1、专题对点练 14 数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题1.已知等比数列a n,a1=,公比 q=.(1)Sn 为a n的前 n 项和,证明:S n= ;1-2(2)设 bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列b n的通项公式.2.已知数列a n满足 a1=3,an+1= .3-1+1(1)证明:数列 是等差数列 ,并求a n的通项公式;1-1(2)令 bn=a1a2an,求数列 的前 n 项和 Sn.13.已知数列a n的前 n 项和 Sn=1+an,其中 0.(1)证明a n是等比数列,并求其通项公式;(2)若 S5= ,求 的值.31324.在数列a n中,设 f(n)
2、=an,且 f(n)满足 f(n+1)-2f(n)=2n(n N*),且 a1=1.(1)设 bn= ,证明数列b n为等差数列;2-1(2)求数列a n的前 n 项和 Sn.5.设数列a n的前 n 项和为 Sn,且(3-m )Sn+2man=m+3(nN *),其中 m 为常数,且 m-3.(1)求证:a n是等比数列 ;(2)若数列a n的公比 q=f(m),数列b n满足 b1=a1,bn=f(bn-1)(nN *,n2), 求证: 为等差数列,并求1bn.6.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=-2,且满足 Sn=an+1+n+1(nN *).(1)求数列a n的通项公式;(
3、2)若 bn=log3(-an+1),求数列 的前 n 项和 Tn,并求证 Tn.1+27.(2018 天津模拟)已知正项数列a n,a1=1,a2=2,前 n 项和为 Sn,且满足-2(n2,nN *).+1-1+-1+1=42+1-1(1)求数列a n的通项公式;(2)记 cn= ,数列c n的前 n 项和为 Tn,求证:T n.1+18.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=2,2Sn=(n+1)2an-n2an+1,数列b n满足 b1=1,bnbn+1= .2(1)求数列a n的通项公式;(2)是否存在正实数 ,使得b n为等比数列?并说明理由.专题对点练 14 答案1.(1)
4、证明 因为 an= ,Sn= ,13(13)-1=1313(1- 13)1-13 =1- 132所以 Sn= .1-2(2)解 bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=- .(+1)2所以b n的通项公式为 bn=- .(+1)22.解 (1) an+1= , an+1-1= -1= ,3-1+13-1+12(-1)+1 ,1+1-1= +12(-1)= 1-1+12 .1+1-1 1-1=12 a1=3, ,11-1=12 数列 是以为首项,为公差的等差数列, (n-1)= n, an= .1-1 1-1=12+12 +2(2) bn=a1a2an, bn= ,31
5、4253 -2+1-1+2 =(+1)(+2)2 =2 ,1= 2(+1)(+2) ( 1+1- 1+2) Sn=2 + =2 .(12 13+1314 1+1 1+2) (12- 1+2)= +23.解 (1)由题意得 a1=S1=1+a1,故 1,a1= ,a10.11-由 Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得 an+1=an+1-an,即 an+1(-1)=an.由 a10,0 得 an0,所以 .+1= -1因此a n是首项为 ,公比为 的等比数列,11- -1于是 an= .11-( -1)-1(2)由(1)得 Sn=1- .(-1)由 S5= 得 1- ,3132 ( -1)5
6、=3132即 .(-1)5=132解得 =-1.4.(1)证明 由已知得 an+1=2an+2n, bn+1= +1=bn+1,+12=2+22 =2-1 bn+1-bn=1.又 a1=1, b1=1, bn是首项为 1,公差为 1 的等差数列.(2)解 由(1)知,b n= =n,2-1 an=n2n-1. Sn=1+221+322+n2n-1,2Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n,两式相减得-S n=1+21+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n=(1-n)2n-1, Sn=(n-1)2n+1.5.证明 (1)由(3 -m)Sn+2man=m+3,得(3-m)S n+1+
7、2man+1=m+3,两式相减,得(3+m)a n+1=2man. m-3, ,+1=2+3 an是等比数列.(2)由(3-m)S n+2man=m+3,得(3-m)S 1+2ma1=m+3,即 a1=1, b1=1. 数列a n的公比 q=f(m)= ,2+3 当 n2 时,b n=f(bn-1)= ,32 2-1-1+3 bnbn-1+3bn=3bn-1, .1 1-1=13 是以 1 为首项,为公差的等差数列, =1+ .1 1 -13 =+23又 =1 也符合, bn= .11 3+26.(1)解 Sn=an+1+n+1(nN *), 当 n=1 时,-2=a 2+2,解得 a2=-8
8、.当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=an+1+n+1- ,(12+)即 an+1=3an-2,可得 an+1-1=3(an-1).当 n=1 时,a 2-1=3(a1-1)=-9, 数列a n-1是等比数列 ,首项为- 3,公比为 3. an-1=-3n,即 an=1-3n.(2)证明 bn=log3(-an+1)=n, .1+2=12(1- 1+2) Tn= +12(1-13) +(12-14)+(13-15). Tn.(1-1- 1+1)+(1- 1+2)=12(1+12 1+1 1+2)347.(1)解 由 -2(n2,nN *),得 +2Sn+1Sn-1+ =4 ,+1-1+-1+
9、1=42+1-1 2+1 2-1 2即(S n+1+Sn-1)2=(2Sn)2.由数列 an的各项均为正数,得 Sn+1+Sn-1=2Sn,所以数列S n为等差数列.由 a1=1,a2=2,得 S1=a1=1,S2=a1+a2=3,则数列S n的公差为 d=S2-S1=2,所以 Sn=1+(n-1)2=2n-1.当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-3)=2,而 a1=1 不适合上式,所以数列 an的通项公式为 an=1,=1,2,2.(2)证明 由(1)得 cn= ,1+1=1(2-1)(2+1)=12( 12-1- 12+1)则 Tn=c1+c2+c3+cn= + 1
10、-12(1-13) +(13-15)+(15 17) ( 12-1- 12+1)=12( .12+1)12又 Tn= 是关于 n 的增函数,则 TnT 1=,因此,T n.12(1- 12+1)8.解 (1)由 2Sn=(n+1)2an-n2an+1,得 2Sn-1=n2an-1-(n-1)2an, 2an=(n+1)2an-n2an+1-n2an-1+(n-1)2an, 2an=an+1+an-1, 数列a n为等差数列. 2S1=(1+1)2a1-a2, 4=8-a2. a2=4. d=a2-a1=4-2=2. an=2+2(n-1)=2n.(2) bnbn+1= =4n,b1=1,2 b2b1=4, b2=4, bn+1bn+2=4n+1, =4,+1+2+1 bn+2=4bn, b3=4b1=4.若b n为等比数列,则 =b3b1, 162=41, =.22故存在正实数 =,使得 bn为等比数列.
