1、1,本章的重点：1逻辑代数的基本公式和常用公式。2逻辑代数的基本定理。3逻辑函数的各种表示方法。4逻辑函数的化简方法。5约束项、任意项、无关项的概论以及无关项在化简逻辑函数中的应用。6“最小项”和“任何一个逻辑函数式都有可以化为最小项之和形式”是两个非常重要的概念，在逻辑函数的化简和变换中经常用到。 本章的难点：稍微难理解一点的是约束、任意项、无关项这几个概念。,第一章 逻辑代数基础,2,第一节 概述,逻辑代数的产生：,1849年英国数学家乔治.布尔(George Boole)首先提出，用来描述客观事务逻辑关系的数学方法称为布尔代数。,后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称
2、为开关代数或逻辑代数。,逻辑代数中用字母表示变量逻辑变量，每个逻辑变量的取值只有两种可能0和1。它们也是逻辑代数中仅有的两个常数。0和1只表示两种不同的逻辑状态，不表示数量大小。,第一章 逻辑代数基础,3,数字量和模拟量 什么是数字电路? 要回答上述问题，则必须明确“数字”这个术语。自然界有各种各样的物理量，就其变化规律而言，只有两类：一类是模拟量，另一类是数字量。模拟量：随着时间的连续变化其值作连续变化的（时间上和物理量数值均连续变化)物理量叫模拟量。连续信号（模拟信号）：表示模拟量的信号。模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路 。 数字量：在时间上和数值上均是离散的物理量 。,4,数值总是发
3、生在一系列离散的瞬间，同时，其数值每次的增减变化都是某一个最小数量的整数倍。小于这个最小数量单位的数值没有任何物理意义。数字信号：表示数字量的信号叫数字信号。数字电路：是处理数字信号并能完成数字运算的电路（另一个定义见书）应当注意，数字电路不能直接处理模拟信号，必须转换成数字信号,所以A/D，D/A电路也划到数字电路的范围。,5,应当注意，数字电路不能直接处理模拟信号，必须转换成数字信号方可，所以A/D，D/A电路也划到数字电路的范围 。,f(t)t 模拟信号,6,f(t) Ts 2Ts 3Ts t 抽样信号,f(KT)数字信号T 2T 3T t,7,第二节 逻辑代数的三种基本运算,三种基本运
4、算是：与、或、非（反）。,1.与运算,可用开关图来说明：,该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件都满足时，事件才发生这就是与逻辑关系。,用1表示开关接通，1表示灯亮，可得如下真值表：,在函数式中，用. 表示与运算，记做,Y=A.B 或Y=AB,逻辑符号：,A,B,Y,只有输入全为1时，输出才为1,它们都有集成门电路与之对应。,8,2.或运算,该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件至少有一个满足时，事件就发生这就是或逻辑关系。,输入有一个为1时，输出就为1,在函数式中，用 表示或运算，记做,Y=AB,逻辑符号：,A,B,Y,真值表,9,3.非门,该图代表的逻辑关系是：决定事件的条件满足时，事
5、件不发生这就是非逻辑关系。,真值表,在函数式中，用_ 表示非运算，记做,逻辑符号：,A,Y,国外符号：,10,4.一些常用的复合逻辑运算,用两个以上基本运算构成的逻辑运算。包括与非、或非、与或非、异或和同或运算。和三个基本运算一样，它们都有集成门电路与之对应。,真值表：(除与或非运算外）,逻辑符号：,国外符号：,互为非逻辑关系,11,与或非逻辑,函数式形如：,逻辑符号：,A与B等于1，或者C与D等于1，Y等于0。,真值表：,异或的逻辑式：,同或的逻辑式：,12,第三节 逻辑代数的基本公式和常用公式,一、基本公式,关于常数之间的运算在真值表中已给出。下面的公式中都有变量：,0.A=0,1+A=1
6、,1.A=A,0+A=A,A.A=A,A+A=A,A.B=B.A,AB=BA,交换律,A.(B.C )=(A.B).C,结合律,A(BC)=(AB)+C,A.(B+C )=A.B+AC,ABC=(AB)(A+C),分配律,摩根定理,我们用真值表证明分配律的第二个公式：,还原律,互补律,重叠律,13,其他公式的证明请同学自己完成。,ABC=(AB)(A+C),14,二、若干常用公式,A + AB = A,证：左A(1+B)=A .1=A,吸收律1,吸收律2,冗余项定理,推论：,证：,摩根定理,15,第四节 逻辑代数的基本定理,一、代入定理,定理：在任何一个包含逻辑变量A的等式中，若以另外一个逻辑
7、式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。,B用C.D代入，有,上式说明摩根定理可推广到3个变量。当然也可推广到任意个变量。,二、反演定理,16,注意事项：,1.逻辑运算的优先顺序：括号，与，或, 异或。,2.多个变量上的非号的处理：可保持不变；也可用代入法处理。,例如：,则：,或者，令E=CD 代入上式,所以：,17,三、对偶定理,对偶式的定义：,Y=A(B+C) =A+BC,很明显Y 也是 的对偶式。,例如：,定义： 对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的 和交换，0和1交换，得到的结果就是Y的对偶式，记做 。,Z=AB+AC =(A+B)(A+C),对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也
8、相等。,在上面的例子中，根据分配律 Y=Z，再根据对偶定理有：,=,即 A+BC=(A+B)(A+C),这就从分配律的第一个公式直接推出第二个公式。,从对偶定理可看出，只要一个逻辑函数式的变量数不少于两个（含反变量），它就一定存在对偶式。,18,第五节 逻辑函数及其表示方法,事务间的因果关系是一种逻辑关系，可用逻辑函数表示。,如：前面介绍的灯与开关间的逻辑关系。,又如举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用A,B,C表示，其中A是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）时，运动员的试举才算成功。当用Y表示举重结果时，Y与A,B,C的逻辑关系可表示为：,Y=A(B+C),这就是一个逻辑函
9、数的例子。,一、逻辑函数,又如，三变量多数表决逻辑。也是逻辑函数的例子。,二、逻辑函数的表示方法,常用的有四种：,真值表；逻辑函数式；逻辑图；卡诺图。,19,本节介绍前三种，将卡诺图留在下节介绍。,1.真值表,举重裁判的真值表：,左侧是输入变量的所有取值，右侧是输出变量的值，即函数值。,当输入变量个数为n时，真值表共有2n行。,特点：,描述逻辑问题方便；,直观；,较繁琐。,2.函数式,举重裁判的函数式：Y=A(B+C),特点：,便于运算、化简；,便于画逻辑图；,不便从逻辑问题直接得到。,20,3.逻辑图,举重裁判函数的逻辑图：,特点：,便于用电路实现。,A,Y,B,C,4.各种表示方法间的相互
10、转换,真值表,函数式,逻辑图,黑箭头容易实现。篮箭头不能直接实现，可借助函数式实现。下面要重点介绍红箭头，即由真值表求函数式。,三、逻辑函数的两种标准形式,逻辑函数的两种标准形式分别是与或式和或与式，我们重点 介绍与或式。首先，介绍最小项和最大项。,Y=A(B+C),21,（一）最小项和最大项,我们只介绍最小项。最大项留给同学自己看。,1.最小项的定义：,在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的与项，且这些变量均以原变量或反变量的形式出现一次，则称m为该组变量的最小项。,以三变量为例，如表。,22,2.最小项的性质：,（1）对应输入变量的任何取值，都会有一个最小项，且仅有一个最小项的值为1；,
11、（2）全体最小项之和为1；,（3）任意两个最小项之积为0；,（4）两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项，且消去一对因子。,定义：如两个最小项只有一个变量不相同，则称之为逻辑相邻。,例：,下面要介绍的卡诺图就是利用最小项的这一性质化简逻辑函数的。,利用性质（1）可以从真值表求出逻辑函数的标准与或式。,关于最大项和逻辑函数的标准或与式留给同学自学。,23,（二）逻辑函数的最小项之和标准形式,操作方法：将函数值为1的行对应的最小项取出相加。,以举重裁判逻辑为例。Y=1对应m5、m6、m7三个最小项，固有：,简写成,Y=m5+m6+m7,或,Y=,或,将非标准形式化成标准形式：,Y=AB+AC,规律：
12、,少1个变量，化成2个最小项之和；,少2个变量，化成4个最小项之和；,少n个变量，化成2n个最小项之和。,24,第六节 逻辑函数的公式化简法,一、 逻辑函数式最简的标准,化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时节省器件。,逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等等。,AB+AC 与或式,两次取反,=A(B+C) 或与式,两次取反,与或式使用最多，因此我们只讨论与或式的最简标准：,1.包含的与项最少；,2.在满足1项的前提下，每个与项包含的变量个数最少。,25,二、化简方法,我们通过一些例子说明如何应用这些公式进行化简。,=AB,1式,=AC+ D,2式,3式
13、,4式,吸收法,消因子法,并项法,消项法,或,本例说明最简式不一定是唯一的。,26,A + AB = A,常用公式,1.,2.,3.,4.,5.,=ABC+ABC+ABC+ABC,函数式中的任一与项都可重复使用：,3式,=ABC+ABC+ABC+ABC,5式,注意：,1.当有长非号时，应先化简非号下的式子，然后脱掉非号。,2.要十分注意冗余项公式的应用。,27,第七节 逻辑函数的卡诺图化简法,一、逻辑函数的卡诺图表示法,（一）表示最小项的卡诺图,卡诺图是用来化简逻辑函数的。由英国工程师Karnaugh首先提出的。也称卡诺图为K图。,将真值表画成矩形表格。遵循的原则是逻辑相邻的最小项在卡诺图上对
14、应的小方格要几何位置相邻。,几何位置相邻：1.有公共边；2.位置对称。,画法：,m0,m1,m3,m2,二变量,m0,m1,m3,m2,m6,m7,m5,m4,ABC,三变量,循环码,28,四变量,m0,m1,m3,m2,m6,m7,m5,m4,m12,m13,m15,m14,m10,m11,m9,m8,D,A,五变量以上的卡诺图不作要求。,卡诺图上每个变量取1和取0的方格数各占总格数的一半。所以卡诺图还有另一种标法：,B,C,（二）用卡诺图表示逻辑函数,显然，只要在每个小方格里填上函数值（0或1）即可。,具体操作还要分两种情况：,第一种，已知逻辑函数的真值表；,第二种，已知逻辑函数的函数式；
15、,29,1.已知真值表,真值表和卡诺图有一一对应关系，可直接填。如举重裁判：,我们已知道它的真值表中包含5，6，7号三个最小项，故,由于函数值只有0，1两种取值，故可将0省略。,2.已知函数式,当已知最小项标准形式时，与1中情况相同。如Y=m5+m6+m7,当已知一般与或式时，可将其化成最小项标准形式。如：,Y=AB+AC,也可直接将每个与项填进卡诺图：,与项AB填入A、B都等于1的方格。,即6号和7号最小项。,与项AC填入A、C都等于1的方格。,即5号和7号最小项。,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,30,少1个变量的与项，在卡诺图上占2个相邻的小方格。,这说明：,我们在四变量卡诺
16、图上作进一步研究。,1,1,1,1,易证明AD所占的4个格组成正方形。,1,1,1,1,结论：,与项少k个变量，在卡诺图上占2k个的小方格，且组成矩形。,将这个结论反过来用于化简，就是合并最小项的规律。,31,二、用卡诺图化简逻辑函数,图形法,（一）合并最小项的规律,与项少k个变量，在卡诺图上占2k个的小方格，且组成矩形。,将：,反过来用：,在卡诺图上合并组成矩形的2k个小方格，得到的与项少k个变量。,红框合并2个最小项，对应与项ABC少1（k）个变量。,紫框合并8个最小项，对应与项A少3（k）个变量。,注意：,1.只能合并2k个小方格；,2.边上方格的相邻性。,32,1,1,1,1,1,1,
17、1,1,（二）卡诺图化简法,由于每个与项在卡诺图上对应1个函数值为1 的矩形区，因此可用一个“圈”（也称为矩形组）将其包围。,将 最简的原则与画圈对比：,1. 用最少的圈（矩形组）覆盖所有的1，1可以重复使用；,对应每个圈最大；,2. 与项中的变量最少,对应圈最少；,因此，化简的原则是：,1. 与项最少,2. 每一个圈（矩形组）覆盖2k个1，且k要取最大值；,逻辑函数的最简式有几个与项，就一定对应同样多的圈。,33,综上所述，化简的步骤是：,1.将逻辑函数化成与或式，然后画出其卡诺图；,2.按最简原则画出必要的圈；,3.求出每个圈对应的与项，然后相加。,举例说明：,卡诺图为：,1,1,1,1,
18、1,1,1,1,用三个圈覆盖：,最简与或式为：,1可重复使用,要圈两个1,当最简式不唯一时，画圈的方法也不唯一：,34,1,1,1,1,1,1,卡诺图如右;,圈黑圈，得：,Y=AB+BC+CA,圈篮圈，得：,冗余项公式在这个卡诺图上看得非常清楚。,Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m15,1,1,1,1,1,1,1,1,显然，紫圈是多余的。,避免画多余圈的方法：,1.画完圈后注意检查；,2.先圈只有一种方法可圈的1。,35,举两个例子：,1,1,1,1,36,第八节 具有无关项的逻辑函数及其化简,（一）无关项,无关项是约束项和任意项的总称。,1.约束项：是最
19、小项，若使该最小项的值为1的输入变量取值不允许输入，则称该最小项为约束项。,例如，四舍五入函数用A,B,C,D组成的四位二进制数表示1位十进制数，当该数大于4时输出为1。,真值表为：,10101111六个值不允许输入。将m10m15称为约束项。在真值表和卡诺图中都用 表示。,在函数式中约束项的表示方法：,m10+m11+m12+m13+m14+m15=0,也可用求和符号表示上式：,37,因此四舍五入函数可表示为,m10+m11+m12+m13+m14+m15=0,约束条件：,或,或,AB+AC=0,也可这样表示：,把这类逻辑函数称为有约束的逻辑函数。,2.任意项：是最小项，若使其值为1的变量取
20、值输入时，函数值可为0，也可为1，则称该最小项为任意项。,任意项很少遇到，这里不作讨论。,（二）约束项在化简中的应用,约束项对应的方格可填为0，也可填为1。,原则是将函数化到最简。,1,1,1,1,1,若将m8和m9改为0，则10，11，12号约束项就按0处理了。,38,举两个例子：,注意：有约束项时，一定要用卡诺图化简。不要用公式法，除非变量太多，无法用卡诺图化简。,Y(A,B,C,D)=m1+m7+m8,约束条件为,m3+m5+m9+m10+m12+m14+m15=0,1,1,1,1,1,1,1,约束条件为,AB+AC=0,请注意，被圈进去的约束项在方格中表示1，未圈进去的约束项表示0。,
