1、第四章 弹性力学问题的求解方法,7-1 弹性力学基本方程,1. 平衡微分方程方程,2. 几何方程,3. 物理方程,各种弹性常数之间的关系,4. 相容方程,求解物理量：6个应力分量6个应变分量3个位移分量,共15个未知量,用于求解的方程：平衡微分方程 3个几何方程 6个本构方程 6个,共15个方程,15个基本方程求解15个未知量，数学上有解。,协调方程是应变解的条件，保证变形前后物体连续。,微分方程求解过程需要积分，积分常数由边界条件确定。,5. 边界条件：,位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，z方向给定位移为 ，则,应力边界条件：给定表面上的面力为,弹性力学问题求解也称为弹性力学边
2、值问题求解,求解弹性力学问题有位移法、应力法和应力函数法三种方法。,1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平衡方程位移法控制方程,2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用应力表示应力控制方程,3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力函数表示应力函数表示的控制方程。,7-2 弹性力学求解方法,1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用相容方程。,力边界条件也可用位移表述。,位移控制方程指标表示：,3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位移未知数。结合边界条件，解上述方程，可
3、求出位移分量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。,2. 应力解法：将由应力表示的应变本构方程式代入协调方程式，得应力表示的协调方程（应力控制方程）。,3. 应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方程。由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制方程。,一、解的叠加原理,7-1 弹性力学解的性质,实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的弹性力学问题的解，一般更简单。通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加方法获得复
4、杂载荷的解的过程称为解的叠加原理。,叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单独作用时对应解的和。,说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非线性的，叠加原理也将失效。,二. 解的唯一性定理：,在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束
5、，则位移解也是唯一的。,无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。,三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。,提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。,提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。,利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹性力学的解题范围。,END,
