1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ，可得 ，即 ，由 ，可得 ，即， ，故选 B.2. 设复数 ，且 为纯虚数，则 （ ）A. -1 B. 1 C. 2 D. -2【答案】D【解析】 为纯虚数，解得 ，故选 D.3. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为 1，靶中各图的半径依次加 1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7 环到 9 环）的概率是（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】A【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是，故选 A.4. 已知函数 满足 ，则函数 的图象在 处的切线斜率为（ ）A. 0 B. 9 C. 18 D. 27【答案】C【解析】令 ，则 ，即 ，则 ， ，根据导数的几何意义可得函数 的图象在 处的切线斜率为 ，故选 C.5. 已知 是双曲线 的一个焦点，点 到 的一条渐近线的距离为 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设一条渐近线方程为 ， ，则点 到 的一条渐近线的距离，则双曲线 的离心率 ，故选 C.6. 的展开式中， 的系数为（ ）A. 120 B.
3、 160 C. 100 D. 80【答案】A【解析】 ， 的展开式中含 的项为的展开式中含 的项为 的系数为 ，故选 A.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为
4、一个长方体截去了两个半圆柱而形成的，则该几何体的表面积为 ，故选 B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知曲线 ，则下列结论正确的是 （ ）A. 把 向左平移 个单位长度，得到的曲线关于原点对称B. 把 向右平移 个单位长度，得到的曲线关于 轴对称C. 把 向左平移 个单位长度，得到的曲线关于原点对称D. 把 向
5、右平移 个单位长度，得到的曲线关于 轴对称【答案】D【解析】对于选项 ，把 向右平移 个单位长度，得到 ，该函数为偶函数，其图象关于 轴对称，故选 D.9. 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100 项而设计的，那么在两个“ ”中，可以先
6、后填入（ ）A. 是偶数， B. 是奇数，C. 是偶数， D. 是奇数，【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以 ，奇数项是序号平方减 再除以 ，可知第一个框应该是“奇数” ，执行程序框图， 结束，所以第二个框应该填 ，故选 D.10. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，则的面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，可得 ，得，由余弦定理可得 ，解得 ，所以，从而 ，故选 C.11. 已知抛物线 为 轴负半轴上的动点， 为抛物线的切线， 分别为切点，则 的最小值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设切线 的方程为 ，代入抛物线方程得 ，由直
7、线与抛物线相切得 ， 时 ，根据导数的几何意义可得 则同理可得 ，将点 的坐标代入 ，得 ，故，当 时， 的最小值为 ，故选 A.12. 设函数 ，若互不相等的实数 满足 ，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】不妨设 ，由 ，得 ，结合图象可知， ，则 ，令 ，可知 在 上单调递减，故，则 ，故选 B.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关
8、系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量 的夹角为 30，则 _【答案】1【解析】因为单位向量 的夹角为 ，所以 ，故答案为 .14. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】2【解析】作出不等式组 表示的可行域，如图，由 可得 ，由图可知，当直线 过点 时， 取得最大值，此时 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求
9、”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知 ，则 _【答案】【解析】由 可得，故答案为 .16. 如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的正方形 的中心为 为圆 上的点， 分别是以 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起 ，使得 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为_【答案】【解析】如图，连结 交 于点 ，设 重合于点 ，正方形的边长为 ，则该四棱锥的侧面
10、积是底面积的 倍， ，解得 ，设该四棱锥的外接球的球心为 ，半径为 ，则 ， ， ，解得 ，外接球的体积 ，故答案为 .三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 已知公差不为零的等差数列 满足 ，且 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）设等差数列 的公差为 ，由 成等比数列，可得，化简得 ，又 ，所以 ，从而 .；（2）结合（1）可得 ，利用错位相减法
11、结合等比数列的求和公式求解即可.试题解析：（1）设等差数列 的公差为 ，因为 成等比数列，所以 ，即 ，化简得 ，又 ，所以 ，从而 .（2）因为 ，所以 ，所以 ，以上两个等式相减得 ，化简得 .【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解, 在写出“ ” 与“ ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式.18. “微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只
12、需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的 50 人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步 10000 以上男生人数/人1 2 7 15 5女性人数/人0 3 7 9 1规定：人一天行走的步数超过 8000 步时被系统评定为“积极性” ，否则为“懈怠性”.（1）以这 50 人这一天行走的步数的频率代替 1 人一天行走的步数发生的概率，记 表示随机抽取 3 人中被系统评为“积极性”的人数，求 和 的数学期望.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这 50 人中先抽取 10 人（男性 6
13、 人，女性 4 人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有 4 人， “懈怠性”的有 2 人，从中任意选取 3 人，记选到“积极性”的人数为 ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有 2 人，从中任意选取 2 人，记选到“积极性”的人数为 ；求 的概率.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）根据古典概型概率公式可得被系统评为“积极性”的概率为.故 ， 的数学期望 ；（2） “ ”包含“ ”， “ ”， “ ”， “ ”， “ ”， “ ”，分别根据独立事件的概率公式求出六个互斥事件的概率，然后求和即可得到 的概率.试题解析：（1）被系统评为“积极性”的概率为 .故 ，
14、的数学期望 ；（2） “ ”包含“ ”， “ ”， “ ”， “ ”， “ ”， “ ”， ， ， ， ，所以 .19. 如图，在直角梯形 中， ，且 分别为线段 的中点，沿 把 折起，使 ，得到如下的立体图形.（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由 ，结合 ，且 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 ；（2 ）过点 作 交 于点 ，连结 ，则 ，又 ，所以 平面 ，以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面 与平面 的一个法向量，根据空
15、间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）证明：由题可得 ，则 ，又 ，且 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 ；（2）解：过点 作 交 于点 ，连结 ，则 平面 ， ，又 ，所以 平面 ，易证 ，则 ，得 ，以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则.故 ，设 是平面 的法向量，则 ，令 ，得 ，设 是平面 的法向量，则 ，令 ，则 ，因为 ，所以二面角 的余弦值为 .【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角，以及面面垂直的证明，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，
16、求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆 的离心率为 ，且 过点 .（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 交于 两点（点 均在第一象限） ， 与 轴， 轴分别交于 两点，且满足 （其中 为坐标原点）.证明：直线 的斜率为定值.【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆 的离心率为 ，且 过点 ，结合性质 ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 、 ，即可得椭圆 的方程；（2）设直线 的方程为 ，点 的坐标分别为 ，由可得
17、 ，由 ，消去 ，根据韦达定理可得 ，进而可得结果.试题解析：（1）由题意可得 ，解得 ，故椭圆 的方程为 ；（2）由题意可知直线 的斜率存在且不为 0，故可设直线 的方程为 ，点 的坐标分别为 ，由 ，化简得 ， ，即 ，由 ，消去 得 ，则 ，且 ，故 ，因此 ，即 ，又 ，所以 ，又结合图象可知， ，所以直线 的斜率为定值.21. 已知函数 .（1）讨论 的导函数 零点的个数；（2）若函数 的最小值为 ，求 的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）先求出 ，则 至少存在一个零点，讨论 的范围，利用导数研究函数 的单调性，结合单调性与函数图象可得结果；（2）求出
18、 ，分五种情况讨论 的范围，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间，求得 的范围，可得函数 的减区间，利用函数的单调性，结合函数图象可排除不合题意的 的范围，筛选出符合题意的 的范围.试题解析：（1） ，令 ，故 在 上单调递增，则 ，因此，当 或 时， 只有一个零点；当 或 时， 有两个零点；（2）当 时， ，则函数 在 处取得最小值 ，当 时，则函数 在 上单调递增，则必存在正数 ，使得 ，若 ，则 ，函数 在 与 上单调递增，在 上单调递减，又 ，故不符合题意.若 ，则 ，函数 在 上单调递增，又 ，故不符合题意.若 ，则 ，设正数 ，则 ，与函数 的最小值为 矛盾，综上所述， ，即 .
19、（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 中，圆 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， .（1）求 的极坐标方程和 的平面直角坐标系方程；（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，求 的面积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）化圆的标准方程为一般方程，再把 代入一般方程得 的极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义以及直线的点斜式方程，可得 的直角坐标方程；（2）分别将 代入 ，得 ，根据极径与极角的几何意义，利用三
20、角形面积公式可得结果.试题解析：（1）因为圆 的普通方程为 ，把 代入方程得 ，所以 的极坐标方程为 ，的平面直角坐标系方程为 ；（2）分别将 代入 ，得 ，则 的面积为 .23. 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若存在 ，使得 和 互为相反数，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）对 分三种情况讨论，取掉绝对值符号，分别求解不等式组，然后求并集即可求得不等式 的解集；（2）存在 ，使得 成立，等价于 ，求得 ， ，根据交集的定义列不等式求解即可.试题解析：（1）由题意可得 ，当 时， ，得 ，无解；当 时， ，得 ，即 ；当 时， ，得 ，综上， 的解集为 .（2）因为存在 ，使得 成立，所以 ，又 ，由（1）可知 ，则 ，所以 ，解得 .故 的取值范围为 .
