1、试验设计初步,在科学研究与生产实践当中，不可避免地要进行试验。例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗，特别是新产品试验，未知的东西很多，只有通过试验来模拟工艺条件或配方。如何做试验，其中大有学问。试验设计得好，会事半功倍，反之会事倍功半，甚至劳而无功。,【例】 在一个化工生产过程中，考虑影响产量的三个因素：温度（A）、时间（B）和加碱量（C）。为了便于试验的安排，每个因素要根据以往的经验来选择一个试验范围，然后在试验范围内跳出几个有代表性的值来进行试验，这些值称作该因素的水平。在该例中，我们选择的试验范围如下：温度（A）：77.592.5时间（B）：75min165min加碱量（
2、C）：4.5%7.5%,【例】 然后在上述范围内，每个因素各选三个水平，组成如下的因素水平表：,试验设计（design of experiment，DOE），也称为实验设计，它是以概率论和数理统计为理论基础，经济地、科学地安排试验的一项技术，以使收集的数据适合于用统计方法分析，得出有效的和客观的结论。,试验设计的作用,1. 提高产量；2. 减少质量的波动，提高产品质量水准；3. 缩短新产品试验周期；4. 降低成本；5. 延长产品寿命。,从20世纪30年代费希尔（R.A.Fisher）在农业生产中使用试验设计方法以来，试验设计方法已经得到广泛的发展，统计学家们发现了很多非常有效的试验设计技术。
3、20世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出，为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。,试验设计自20世纪30年代问世至今，其发展大致经历了三个阶段： 早期的单因素和多因素方差分析 传统的正交试验法 近代的优选设计法,试验设计的基本原理,重复 随机化 区组化,所谓重复，意思是基本试验的重复进行。重复有两条重要的性质： 第一，允许试验者得到试验误差的一个估计量。这个误差的估计量成为确定数据的观察误差是否是统计上的试验误差的基本度量单位。 第二，如果样本均值用作试验中一个因素的效应的估计量，则重复允许试验者求得这一效应的更为精确的估计量。,
4、所谓随机化，是指试验材料的分配和试验进行的次序，都是随机地确定的。统计方法要求观察值（或误差）是独立分布的随机变量。随机化通常能使这一假定有效。把试验进行适当的随机化亦有助于“均匀”可能出现的外来因素的效应。,所谓区组化，是用来提高试验精确度的一种方法。一个区组就是试验材料的一个部分，相比于试验材料全体它们本身的性质应该更为类似。区组化牵涉到在每个区组内部对感兴趣的试验条件进行比较。,试验设计的内容,第一，明确试验设计中的试验指标，也称为响应变量 (response variable）或输出变量，这个指标必须是能够量化的指标。 第二，寻找影响试验指标的可能因素(factor)，也称为影响因子和
5、输入变量。因素变化的各种状态称为水平，要求报据专业知识初步确定因子水平的范围。,第三，根据实际问题，选择适用的试验设计方法。 试验设计的方法有很多，每种方法都有不同的适用条件，选择了适用的方法就可以事半而功倍，选择的方法不正确或者根本没有进行有效的试验设计就会事倍而功半。 第四，科学地分析试验结果，包括对数据的直观分析、方差分析、回归分析等多种统计分析方法。,试验设计的各种方法,析因法 正交试验设计法 优选设计方法,一、析因法,析因法又称析因试验设计、析因试验，也叫做全因子实验设计。它是研究变动着的两个或多个因素效应的有效方法。许多试验要求考察两个或多个变动因素的效应。将所研究的因素按全部因素
6、的所有水平的一切组合逐次进行试验，称为析因试验，或称完全析因试验，简称析因法。,若在一项试验中有m个因素，它们各自有l1，l2，lm个水平，则全面试验至少需要进行多少次试验？,析因设计的最大优点是所获得的信息量很多，可以准确地估计各实验因素的主效应的大小，还可估计因素之间各级交互作用效应的大小； 析因设计的最大缺点是所需要的实验次数最多，因此耗费的人力、物力和时间也较多。当所考察的实验因素和水平较多时，研究者很难承受。,当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计(fractional factori
7、al designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。,试验设计与方差分析,完全随机化设计 (completely randomized design),“处理”被随机地指派给试验单元的一种设计 “处理”是指可控制的因素的各个水平 “试验单元(experiment unit)”是接受“处理”的对象或实体 在试验性研究中，感兴趣的变量是明确规定的，因此，研究中的一个或多个因素可以被控制，使得数据可以按照因素如何影响变量来获取 对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析,完全随机化设计 (例题分析),【例】一家种业开发股份公司研究出3个新的小麦品种：
8、品种1、品种2、品种3。为研究不同品种对产量的影响，需要选择一些地块，在每个地块种上不同品种的小麦，然后获得产量数据进行分析。这一过程就是试验设计的过程 这里的“小麦品种”就是试验因子或因素，品种1、品种2、品种3就是因子的3个不同水平，称为处理 假定选取3个面积相同的地块，这里的“地块”就是接受处理的对象或实体，称为试验单元 将每个品种随机地指派给其中的一个地块，这一过程就是随机化设计过程,完全随机化设计 (例题分析),试验数据： 单因素方差分析,完全随机化设计 (例题分析),方差分析：,随机化区组设计,随机化区组设计 (randomized block design),先按一定规则将试验单
9、元划分为若干同质组，称为“区组(block)” 再将各种处理随机地指派给各个区组 比如在上面的例子中，首先根据土壤的好坏分成几个区组，假定分成4个区组：区组1、区组2、区组3、区组4，每个区组中有三个地块 在每个区组内的3个地块以抽签的方式决定所种的小麦品种 分组后再将每个品种（处理）随机地指派给每一个区组的设计就是随机化区组设计 试验数据采用无重复双因素方差分析,随机化区组设计 (例题分析),试验数据： 无重复双因素方差分析,随机化区组设计 (例题分析),方差分析：,因子设计,因子设计 (factorial design),感兴趣的因素有两个 如：小麦品种和施肥方式 假定有甲、乙两种施肥方式
10、，这样3个小麦品种和两种施肥方式的搭配共有32=6种。如果我们选择30个地块进行实验，每一种搭配可以做5次试验，也就是每个品种(处理)的样本容量为5，即相当于每个品种(处理)重复做了5次试验 考虑两个因素(可推广到多个因素)的搭配试验设计称为因子设计 该设计主要用于分析两个因素及其交互作用对试验结果的影响 试验数据采用可重复双因素方差分析,因子设计 (例题分析),试验数据： 可重复双因素方差分析,因子设计 (例题分析),方差分析：,二、正交试验设计,正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分
11、有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。,考虑进行一个三因素、每个因素有三个水平的试验。如果作全面试验，需作33 = 27次。,若从27次试验中选取一部分试验，常将A和B分别固定在A1和B1水平上，与C的三个水平进行搭配，A1B1C1,A1B1C2,A1B1C3。 作完这3次试验后，若A1B1C3最优，则取定C3这个水平，让A1和C3固定，再分别与B因素的三个水平搭配，A1B1C3,A1B2C3,A1B3C3。 这3次试验作完以后，若A1
12、B2C3最优，取定B2,C3这两个水平，再作两次试验A2B2C3,A3B2C3,然后与A1B2C3一起比较，若A3B2C3最优，则可断言A3B2C3是我们欲选取的最佳水平组合。这样仅作了7次试验就选出了最佳水平组合。 我们发现，这些试验结果都分布在立方体的一角，代表性较差，所以按上述方法选出的试验水平组合并不是真正的最佳组合。,如果进行正交试验设计，利用正交表安排试验，对于三因素三水平的试验来说，需要作9次试验，用“”表示，标在图中。如果每个平面都表示一个水平，共有九个平面，可以看到每个平面上都有三个“”点，立方体的每条直线上都有一个“”点，并且这些“”点是均衡地分布着，因此这9次试验的代表性
13、很强，能较全面地反映出全面试验的结果，这就是正交实验设计所特有的均衡分散性。我们正是利用这一特性来合理的设计和安排试验，以便通过尽可能少的试验次数，找出最佳水平组合。,正交表 正交表是一整套规则的设计表格， L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。正交表的构造需要用到组合数学和概率学知识，而且如果正交表类型不同，则构造方法差异很大，甚至有些正交表其构造方法到目前还未解决。,一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表 根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2， Sj 组成，这些数码均各出现n/Sj
14、次，,正交表的性质,每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。,任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列(同一横行内)有序对子共有4种： (1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。每种对数出现次数相等。在三水平情况下，任何两列(同一横行内)有序对共有9种，1.1、1.2、 1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每对出现数也均相等。,以上两点充分的体现了正交表的两大优越性，即“均
15、匀分散性，整齐可比”。通俗的说，每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。正交表的获得有专门的算法，对应用者来说，不必深究。,交互作用表每一张正交表后都附有相应的交互作用表，它是专门用来安排交互作用试验。安排交互作用的试验时，是将两个因素的交互作用当作一个新的因素，占用一列，为交互作用列。,正交实验设计的过程1) 确定试验因素及水平数;2) 选用合适的正交表;3) 列出试验方案及试验结果;4) 对正交试验设计结果进行分析，包括极差分析和方差分析;5) 确定最优或较优因素水平组合。,表头设计是正交设计的关键，它承担着将各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任务，因此一个
16、表头设计就是一个设计方案。,表头设计的主要步骤如下,(1)确定列数根据试验目的，选择处理因素与不可忽略的交互作用，明确其共有多少个数，如果对研究中的某些问题尚不太了解，列可多一些，但一般不宜过多。当每个试验号无重复，只有1个试验数据时，可设2个或多个空白列，作为计算误差项之用。,(2)确定各因素的水平数 根据研究目的，一般二水平(有、无)可作因素筛选用；也可适用于试验次数少、分批进行的研究。三水平可观察变化趋势，选择最佳搭配；多水平能以一次满足试验要求。,(3)选定正交表 根据确定的列数（c）与水平数(t)选择相应的正交表。例如观察5个因素8个一级交互作用，留两个空白列，且每个因素取2水平，则
17、适宜选L16(215)表。,(4)表头安排正交试验设计的关键在与试验因素的安排。通常，在不考虑交互作用的情况下，可以自由的将各个因素安排在正交表的各列，只要不在同一列安排两个因素即可（否则会出现混杂）。因素所在列是随意的，但是一旦安排完成，试验方案即确定，之后的试验以及后续分析将根据这以安排进行，不能再改变。但是当要考虑交互作用时，就会受到一定的限制，如果任意安排，将会导致交互效应与其它效应混杂的情况。,(4)表头安排应优先考虑交互作用不可忽略的处理因素，按照不可混杂的原则，将它们及交互作用首先在表头排妥，而后再将剩余各因素任意安排在各列上。例如某项目考察4个因素A、B、C、D及AB交互作用，
18、各因素均为2水平，现选取L8(27)表，由于AB两因素需要观察其交互作用，故将二者优先安排在第1、2列，根据交互作用表查得AB应排在第3列，于是C排在第4列，由于AC交互在第5列，BC交互作用在第6列，虽然未考查AC与BC，为避免混杂之嫌，D就排在第7列,(5)组织实施方案根据选定正交表中各因素占有列的水平数列，构成实施方案表，按实验号依次进行，共作n次实验，每次实验按表中横行的各水平组合进行。例如L9(34) 因此整个设计过程我们可用一句话归纳为：“因素顺序上列、水平对号入座，实验横着作”。,正交拉丁方试验设计,定义1. 方阵A的每一行每一列都是集合1，2，n的全排列，则称A是一个n阶拉丁方
19、。,定义2. 两个n阶拉丁方在同一位置上的数依次配置成对时，如果这两个有序数对恰好各不相同，则称这两个矩阵为正交拉丁阵。 定义3. 设A1，Ak 是 k 个 n 阶拉丁方，若它们两两正交，则称它们是一个正交拉丁方组。 已经证明，除2、6阶外，其他阶拉丁方都存在正交拉丁方。6阶的正交拉丁方源自于1782年欧拉提出的三十六军官问题。,有1，2，3，4，5，6六个兵团，每个兵团中选出A、B、C、D、E、F六种军衔的军官各一名，问能否把这36名军官列成一个方阵，使每行每列的六名军官均来自不同兵团且有不同的军衔？,例：设一种新药，需要进行试验，以确定各种成分的最优剂量，记A，B，C，D为四种成分或称因素，每种成分都取三种剂量来试验，欲找到一种满意的配方。 如果所有的组合都试验，需要34=81次，而采用正交拉丁方，仅作9次试验即可。,三、均匀设计,参考书： 方开泰 均匀设计与均匀设计表 科学出版社,
