1、,函数与方程,要点梳理 1.函数的零点 （1）函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使_成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.,f(x)=0,基础知识 自主学习,（2）几个等价关系方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与_有交点 函数y=f(x)有_. (3)函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_,那么函数y=f(x)在区间_内有零点,即存在c(a,b),使得_，这个_也就是f(x)=0的根.,f（a）f（b）0,(a，b),f(c)=0,c,x轴,零点,2.二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象
2、与零点的关系,(x1,0), (x2,0),(x1,0),无,一个,两个,3.二分法 （1）二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_,使区间的两个端点逐步逼近_,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_,给定精确度 ；第二步，求区间（a，b）的中点x1；,f(a)f(b)0,一分为二,零点,f(a)f(b)0,第三步，计算_： 若_，则x1就是函数的零点； 若_，则令b=x1 (此时零点x0(a,x1); 若_，则令a=x1 (此时零点x0(x1,b); 第四
3、步，判断是否达到精确度 ：即若|a-b| ,则 得到零点近似值a（或b）; 否则重复第二、三、四步.,f(x1),f(a)f(x1)0,f(x1)f(b)0,f(x1)=0,基础自测 1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的 零点是 （ ） A.0，2 B.0， C.0， D.2, 解析 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).令g(x)=0，得x=0,x= g（x）的零点为0，,C,2.函数f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则a的取值范围是 （ ）A. B.a1C. D. 解析 f(x)=3ax-
4、2a+1在-1，1上存在一个零点，则f(-1)f(1)0,即,D,3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公 共点横坐标的是 （ ） 解析 图B不存在包含公共点的闭区间a，b使函数f（a）f（b）0.,B,4.下列函数中在区间1,2上一定有零点的是（ ）A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=mx2-3x+6D.f(x)=ex+3x-6解析 对选项D，f（1）=e-30，f（1）f（2）0.,D,5.设函数 则函数f(x)- 的零点是_.解析 当x1时， 当x1时， (舍去大于1的根). 的零点为,题型一 零点的判断 【例1】判断下列函数在给定区间上是否存
5、在零点.(1)f（x）=x2-3x-18，x1，8；(2)f（x）=log2(x+2)-x，x1，3.第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 （1）方法一 f（1）=12-31-18=-200， f(1) f(8)0， 故f(x)=x2-3x-18,x1，8存在零点. 方法二 令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x1，8. (x-6)(x+3)=0， x=61，8,x=-31，8， f（x）=x2-3x-18，x1，8有零点.,(2)方法一 f（1）=log23-1log22-1=0,f(3)
6、=log25-3log28-3=0, f（1） f（3）0， 故f(x)=log2(x+2)-x,x1，3存在零点. 方法二 设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系 中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1x3时， 两图象有一个交点， 因此f(x)=log2(x+2)-x, x1，3存在零点. 函数的零点存在性问题常用的办法 有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得 说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是 必要条件.,探究提高,知能迁移1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f(x)=x3+1; （2） x（0，1）.解 （1）f(x)=x3+1=(x+1)
7、(x2-x+1),令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,x=-1,f(x)=x3+1有零点-1. （2）方法一 令f(x)=0，x=1, 而1 (0,1), x(0,1)不存在零点.,方法二 令 y=x,在同一平面直角坐标系中， 作出它们的图象,从图中可以看出当0x1时,两图象 没有交点.故 x(0，1)没有零点.,题型二 函数零点个数的判断 【例2】求函数y=ln x+2x-6的零点个数.该问题转化为求函数y=ln x与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.,思维启迪,解 在同一坐标系画出 y=ln x与y=6-2x的图象，由 图可知两图象只有一个交点, 故
8、函数y=ln x+2x-6只有一个 零点.若采用基本作图法，画出函数y=ln x+ 2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=ln x 与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.,探究提高,知能迁移2 已知函数 (a1),判断 f(x)=0的根的个数.解 设f1(x)=ax (a1),f2(x)=则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f1(x)=ax (a1)与f2(x)= 的图象(如图所示）.两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.,题型三 零点性质的应用 【例3】(12分
9、)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x0).(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.（1）可结合图象也可解方程求之. （2）利用图象求解.,思维启迪,解 （1）方法一 等号成立的条件是x=e. 故g(x)的值域是2e，+)， 4分 因而只需m2e，则 g(x)=m就有零点. 6分 方法二 作出 的图象如图：4分 可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e. 6分,方法三 解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根， 4分等价于 故m2e. 6分(2)若g(x)-f(x)=0有两
10、个相异的实根， 即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个 不同的交点，,作出 （x0）的图象. f（x）=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为x=e，开口向下， 最大值为m-1+e2. 10分 故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. m的取值范围是（-e2+2e+1,+). 12分,此类利用零点求参数的范围的问题，可 利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构 造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了 当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求 参数的
11、范围，一般采用数形结合法求解.,探究提高,知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+ (3a-2)x+a-1在区间-1,3上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由.解 =(3a-2)2-4(a-1)0若实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)0即可.f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)0.所以a 或a1.,检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1. 方程在-1,3上有两根，不合题意，故a1. (2)当f(3)=0时
12、，a= 解之得x= 或x=3. 方程在-1,3上有两根,不合题意,故a 综上所述,a1.,1.函数零点的判定常用的方法有：零点存在性定理；数形结合；解方程f（x）=0. 2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=f（x）-g（x）的零点. 3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,1.对于函数y=f(x)(xD),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点,注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实
13、数时,其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零点.(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.,失误与防范,2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在a,b上连续; (2)f(a)f(b)0; (3)在（a,b）内存在零点. 事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.,一、选择题 1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点 的区间是 （ ） A.0，1 B.1，2C.-2，-1 D.-1，0解析 f（-1）=3-1-(-1)2= f（0）=30-02=10，f（-1）f（0）0
14、，有零点的区间是-1，0.,D,定时检测,2.(2009天津理，4)设函数 (x0),则y=f(x) （ ）A.在区间 (1,e)内均有零点B.在区间 (1,e)内均无零点C.在区间 内有零点，在区间(1,e)内无零点D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点,解析 因为因此f(x)在 内无零点.因此f(x)在(1，e)内有零点. 答案 D,3.（2009福建文，11）若函数f（x）的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 （ ）A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1 D. 解析 g(x)=4x+2x-2在R上连续
15、且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则,又f(x)=4x-1零点为f(x)=(x-1)2零点为x=1;f(x)=ex-1零点为x=0;零点为 答案 A,4.方程|x2-2x|=a2+1(aR+)的解的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4解析 aR+，a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图，y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.方程有两解.,B,5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根，则k的取 值范围是 （ ）A. B. C. D. 解析 本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其次是直接求出所有的根.本
16、题显然考虑第一种方法.,如图，作出函数y=|x|(x-1)的 图象，由图象知当k 时， 函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的 交点，即方程有3个实根. 答案 A,6.设f(x)=x3+bx+c (b0)(-1x1),且则方程f(x)=0在-1,1内( ) A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根 D.没有实数根解析 f（x）=x3+bx+c （b0），f(x)=3x2+b0,f（x）在-1,1上为增函数, 又 f（x）在 内存在唯一零点.,C,二、填空题 7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是_.解析 g（x
17、）=-6x2-5x-1的零点为,8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式 af(-2x)0的解集是_.解析 f（x）=x2+ax+b的两个零点是-2，3. -2，3是方程x2+ax+b=0的两根，由根与系数的关系知f(x)=x2-x-6.不等式af(-2x)0，即-(4x2+2x-6)0 2x2+x-30,解集为,9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)= x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0有三个实根；当x1时，恰有一实根.则正确结论的编号为_.,解析 f（-2）=-2(-3)(-1)+0.01=-5.990，即f(-2)f(-
18、1)0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数 根,所以不正确. 又f(0.5)=0.5(-0.5)1.5+0.01=-0.3650,即f(0.5)f(1)0,所以f(x)=0. 在(0.5,1)上必有一个实根,且f(0)f（0.5）0,f（x）=0在（0，0.5）上也有一个实根. f（x）=0在（0，1）上有两个实根，不正确. 由f（1）0且f(x)在（1，+）上是增函数， f（x）0,f(x)=0在（1，+）上没有实根. 不正确.并且由此可知也正确. 答案 ,三、解答题 10.已知函数f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点，求 m的取值范围，并求出该零点.解 f（x）=4x+m2x
19、+1有且仅有一个零点，即方程(2x)2+m2x+1=0仅有一个实根.设2x=t (t0)，则t2+mt+1=0.当=0,即m2-4=0，m=-2时，t=1;m=2时，t=-1不合题意，舍去，2x=1，x=0符合题意.,当0，即m2或m-2时，t2+mt+1=0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点.这种情况不符合题意.综上可知：m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.,11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间0，2上 有解，求实数m的取值范围.解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x0，2，若f(x)=0在区间0，2上有一解，f（0）=10,则应有f(2)0,又
20、f（2）=22+（m-1）2+1,m,若f(x)=0在区间0,2上有两解,则由可知m-1.,12.已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间-1，1上有零点,求a的取值范围.解 （1）当a=0时，f(x)=2x-3.令2x-3=0,得x= -1，1f（x）在-1，1上无零点，故a0. （2）当a0时，f(x)=2ax2+2x-3-a的对称轴为,当 -1,即0 时，须使解得a1,a的取值范围是1，+).,（3）当a0时，当0 1,即a 时，须有又a a的取值范围是,当 1,即 a0时，须有 a的解集为 . 综上所述，a的取值范围是,返回,感谢参与，敬请指导 再见！,
