ， ， ， ，则 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 即 可取 ，设二面角 的大小为 ，则 点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一是几何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.19.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，圆 经过椭圆 的两个焦点和两个顶点，点 在椭圆 上，且 ， .（）求椭圆 的方程和点 的坐标；（）过点 的直线 与圆
16、 相交于 、 两点，过点 与 垂直的直线 与椭圆 相交于另一点，求 的面积的取值范围.【答案】()椭圆 的方程为 ， 点 P 的坐标为 .() .【解析】分析：（ I）由题意计算可得 ， ， 则椭圆 的方程为 ， 结合几何性质可得点 P 的坐标为 . （ II）由题意可知直线 l2的斜率存在，设 l2的方程为 ，与椭圆方程联立可得， 由弦长公式可得 ； 结合几何关系和勾股定理可得 ， 则面积函数 ， 换元求解函数的值域可得 ABC 的面积的取值范围是 详解：（ I）设 ， ，可知圆 经过椭圆焦点和上下顶点，得 ，由题意知 ，得 ， 由 ，得 ， 所以椭圆 的方程为 ， 点 P 的坐标为 . （
17、 II）由过点 P 的直线 l2与椭圆 相交于两点，知直线 l2的斜率存在，设 l2的方程为 ，由题意可知 ，联立椭圆方程，得 ， 设 ，则 ，得 ，所以 ； 由直线 l1与 l2垂直，可设 l1的方程为 ，即圆心 到 l1的距离 ，又圆的半径 ，所以 ， 由 即 ，得 ， 设 ，则 ， ，当且仅当 即 时，取 “” ，所以 ABC 的面积的取值范围是 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式| AB| x1 x2 p，若不过焦点，则必须用一般
18、弦长公式20.2017 年 5 月， “一带一路”沿线的 20 国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购.2017 年末， “支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用.某商家统计前 5 名顾客扫描红包所得金额分别为 5.5 元，2.1 元，3.3 元，5.9 元，4.7 元，商家从这 5 名顾客中随机抽取 3 人赠送台历.（1）求获得台历的三人中至少有一人的红包超过 5 元的概率；（2）统计一周内每天使用支付宝付款的人数 与商家每天的净利润 元，得到 7 组数据，如表所示，并作出了散点图.（i）直接根据散点图判断， 与 哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.（ 的
19、值取整数）（ii）根据（i）的判断，建立 关于 的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到 35时，商家当天的净利润.参考数据：22.86 194.29 268.86 3484.29附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 .【答案】 （） ;（） （）见解析; （）见解析.【解析】【分析】（1）总的基本事件有 10 种，至少有 1 人的红包超过 5 元的有 9 种，利用古典概型的计算公式可求概率.（2）利用公式计算回归方程并预测相应的数据.【详解】 （）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过 5 元”为事件 ，5 名顾客中红包超过 5 元的两人分别记为 ，不足
20、 5 元的三人分别记为 ，从这 5 名顾客中随机抽取 3 人，共有抽取情况如下：共 10 种. 其中至少有一人的红包超过 5 元的是前 9 种情况，所以 . （） （）根据散点图可判断，选择 作为每天的净利润的回归方程类型比较适合. （）由最小二乘法求得系数，所以 所以 关于 的回归方程为 .当 时，商家当天的净利润 元，故使用支付宝付款的人数增加到 35 时，预计商家当天的净利润为 352 元.【点睛】古典概型的概率计算，关键是总的基本事件的个数和随机事件中基本事件个数的计算.可以用枚举法或排列组合的知识来计数.21.设函数 ，其中 为实常数，其图像与 轴交于 两点，且 .（I） 求 的取值
21、范围；（II）设 ，证明： .【答案】(1) 见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数导数后，通过分类讨论，分析函数单调性，结合函数零点个数，得出 a 的范围；（2）先计算 ，利用分析法证明结论.试题解析：(1) 若最多一个交点，与题意矛盾。若 ，所以又函数图像与 x 轴有两个交点，则 ，又 ，当 故 (2)由题可知所以要证 ，则只需要证，下面证明： ，令则上式可化简为 ， 则所以 ，而 ，所以故 ，即 .点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求
22、函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（）求曲线 的极坐标方程和 的直角坐标方程；（）直线 与曲线 分别交于第一象限内的 ， 两点，求 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把曲线 的参数方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程. 直接利用极坐标直角坐标互化公式将曲线 的极坐标方程化成直角坐标方程.（2）第（2）问，联立方程组求出 A、B 的极径，再求出|AB|.试题解析：（1）曲线 ，把 ， ，代入 ，得 ，化简得，曲线 的极坐标方程为曲线 的极坐标方程为所以曲线 的普通方程为 . （2）依题意可设所以 ， 即 ，所以 ，因为点 在一象限，所以 ，即 ， 所以 .
