1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点【选题明细表】知识点、方法 题号求函数的零点及零点区间 1,2,3,4,5,11判断函数零点个数 6,7,10函数零点的应用 8,9,12,13基础巩固1.函数 y=4x-2 的零点是( D )(A)2 (B)(-2,0) (C)( ,0) (D)解析:令 y=4x-2=0,得 x= .所以函数 y=4x-2 的零点为 .故选 D.2.函数 f(x)=lg(x-1)的零点是( C )(A)1 (B)(0,2) (C)2 (D)(2,0)解析:由 f(x)=0,即 lg(x-1)=0,解得 x=2.故选 C.3.下列图象表示的函
2、数中没有零点的是( A )解析:因为 B,C,D 项函数的图象均与 x 轴有交点,所以函数均有零点,A 项的图象与 x 轴没有交点,故函数没有零点,故选 A.4.函数 f(x)=x+log 2x 的零点所在区间为( A )(A) , (B) , (C)0, (D) ,1解析:因为 f( )= +log2 0,所以 f( )f( )0 时,f(x)在(0,+)上是增函数.又因为 f(2)=-2+ln 20,f(2)f(3)0)的解的个数是 . 解析:(数形结合法)因为 a0,所以 a2+11.而 y=|x2-2x|的图象如图所示,所以 y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点
3、.即方程|x 2-2x|=a2+1(a0)有两个解.答案:28.关于 x 的方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0 有两实根,且一个大于 4,一个小于 4,求 m 的取值范围.解:令 f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.依题意得 或即 或解得- 0,f(2) 0,则下列说法正确的是( C )(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
4、解析:根据零点存在性定理,由于 f(0)f(1)0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.故选 C.12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=x 2-2x.(1)求 f(x)的解析式,并画出 f(x)的图象;(2)设 g(x)=f(x)-k,利用图象讨论:当实数 k 为何值时,函数 g(x)有一个零点?两个零点?三个零点?解:(1)当 x0 时,f(x)=x 2-2x.设 x0,则 f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,因为函数 f(x)为奇函数,则 f(x)=-f(-x)=-x2-2x,所
5、以 f(x)= 函数的图象如图所示.(2)由 g(x)=f(x)-k=0,可得 f(x)=k,结合函数的图象可知,当 k1 时,y=k 与 y=f(x)的图象有一个交点,即 g(x)=f(x)-k 有一个零点;当 k=-1 或 k=1 时,y=k 与 y=f(x)的图象有两个交点,即 g(x)=f(x)-k 有两个零点;当-1k1 时,y=k 与 y=f(x)的图象有三个交点,即 g(x)=f(x)-k 有三个零点.探究创新13.(1)已知 f(x)= +m 是奇函数,求常数 m 的值;(2)画出函数 y=|3x-1|的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程|3 x-1|=k 无解?有一解?有两解?解:(1)因为 3x-10,所以 x0,故函数定义域为x|x0,因为 f(x)是奇函数,有 f(-1)=-f(1),得 +m=- -m,解得 m=1.(2)y=|3x-1|的图象如图所示,当 k0 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解;当 k=0 或 k1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;当 0k1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象有两个不同交点,所以方程有两解.
