1、习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间 ( 1)1 1 ( ) | 0nij n n iiiV A a a , 对矩阵加法和数乘运算; ( 2) 2 | , n n TV A A R A A , 对 矩阵加法和数乘运算; ( 3) 33VR ;对 3R 中向量加法和如下定义的数乘向量: 3 , , 0R k R k ; ( 4) 4 ( ) | ( ) 0V f x f x,通常的函数加法与数乘运算。 解: ( 1)、( 2)为 R 上线性空间 ( 3)不是,由线性空间定义,对 0有 1 = ,而题( 3)中 10 ( 4)不是 ,若 k0,则 ( ) 0kf x ,数
2、乘不满足封闭性。 2.求线性空间 | n n TV A R A A 的维数和一组基。 解: 一组基 1 0 0 0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 0. . . . . . . . . . . . . . . .0 0 1 0 0 1 0 dimW=n(n+1)/2 3.如果 U1和 U2都是线性空间 V 的子空间,若 dimU1=dimU2,而且 12UU ,证明: U1=U2。 证明 :因为 dimU1=dimU2,故设 12, , , r 为空间 U1的一组基, 12, , , r 为空间 U2的一组基 2U ,有 12 r X 而 1 2 1 2rr
3、 C , C 为过渡矩阵 , 且可逆 于是 11 2 1 2 1 2 1r r rX C X Y U 由此,得 21UU 又 由题设 12UU , 证得 U1=U2。 4.设 1 1 12 1 3315A,讨论向量 (2,3,4)T 是否在 R(A)中。 解: 构造增广矩阵 1 1 1 | 2 1 1 1 | 2| 2 1 3 | 3 0 1 1 | 13 1 5 | 4 0 0 0 | 0A 矩阵 A 与 其增广 矩阵秩相同,向量 可由矩阵 A 的 3 个列向量线性表示, 在列空间 R(A)中。 5. 讨 论 线 性 空 间 P4x 中向量 321 1P x x x , 322 23P x
4、x x ,323 4 5 2P x x x 的线性相关性。 解: 231 2 31 0 21 3 5(1 )1 1 11 2 4P P P x x x 而 1 0 2 1 0 21 3 5 0 1 11 1 1 0 0 01 2 4 0 0 0 ,该矩阵秩为 2 所以向量组 P1,P2,P3线性相关。 6.设 mnAR ,证明 dimR(A)+dimN(A)=n。 证明: 12( ) , , , nR A L A A A , ( ) | 0 , nN X A X X R 假定 dimR(A)=r,且设 12, , , rA A A 为 R(A)的一组基 则存在 12, , , ( 1, , )
5、i i rik k k i r n , 其中 12, , ,i i rik k k 不全为零 使 1 1 2 2 0 ( 1 , , )i i r i r ik A k A k A A i r n 显然 1 , 1 1 , 2 1 ,2 , 1 2 , 2 2 , 1 , 2 ,()1 0 00100 0 1r r nr r nr r r r r nk k kk k kk k kNA 上述 n-r 个向量线性无关,而 1 2 1, , , ,1, 0, 0 Tsk k k , sr 不为 N(A)中的向量,否则与12, , , rA A A 线性无关矛盾 ,故 dimN(A)=n-r 所以 d
6、imR(A)+dimN(A)=n 7.设 1 1 3 02 1 2 11 1 5 2A ,求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。 解: 通过矩阵的行初等变换 将矩阵 A 化为行阶梯形 1 1 3 0 1 1 3 02 1 2 1 0 1 4 11 1 5 2 0 0 0 0A 矩阵 A 的秩为 2, 从 A 中选取 1、 2 列(线性无关)作为 R(A)的基,于是 ( ) 1 2 1 , 1 1 1TTR A L 由 0AX , 1 2 3 4( , , , )TX x x x x , rank(A)=2,有 1 2 32 3 434x x xx x x 分别取 341, 0xx和
7、 340, 1xx,求得齐次方程 0AX 解空间的一组基 1 4 1 0 , 1 1 0 1TT 所以 A 的零空间为 ( ) 1 4 1 0 , 1 1 0 1TTN A L 8.在 22R 中,已知两组基 1 1000E ,2 0100E ,3 0010E ,4 0001E 1 0111G ,2 1011G ,3 1101G ,4 1110G 求基 Ei到基 Gi的过渡矩阵,并求矩阵 0123在基 Gi下的坐标 X。 解: 41 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , iG G G G E E E E C C C C C R 由此,得 过渡矩阵 0 1 1 11 0 1 11 1
8、0 11 1 1 0C 再由 1 2 3 40 1 0 1 1 0 1 1 1 12 3 1 1 1 1 0 1 1 0x x x x 解得 0 1 2 3TX 9.判别下列集合是否构成子空间。 ( 1) 2 2 21 ( , , ) | 1 , , , W x y z x y z x y z R ; ( 2) 22 | , nnW A A I A R ; ( 3) 3R 中, 23 1 2 3 1 2 30 ( , , ) | ( 0 tW x x x x x x d ; ( 4)4 11 ( ) | 0 mnij m n ijijW A a a 。 解: ( 1)不是 3R 子空间,对加法
9、及数乘运算不封闭 。如取 k=2, (1 0 0)T , (2 0 0)Tk ,而 2 2 2 41x y z , 1kW 。 ( 2)不是子空间,因为 W2中没有零元。 ( 3) 、( 4)为子空间。 10. 设 1 (1,2,1,0)T , 2 ( 1,1,1,1)T , 1 (2, 1,0,1)T , 2 (1, 1,3,7)T ,1 1 2 , W span , 2 1 2 , W span ,求 12WW 和 12WW 。 解: 设 12WW,则 1 1 2 2xx 且 3 1 4 2xx 于是,有 1 1 2 2 3 1 4 20x x x x 即 12341 1 2 1 02 1
10、 1 1 01 1 0 3 00 1 1 7 0xxxx 而 1 1 2 1 1 1 2 12 1 1 1 0 1 1 71 1 0 3 0 0 1 30 1 1 7 0 0 0 0A 取 4 1x ,得 1 2 3 41 , 4 , 3 , 1x x x x 所以 1 2 1 2 1 21 4 3W W L L 由于 rank(A)=3 则 1 2 1 2 1,W W L 11.在矩阵空间 22R 中,子空间 121 1 2 3 434 | 0 xxV A x x x xxx , 2 1 2 , V L B B ,其中 1 1023B , 2 0201B ,求 ( 1) V1的基和维数; (
11、 2) 12VV 和 12VV 的维数。 解: ( 1) 1V 中 , 1 2 2 3 4 22 3 43 4 3 41 1 1 0 1 00 0 1 0 0 1x x x x x xA x x xx x x x 令1 2 31 1 1 0 1 0,0 0 1 0 0 1A A A ,可验证 A1, A2, A3 线性无关 ,它们构成空间V1的一组基,空间 V1 的维数 dimV1=3。 ( 2) 2 1 2 , V L B B 中, B1与 B2线性无关,它们是 V2的一组基 ,故 dimV2=2,而 V1+V2 = LA1,A2,A3 + LB1,B2 = L A1,A2,A3,B1,B2
12、 在 22R 的标准基 E11, E12, E21, E22下, A1,A2,A3,B1,B2对应的坐标 X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵 1 2 3 4 51 1 1 1 0 1 1 1 1 01 0 0 0 2 0 1 1 1 20 1 0 2 0 0 0 1 3 20 0 1 3 1 0 0 0 0 1X X X X X 于是 dim(V1+V2)=4,由维数定理 1 2 1 2 1 2d i m ( ) d i m d i m d i m ( ) 3 2 4 1V V V V V V 12.设 1W 和 2W 为 nV 的子空间,1 1 2 1 ( , , , ) | 0 nTni
13、iW x x x x , 2 1 2 1 2 ( , , , ) | TnnW x x x x x x ,证明 12nV W W。 证明: 对 W1,由 12 0nx x x ,解得 1 1 2 11 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1T T TnX k k k 显然 W1的维数 dimW1=n-1,而向量组 1 2 11 1 0 0 0 , 1 0 1 0 0 , 1 0 0 0 1T T Tn 为 W1的一组基。 对 W2,由 12 nx x x ,解得 2 1 1 1 1 1TXk W2的基为 1 1 1 1 1 T , dimW2=1 于是 1 2 1 2 1 1
14、2 1, , , , , , ,nnW W L L L 这里 1 2 11 1 1 11 0 0 1d e t( , , , , ) 00 1 0 10 0 1 1n 所以 1 2 1, , , ,n 为 W1+W2 的基,则 dim (W1+W2)=n ,由 维 数 定 理 可 知12dim( ) 0WW,故有 12nV W W 13. nR 中, 12( , , , )Tn , 12( , , , )Tn ,判别下面定义的实数 ( , ) 是否为内积。 ( 1)1( , )niii ; ( 2)1( , )niii i ; ( 3) ( , ) T A ,其中 A 为正定矩阵。 解: (
15、1)不是 nR 上的内积。设 1 1 2 Tna a a , 2 1 2 Tna a a 12 Tnb b b 于是 1 2 1 21 1 1 1, ( ) ( , , )n n n ni i i i i i i i i i ii i i ia a b a b a b a b a b 内积的线性性不满足。 ( 2)与( 3)是 nR 上的内积 。 可验证对称性、线性性及正定 性 都满足。 13. 设 1 2 5 , , , 是 V5 的标准正交基,又 1 1 5 , 2 1 3 4 ,3 1 2 32 ,求 1 2 3 , , WL 的标准正交基。 解: W 的标准正交基 1 1 11 0 0
16、 0 1 , 1 0 2 2 1 , 1 1 1 0 122 1 0T T T 14.在欧氏空间 R4中,求子空间 (1,1 , 1,1 ) , (1, 1, 1,1 ) TTWL 的正交补子空间 W 。 解: 设 1 2 3 4 TX x x x x W 令 12(1 1 1 1 ) , (1 1 1 1 )TT 由 12,XX 得 1 2 3 41 2 3 400x x x xx x x x 解得 1100,1001X 所以 1 0 1 0 , 1 0 0 1TTWL 15.判断下列变换哪些是线性变换 ( 1) R2中, 21 2 1 2( , ) ( 1, )TTT x x x x; (
17、 2) R3中, 1 2 3 1 2 1 2 3( , , ) ( , , 2 )TTT x x x x x x x x ; ( 3) nnR 中, A 为给定 n 阶方阵, nnXR , ()T X AX A; ( 4) 22R 中, ()T A A , A 为 A 的伴随矩阵。 解: ( 1)不是,该 变换为非线性变换 设 1 1 2 Txx , 2 1 2 Tyy 则 2221 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) ( )TTTTT T x y x y x y x y x x y y T T ( 2)是线性变换 ( 3)不是
18、,因有 00T ( 4) 是线性变换 1 2 1 2 223 4 3 4,a a b bA B Ra a b b 而 1 1 2 2 4 4 2 2 4 2 4 2*3 3 4 4 3 3 1 1 3 1 3 1( ) ( ) ( )a b a b a b a b a a b bT A B T A B T A T Ba b a b a b a b a a b b 1 2 4 2 4 2 *3 4 3 1 3 1( ) ( )k a k a k a k a a aT k A T k k A k T Ak a k a k a k a a a 16.设 R3 中,线性变换 T 为: iiT , i=
19、1,2,3,其中 1 (1,0, 1)T , 2 (2,1,1)T ,3 (1,1,1)T , 1 (0,1,1)T , 2 ( 1,1,0)T , 3 (1,2,1)T ,求 ( 1) T 在基 1 2 3 , , 下的矩阵; ( 2) T 在标准正交基下的矩阵。 解: ( 1) 由 1 2 3 1 2 3TA 及 1 2 3 1 2 3T 得 1 2 3 1 2 3A 于是 111 2 3 1 2 31 2 1 0 1 1 0 1 10 1 1 1 1 2 1 3 21 1 1 1 0 1 2 4 4A ( 2) 3R 中标准基正交基 1 2 31 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1T
20、 T Te e e 由 1 2 3 1 2 3T e e e e e e A , 1, 2,3iiTi 得 1 1 2 3 1 2 3 1 12 1 2 3 1 2 3 2 23 1 2 3 1 2 3 3 31 0 12 1 1111TTTT T e e e e e e AT T e e e e e e AT T e e e e e e A 因为 1 2 3 3e e e I 故有 1 2 3 1 2 3A 于是 111 2 3 1 2 30 1 1 1 2 1 2 5 21 1 2 0 1 1 1 5 21 0 1 1 1 1 1 4 2A 17.设线性变换 43RR ,有 1 2 3 4
21、 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4( , , , ) ( , 2 , 3 )TTT x x x x x x x x x x x x x x x ,求 N(T)和 R(T)。 解: 由 1 2 3 4 | ( ) 0 , ( , , , ) TN T X T X X x x x x ,得下述齐次方程组 1 2 3 41 2 41 2 3 402030x x x xx x xx x x x 解得 2 3 1 4 TXk 所以 2 3 1 4 TN T X = k 由 1 2 3 4 | ( ) , ( , , , ) TR T Y Y T X X x x x x ,得 1 2 3 41
22、2 4 1 2 3 41 2 3 41 1 1 12 1 2 0 13 1 1 3 1x x x xY x x x x x x xx x x x 故有 1 2 3 41 1 1 1( ) 1 2 0 11 1 3 1R T k k k k 或1 2 31 1 1( ) 1 2 01 1 3R T k k k 18.在欧氏空间 Rn中,设有两组基 12, , , n 与 12, , , n ,满足关系式 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn P , nnPR 证明:( 1)若 12, , , n 与 12, , , n 都是标准正交基,则 P 是正交阵; ( 2)若 12,
23、, , n 是标准正交组, P 是正交阵,则 12, , , n 是标准正交组。 证明: ( 1) 将矩阵 P 按列分块,有 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) , , ,n n np p p 其中 12 , 1 , 2 , ,i n ip i n 于是 11 1, 0,TT T Ti j i j i n n j i j ijp p p p ij 故矩阵 P 为正交矩阵。 ( 2)与( 1)证明过程类似,可证明 12, , , n 是标准正交基。 习题二 1.设 A、 B 为 n 阶方阵, 12, , , n 是 A 的特征值,证明 ( 1) tr(AB)=tr(BA
24、); ( 2)1()nkkiitr A ; ( 3)若 1P AP B ,则1( ) ( )niitr A tr B 。 证明: ( 1)设 ij nnAa, ij nnBb,则 1 1 1 1 ()n n n nij ji ji iji j j itr A B a b b a tr B A ( 2)因为 i i iAX X , 22i i i i i iA X A A X A X X , , kki i iA X X 故 12, , ,k k kn 为 kA 的特征值,于是 1()nkkiitr A ( 3)由结论( 1),得 1 1 1( ) ( ) ( )t r B t r P A P
25、t r P A P t r A P P t r A 2.设 n阶方阵 ()ij n nAa ,且1 1nijj a , i=1,2,n,证明 A的每一个特征值 的绝对值 1 。 证明: 设有 AX X , 12 TnX x x x ,并设 12m a xknx x x x 对 AX X 中第 k 个方程 1nk kj jjx a x 于是 11nnk kj j kj jjjx a x a x 即有 111nnjkj kjjjkxaax 3.设三阶方阵 1 1 143 3 5A x y的二重特征值 2 对应有两个线性无关特征向量, ( 1)求 x 与 y ; ( 2)求 P ,使 1P AP 。
26、 解: ( 1)因齐次方程 20I A X的解空间维数为 2,则矩阵 2IA 的秩为 1 而 1 1 1 1 1 12 2 0 23 3 3 0 0 0I A x y x x y 因 21rank I A 故 有 2, 2xy 。 ( 2) 1 1 12 4 23 3 5A A 的 特征 多项式 226IA 特征值 122, 3 6 由 20I A X,求得特征向量 121 1 0 , 1 0 1TT 由 60I A X,求得特征向量 3 1 2 3 T 于是 1 1 11 0 20 1 3P 且有 12000 2 00 0 6P AP 4.设 1a 与 2a 是 nnA 的两个不同特征值,且
27、有 12( ) ( )r a I A r a I A n 证明矩阵 A 可对角化。 证明: 设 12( ) , ( )r a n k a I A r r a n k a I A n r 对于 1( ) 0a I A X有 n - r 个线性无关特征向量 对于 2( ) 0a I A X有 r 个线性无关特征向量 于是矩阵 A 有 n 个线性无关特征向量,所以矩阵 A 可对角化。 5.设 3R 中, 31 2 3( , , )Tx x x R ,线性变换 T 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( 2 2 , 2 2 , 2 2 )TTT x x x x x x x x
28、 x x x x 求一组基,使 T 在此基下的矩阵为对角阵,并求出此对角阵。 解: 取 3R 中的一组标准基 1 2 3, ,则 有 1 1 1 2 3 11 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 23 3 1 2 3 32 2 1 2 2( ) 2 2 2 1 22 2 2 2 1x x x x x xT T x A x x x x xx x x x x x 得线性变换 T 在基 1 2 3, 下的矩阵 1 2 22 1 22 2 1AA 的特征多项式 215IA 特征值 121 , 3 5 由 0I A X ,解得特征向量 121 1 0 , 1 0 1TT 由 50I A X,解得特征
29、向量 3 111T 于是 1 2 31 1 11 0 10 1 1P , 1 15P AP 矩阵 P 为 从基 1 2 3, 到所求基 1 2 3, 的过渡矩阵,于是 1 2 3 1 2 31 1 11 0 10 1 1P 线性变换 T 在基 1 2 3, 下的矩阵为 1 15。 6.求可逆矩阵 P 及 J,使 1P AP J ,其中 2 1 12 1 21 1 2A 解: A 的特征多项式 3( 1)IA 特征值为 1 2 3 1 再由 1231 1 1 02 2 2 01 1 1 0xI A X xx 解得特征 子空间 1V 的一组基 121 1 0 , 0 1 1TT 特征向量 1 1
30、2 2 1 1 2 2 Tk k k k k k 由 2123kI A k kk 得增广矩阵 121 2 2 12 1 21 1 1 1 1 12 2 2 0 0 01 1 1 0 0 0kkk k k kk k k 若方程组 IA有解(相容, ( ) |ra n k I A ra n k I A ),则有 k1=k2。 取 k1 = k2 = 1,得 1 2 1 T 由 1 2 1 TIA 解得广义特征向量 1 0 0 T 取 11111 2 00 1 0P 则有 11111P A P J7.设 22 , , , x x x xW L e xe x e e 为函数向量 22, , ,x x
31、x xe xe x e e生成的 4维空间, T为导数变换, ( 1)求 T 在基 22, , ,x x x xe xe x e e下的矩阵; ( 2)找一组基,使 T 在此基下为 Jordan 标准形。 解: ( 1) dT dx ,于是 2 2 2 2 2 21 1 0 00 1 2 0220 0 1 00 0 0 2x x x x x x x x x x x x x xT e x e x e e e e x e x e x e e e x e x e e T 在基 22, , ,x x x xe xe x e e下的矩阵 1 1 0 00 1 2 00 0 1 00 0 0 2A ( 2
32、) 11 1 0 00 1 1 00 0 1 00 0 0 2P A P ,1 0 0 00 1 0 010 0 020 0 0 1P 2 2 21 2 3 4 12x x x x x x x x xe x e x e e P e x e x e e 线性变换 T 在基 1 2 3 4, , , 下的矩阵为1 1 0 00 1 1 00 0 1 00 0 0 28.在多项式空间 nPx中, T 为是 nPx的一个导数变换,证明 T 在任一基下的矩阵不可对角化。 证明: dT dx ,于是 2 1 2 1 2 2 1010 0 21 1 0 1 2 ( 1 ) 1 00100n n n ndT
33、x x x x x x x n x x x xdx n 010 0 200100An矩阵 A 的特征值为 12 0n 而 ( ) 1rank A n,故 A 仅有一个特征向量,所以 A 不可对角化。 9.设 2 1 12 1 21 1 2A ,求 100A 。 解: 由题( 6),有 11111P AP , 1111 2 00 1 0P, 1 0 1 20 0 11 1 1P 于是 11 111A P P ,1001 0 0 11001111A P P 取 100g 1001 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 1 0 01 1 (1 ) 1ggg g 于是 100 1 0 1 1 0 0 1
34、 0 02 0 0 1 9 9 2 0 01 0 0 1 0 0 1 0 1A 10.设 A 为 n 阶方阵,证明: ( 1)若 2 0A A I ,则 A 可对角化; ( 2)若 kAI , k 为大于 1 的整整数,则 A 可对角化。 证明: ( 1) 因为 2 0A A I , 则 A 的化零多项式 2( ) 2 2 1 无重根, A 的最小化零多项式可整除任意 A 的化零多项式,故 A 的最小多项式无重根,于是A 可对角化。 ( 2)因为 kAI ,得 A 的化零多项式 ( ) 1k 即 12( ) 1 ( 1 ) ( 1 )k k k 而 ( ) 0 无重根,于是 A 的最小多项式无重根,所以矩阵 A 可对角化。 习题三 1.设 2 1 24 4 66 7 8A( 1)求 A 的 LDV 分解; ( 2)设 (1 0 2)Tb ,用 LDV 分解求解方程组 AX=b。 解: ( 1) 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 0 0| 4 4 6 0 1 0 0 2 2 2 1 0 0 2 2 2 1 06 7 8 0 0 1 0 4 2 3 0 1 0 0 2 1 2 1AI 令 , 1 0 02 1 01 2 1P,则 2 1 20 2 2