1、专题能力训练 21 随机变量及其分布一、能力突破训练1.甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( )A. B.C. D.7102.已知随机变量 满足 P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若 0D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)3.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球(除颜色外其他完全相同), 每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于( )A.1012(38)10(58)2B.912(38)9(58)
2、238C.911(58)2(38)2D.911(38)10(58)24.已知某批零件的长度误差(单位 :毫米)服从正态分布 N(0,32),则从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量 服从正态分布 N(,2),则 P(-2 02数量 2 3 45 5 45每件利润 1 2 3 1.8 2.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件,求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的家电均能售出,记生产一件甲品牌家电的利润为 X1,生产一件乙品牌家电的利润为X2,分别求 X1,X2 的分布列;(3)该厂预计
3、今后这两种品牌家电销量相当,由于资金限制 ,只能生产其中一种品牌的家电.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的家电?说明理由.16.(2018 全国 ,理 20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为 p(0(1-p)2,410 610 p0.5, p=0.6(其中 p=0.4 舍去).6.0.5 解析 由分布列的性质 ,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,则 m=0.3.由 Y=
4、2,即|X-2|= 2,得 X=4 或 X=0,故 P(Y=2)=P(X=4 或 X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.7 解析 根据二项分布的均值、方差公式,得 解得 p=.13 ()=30,()=(1-)=20, 13.8.解 设事件 Ai 为“ 甲是 A 组的第 i 个人”, 事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人”,i=1,2,7.由题意可知 P(Ai)=P(Bi)= ,i=1,2,7.17(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人,或者第 6 人,或者第 7人”,所以甲的康复时间不少于 14 天的概率是 P(A5A
5、 6A 7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.(2)设事件 C 为“ 甲的康复时间比乙的康复时间长”, 由题意知 ,C=A4B1A 5B1A 6B1A 7B1A 5B2A 6B2A 7B2A 7B3 A6B6A 7B6.因此 P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049.(3)a=11 或 a=18.9.解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的事件为 M,则 P(M)=48510
6、=518.(2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4,则P(X=0)= ,56510=142P(X=1)= ,4614510=521P(X=2)= ,3624510=1021P(X=3)= ,2634510=521P(X=4)=1644510=142.因此 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 142 521 1021 521 142X 的数学期望是E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1 +2 +3 +4 =2.521102152114210.解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定” 的事件为 A,则 P(A)=564534=
7、12.(2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3.又 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= 1= ,所以 X 的分布列为16 5615=16 5645 23X 1 2 3P 16 16 23所以 E(X)=1 +2 +316 16 23=52.11.解 (1)个位数是 5 的“ 三位递增数” 有 125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 =84,随机变量 X 的取值为:0, -1,1,因此 P(X=0)=39,P(X=-1)= ,P(X=1)=1- 所以 X 的分布列为3839=232439=114 11423=1142.X 0 -1 1P 23 114 1142则 E(X)=0 +(-1) +123 1141142=421.二、思维提升训练12.C 解析 因为曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线,所以 P(-1E(X2),所以应生产甲品牌家电.16.解 (1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)= p2(1-p)18.220因此 f(p)= 2p(1-p)18-18p2(1-p)17=2 p(1-p)17(1-10p).220 220令 f(p)=0,得 p=0.1.当 p(0,0.1)时,f( p)0;当 p(0.1,1) 时,f (p)400,故应该对余下的产品作检验.
