1、第三节 二维正态分布,数学与信息技术系,记为(X ,Y ),定义 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为,其中 是分布参数 这种分布叫做二维正态分布。,二维正态分布的分布曲面它的形状类似山岗，在点,达到最高峰，如下图所示,二维正态分布(X,Y)的概率密度函数f(x,y)满足:,性质,(2),(1) X与Y的边际概率密度函数分别为,其中,证明:,置换积分变量 ，得到,由于对称性，可知,因为,(2) X服从正态分布,所以,所以，由第四章第一、二节的知识可知，,Y也服从正态分布，且其期望为 ,标准差为,X服从正态分布，且其期望为 ,标准差为,下面计算二维正态分布的中X与Y的相关系数,相关系数公
2、式为,所以二维正态分布的中X与Y的相关系数R(X,Y),其中,化为累次积分，得到,其中,置换积分变量 ，得到,代入,得到,把r=0代入，得,证明, X与Y独立,“”,X和Y相互独立 (x,y) R2.有,对比两边 r=0,特别,取 代入上式有,即:,例1 设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分布，求它们的平方和Z=X2+Y2的概率密度,分析：要求 Z=X2+Y2的概率密度，必须事先知道二维随机变量(X,Y)的联合概率密度，如何获得？,注意到X与Y均服从正态分布且相互独立，从而可以获得二维随机变量(X,Y)的联合概率密度,解：,因为X与Y均服从标准正态分布且相互独立 所以，(X,Y)的联合概率密
3、度,这里,所以 FZ(z)=P(Zz)= P(X2+Y2z),下面分情况讨论,当z0时，显然， FZ(z)=0；当z0时，,所以 Z的分布函数为,由此Z的概率密度为,所得的分布称为自由度为2的,分布,例2 设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分布，求它们的平方和Z=X2+Y2的数学期望和方差,分析：求期望和方差的方法有哪些？,求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义求期望和方差 利用(X,Y)的联合密度，并应用随机变量函数的期望定义求期望和方差 利用随机变量和的期望以及方差性质,法1求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义求期望和方差. 在例1中求得了Z的概率密度,因此由随机变量的期望定义 可得,为计算Z的方差，先计算,可得,置换积分变量,现由公式 D(Z)=E(Z2)-E(Z)2可得,法2 利用(X,Y)的联合密度，并应用随机变量 函数的期望定义求定义和方差 . 由例1知(X,Y) 的联合概率密度,故由随机变量函数的期望定义,由极坐标变换公式可得,置换积分变量,同理,可得,由极坐标变换公式可得,置换积分变量,可得,由公式 D(Z)=E(Z2)-E(Z)2可得,法3 根据4.2例的结论利用随机变量和的期 望以及方差性质,因为X,Y均服从标准正态分布，所以由4.2例知,因为X和Y相互独立，所以X2，Y2也互相独立方差，从而,
