1、例 1 求极限（1） ， nn2cos2coslim解 时，极限为 1；0时（ 充分大时， ） ，原式 。0in sin2ilmn（2） n)1(li2解 先求，1)(lim)l(im22nnn所以原式= e另法 利用 12（3） xxli0解 因为 ，即有11xx1当 时， ，由夹挤准则得 ，0xxlim0x同理 ，故原极限为 1。1lim0x（4） xcosli0解 先求 ，21)(coslimln0xx原极限为 。2/1e（5） .xelim解 原式 exexex 1limli lnln)lnimlli(li exexex 2（6） .230coscos1limxx解 分子为 )3cos
2、ln12lep(lnxx ,)3cos21s(lx原式 220 csl1llimxxx 2220 3ocos1cslix.3练习（1） （答案 ）)sin(talimxn321x（2） （答案 ）xexxxsilsin0 e（3） （答案 ）20cossco1li nxx )1(4n（4） （答案 ）xxesin10)(lim2 1e（5） （答案 ）131()(linxx） !n（6） （提示和差化积，极限为 0）)sisilx（7）设 ， ，求 。)1,(0a1,2nan nna21lim（提示：令 ，则 。 ）,cos0nncos例 2 设 ， ，求Rx1,sixn xli解 考虑 ，分
3、三个情形：1,si1（1）若 ，极限为 0.0x（2）若 ，则 ，易得 ，故数列单调递减112sinx1,sin1xn有下界，极限存在。对 两边求极限得 ，从而 。1sinxlsin0l（3） 时，同理求得 。01x0l综上极限为 0.例 3 设 ，且baya,11)(21nnnn yxx证明 。nlimyli分析 问题中的递推公式互相关联，且平均值不等式（几何平均与算术平均）可用，考虑单调有界准则。证 由于 ，且0,nnyxxyn,)(211xnnn1 ,)()(nyyy可知 为单调增加数列， 为单调减少数列，且 故数列nxn byxan,nx极限都存在，设极限分别为 ，对 两边取极限得yB
4、A,ynn),(21，故2/)(BA。注 此题变化为： ，且bayax,0,11xnnn,211则 。nxlimyli例 4 求下列函数的间断点并判断类型：（1）. （2）. xfsin)() 1)()xef解 （1）无定义的点 为整数.k,因为 ，所以 是跳跃间断点；)0(,)(ff 0x因为 所以 是可去间断点；,)sin(lm)(li xxf x时， 是第二类间断点。1,0kk思考：间断点将实轴分成子区间，函数在哪个子区间上有界？（2）无定义的点 及 .因为1x0,)(lim/)(li10xxxef故 是 的无穷间断点.又由于0x)(f xefxx 1)1li/因 fxx)(lim/)(
5、1因故 是 的跳跃间断点.1xf例 5 设函数 在闭区间 上连续， 。证明存在 ，使得)(xf1,0)1(0f0x1,。31()00fxf证 令 ， ，则由条件知 在 上连续，设)3()xfxg2x)(xg32,其最小值与最大值为 。则Mm,gg)32(1)0(3又直接计算得知 112()()(0)()()1033fff故由连续函数的介值定理，在区间 内 必能取到值 0。亦即存在 ，2,xgx,使得 。)31()00xff同型练习题：设函数 在闭区间 上连续， 。证明存在 ，(f1,0)1(f0x1,使得 。1),()00nxff例 6 设函数 在实轴上连续，且 。证明 ，使 。)(xf xf
6、)(ccf)(（用反证法）例 7 设 在 连续，且 ： ，证明： 时， 是)(xf10x)(2xf0x)(xf常数。证 对任 ， .令 ，利用0x )()() 2141nxfxff 及连续性条件得，12nx，即 恒等于 .)1(lim()(li)(221fxfxff nnn )(xf)1(f同型练习题：设 在 连续，且 ，证明： 是常数。f02fxf例 8 设 为常数，若不等式nia,21xaxsisin1对所有 成立,证明Rx。121na例 9 设 在 内连续，且任给 ，有)(f),Ryx,(yfxy试证 为线性函数 ，其中 。)(xf af)()1(f证 显然 ， ，即 为奇函数。0x又 ，)1(1()kffk，即 。( nnf )1(fnf从而 ，故对有理数 都有 。)()()fmf xxf任给 ，存在有理数数列 ，利用 的连续性，得x,n)(。xffxffnn 1)(li)(li)li() 注 此题条件改为 在 处可导，且任给 ，有)(xf0Ryx,(yyf则证法改变为，)0()(lim)(lim)( 00 fyfyxffxf yy 记 为 ，从而 ，由 得 。fabaf)()(f axfb,
