2018-2019版高中数学 全一册试题（打包18套）新人教A版选修4-5.zip

1模块综合测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分)1.若 abc,则 的值( )1𝑏-𝑐‒ 1𝑎-𝑐A.大于 0B.小于 0C.小于或等于 0D.大于或等于 0解析 因为 abc,所以 a-cb-c0.所以 ,所以 0,故选 A.1𝑎-𝑐2}解析 令 f(x)=|x+3|+|x-2|= 则 f(x)的图象如图,由图可知, f(x)0,y0,z0),则 P与 3的大小关系是( )𝑥1+𝑥+ 𝑦1+𝑦+ 𝑧1+𝑧A.P≤3 B.P3解析 因为 1+x0,1+y0,1+z0,所以 =3,即 Pa的解集为 M,且 2∉M,则 a的取值范围为 ( )|𝑎𝑥-1𝑥 |A. B.(14,+∞) [14,+∞)C. D.(0,12) (0,12]解析 由已知 2∉M,可得 2∈∁ RM,于是有 ≤ a,即 -a≤ ≤ a,解得 a≥ ,故应选 B.|2𝑎-12 | 2𝑎-12 14答案 B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第 n层楼,上、下楼造成的不满意度为 n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第 n层楼时,环境不满意程度为 ,则此人应选( )9𝑛A.1楼 B.2楼C.3楼 D.4楼解析 设第 n层总的不满意程度为 f(n),则 f(n)=n+ ≥2 =2×3=6,当且仅当 n= ,即 n=3时等号成9𝑛 9 9𝑛立 .答案 C6.若关于 x的不等式 |x-1|+|x-3|≤ a2-2a-1在 R上的解集为⌀,则实数 a的取值范围是( )A.a3B.a3C.-10,b0,𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶若 A,B,C三点共线,则 的最小值为 ( )1𝑎+2𝑏A.4 B.6 C.8 D.9解析 =(a-1,1), =(-b-1,2),𝐴𝐵 𝐴𝐶∵A ,B,C三点共线, ∴ 2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得 2a+b=1.又 a0,b0,则 =(2a+b) =4+ ≥4 +2 =8,当且仅当 b=2a= 时,等号成立 .1𝑎+2𝑏 (1𝑎+2𝑏) 𝑏𝑎+4𝑎𝑏 𝑏𝑎×4𝑎𝑏 12故选 C.4答案 C10.用反证法证明“△ ABC的三边长 a,b,c的倒数成等差数列,求证 By,求证 2x+ ≥2 y+3.1𝑥2-2𝑥𝑦+𝑦2证明 因为 x0,y0,x-y0,所以 2x+ -2y=2(x-y)+1𝑥2-2𝑥𝑦+𝑦2 1(𝑥-𝑦)2=(x-y)+(x-y)+1(𝑥-𝑦)2≥3 =33(𝑥-𝑦)2 1(𝑥-𝑦)2 ( 当且仅当 𝑥-𝑦=,1𝑥-𝑦时,等号成立 )所以 2x+ ≥2 y+3.1𝑥2-2𝑥𝑦+𝑦218.(本小题满分 12分)已知 m1,且关于 x的不等式 m-|x-2|≥1 的解集为[0,4] .(1)求 m的值;(2)若 a,b均为正实数,且满足 a+b=m,求 a2+b2的最小值 .解 (1)∵m 1,不等式 m-|x-2|≥1 可化为 |x-2|≤ m-1,∴ 1-m≤ x-2≤ m-1,即 3-m≤ x≤ m+1.∵ 其解集为[0,4],∴ 解得 m=3.{3-𝑚=0,𝑚+1=4,6(2)由(1)知 a+b=3.(方法一:利用基本不等式)∵ (a+b)2=a2+b2+2ab≤( a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a 2+b2≥ ,92(当且仅当 𝑎=𝑏=32时,等号成立 )∴a 2+b2的最小值为 .92(方法二:利用柯西不等式)∵ (a2+b2)·(12+12)≥( a×1+b×1)2=(a+b)2=9,∴a 2+b2≥ ,92(当且仅当 𝑎=𝑏=32时,等号成立 )∴a 2+b2的最小值为 .92(方法三:消元法求二次函数的最值)∵a+b= 3,∴b= 3-a.∴a 2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2 ,(𝑎-32)2+92≥92∴a 2+b2的最小值为 .9219.(本小题满分 12分)用数学归纳法证明: n!(n1,n∈N +).(n!=n×(n-1)×…×2×1)(𝑛+12 )𝑛证明 (1)当 n=2时, 2!=2,不等式成立 .(2+12 )2=(32)2=94(2)假设当 n=k(k≥2)时不等式成立,即 k!.(𝑘+12 )𝑘当 n=k+1时, [(𝑘+1)+12 ]𝑘+1=(𝑘+12 +12)𝑘+1= +…+ (k+1)·𝐶0𝑘+1(𝑘+12 )𝑘+1+𝐶1𝑘+1(𝑘+12 )𝑘·12 𝐶𝑘+1𝑘+1(12)𝑘+1(𝑘+12 )𝑘+1+12 (𝑘+12 )𝑘=(k+1)· (k+1)·k!=(k+1)!,(𝑘+12 )𝑘所以当 n=k+1时不等式成立 .由(1)(2)可知,对 n1的一切自然数,不等式成立 .20.(本小题满分 12分)已知 x+y0,且 xy≠0 .(1)求证: x3+y3≥ x2y+y2x;7(2)如果 恒成立,试求实数 m的取值范围 .𝑥𝑦2+𝑦𝑥2≥𝑚2(1𝑥+1𝑦)(1)证明 因为 x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且 x+y0,(x-y)2≥0,所以 x3+y3-(x2y+y2x)≥0,故 x3+y3≥ x2y+y2x.(2)解 ① 若 xy-6.② 若 xy0,则 等价于 .𝑥𝑦2+𝑦𝑥2≥𝑚2(1𝑥+1𝑦) 𝑚2≤𝑥3+𝑦3𝑥𝑦(𝑥+𝑦)=𝑥2-𝑥𝑦+𝑦2𝑥𝑦因为 =1,即 ≥1(当且仅当 x=y时,等号成立),故 m≤2 .𝑥2-𝑥𝑦+𝑦2𝑥𝑦 ≥2𝑥𝑦-𝑥𝑦𝑥𝑦 𝑥3+𝑦3𝑥𝑦(𝑥+𝑦)综上所述,实数 m的取值范围是( -6,2].21. 导学号 26394075(本小题满分 12分)设函数 f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式 f(x)≥2;(2)当 x∈R,0 0,=2m-10,1𝑎2+4𝑏2+9𝑐2∴m ≥5,即实数 m的取值范围是[5, +∞ ).11.不等式的基本性质课后篇巩固探究A 组1.(2017 广东深圳一模)已知 ab0,cbc B.acbcC.loga(a-c)logb(b-c) D.𝑎𝑎-𝑐 𝑏𝑏-𝑐解析 ∵c 0.又 ab0,∴a-cb-c 0,ac0.𝑎𝑎-𝑐‒ 𝑏𝑏-𝑐=𝑎𝑏-𝑎𝑐-𝑎𝑏+𝑏𝑐(𝑎-𝑐)(𝑏-𝑐) = 𝑐(𝑏-𝑎)(𝑎-𝑐)(𝑏-𝑐)即 .𝑎𝑎-𝑐 𝑏𝑏-𝑐答案 D2.(2017 广东潮州二模)若 ab,则下列各式正确的是( )A.a·lg xb·lg x B.ax2bx2C.a2b2 D.a·2xb·2x解析 由 ab,当 lg x≤0 时, a·lg xb·lg x 不成立,故 A 错误 .当 x=0 时, ax2=bx2,故 B 错误 .若 a=0,b=-1,则 a20,∴a ·2xb·2x,故 D 正确 .答案 D23.若角 α ,β 满足 - 1,b11𝑎1𝑏 𝑏𝑎C.a2b2 D.ab1,b0,b-10,∴aa 2.∴a 2bc0,若 x= ,y= ,z= ,则 x,y,z 之间的大小关系是 𝑎2+(𝑏+𝑐)2 𝑏2+(𝑐+𝑎)2 𝑐2+(𝑎+𝑏)2.(从小到大) 解析 因为 x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)0,q0,前 n 项和为 Sn,试比较的大小 .𝑆3𝑎3与𝑆5𝑎54解 当 q=1 时, =3, =5,所以 .𝑆3𝑎3𝑆5𝑎5𝑆3𝑎30,且 q≠1 时,𝑆3𝑎3‒𝑆5𝑎5=𝑎1(1-𝑞3)𝑎1𝑞2(1-𝑞)‒𝑎1(1-𝑞5)𝑎1𝑞4(1-𝑞)= 1,则( )A.logac1,则 1,logcx 在定义域上单调递增 .故 alogc 1𝑏 1𝑏 1𝑎答案 D2.已知 a,b∈R,则下列条件中能使 ab 成立的必要不充分条件是( )A.ab-1 B.ab+1C.|a||b| D.3a3b5解析 因为 ab⇒ab-1,但 ab-1 ab,所以“ ab-1”是“ ab”的必要不充分条件;“ ab+1”是“ab”的充分不必要条件;“ |a||b|”是“ ab”的既不充分也不必要条件;“3 a3b”是“ ab”的充要条件 .答案 A3. 导学号 26394001 已知实数 a,b,c 满足 b+c=3a2-4a+6,c-b=a2-4a+4,则 a,b,c 的大小关系是( )A.c≥ ba B.ac≥ b C.cba D.acb解析 由 c-b=a2-4a+4=(a-2)2≥0 易知 c≥ b,又由已知可解得 b=a2+1a,所以 c≥ ba.答案 A4.若 a,b∈R,且 a2b2+a2+52ab+4a,则 a,b 应满足的条件是 . 解析 原不等式可化为( ab-1)2+(a-2)20,则 a≠2 或 b≠ .12答案 a≠2 或 b≠125.设 x5,P= ,Q= ,试比较 P 与 Q 的大小关系 .𝑥-4‒𝑥-5 𝑥-2‒𝑥-3解 因为 P= ,Q= ,𝑥-4‒𝑥-5= 1𝑥-4+𝑥-5 𝑥-2‒𝑥-3= 1𝑥-2+𝑥-3又 ,所以 Q 0,b=sin θ+ cos θ 0.(0,𝜋6)因为 =2sin θ ,𝑎𝑏=2𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃 =2𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃又 θ ∈ ,所以 sin θ ∈ ,2sin θ ∈(0,1),(0,𝜋6) (0,12)6即 0 1,故 ab.𝑎𝑏12.基本不等式课后篇巩固探究A组1.下列结论正确的是( )A.若 3a+3b≥2 ,则 a0,b03𝑎·3𝑏B.若 ≥2,则 a0,b0𝑏𝑎+𝑎𝑏C.若 a0,b0,且 a+b=4,则 ≤11𝑎+1𝑏D.若 ab0,则𝑎𝑏≥2𝑎𝑏𝑎+𝑏解析 当 a,b∈R 时,则 3a0,3b0,所以 3a+3b≥2 (当且仅当 a=b时,等号成立),故选项 A错误 .要3𝑎·3𝑏使 ≥2 成立,只要 0, 0即可,这时只要 a,b同号,故选项 B错误 .当 a0,b0,且 a+b=4时,则𝑏𝑎+𝑎𝑏 𝑏𝑎 𝑎𝑏.因为 ab≤ =4,所以 ≥1(当且仅当 a=b=2时,等号成立),故选项 C错误 .当1𝑎+1𝑏=4𝑎𝑏 (𝑎+𝑏2 )2 1𝑎+1𝑏=4𝑎𝑏a0,b0时, a+b≥2 ,所以 .而当 a0𝑎𝑏2𝑎𝑏𝑎+𝑏≤2𝑎𝑏2𝑎𝑏=𝑎𝑏 𝑎𝑏≥2𝑎𝑏𝑎+𝑏时,一定有 (当且仅当 a=b,且 a,b0时,等号成立),故选项 D正确 .𝑎𝑏≥2𝑎𝑏𝑎+𝑏答案 D22.若 a0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 的最小值是( )1𝑥+13𝑦A.2 B.2 C.4 D.22 3解析 ∵ lg 2x+lg 8y=lg 2,∴ lg(2x·8y)=lg 2,∴ 2x+3y=2,∴x+ 3y=1.∵x 0,y0,∴ =(x+3y)1𝑥+13𝑦 (1𝑥+13𝑦)=2+ ≥2 +2 =4,3𝑦𝑥+𝑥3𝑦 3𝑦𝑥·𝑥3𝑦当且仅当 x=3y= 时,等号成立 .故选 C.12答案 C4.函数 f(x)=x+ -1的值域是 ( )4𝑥A.(-∞ ,-3]∪[5, +∞ ) B.[3,+∞ )C.(-∞ ,-5]∪[3, +∞ ) D.(-∞ ,-4]∪[4, +∞ )3解析 当 x0时, x+ -1≥2 -1=3(当且仅当 x=2时,等号成立);当 x0,b0)过点(1,2),则 2a+b的最小值为 . 𝑥𝑎+𝑦𝑏解析 ∵ 直线 =1过点(1,2), ∴ =1.𝑥𝑎+𝑦𝑏 1𝑎+2𝑏∵a 0,b0,∴ 2a+b=(2a+b) =4+ ≥4 +2 =8.(1𝑎+2𝑏) (𝑏𝑎+4𝑎𝑏) 𝑏𝑎·4𝑎𝑏当且仅当 b=2a时“ =”成立 .答案 87.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600吨,每次购买 x吨,运费为 6万元 /次,一年的总存储费用为 4x万元 .要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x的值是 . 解析 一年的总运费与总存储费用之和为 4x+ ×6=4 ≥4 ×2 =240,当且仅当 x= ,600𝑥 (𝑥+900𝑥)900900𝑥即 x=30时等号成立 .答案 308.已知 x1,y1,且 xy=1 000,求 lg x·lg y的最大值 .解 因为 x1,y1,所以 lg x0,lg y0,所以 lg x·lg y≤ (𝑙𝑔𝑥+𝑙𝑔𝑦2 )2=(𝑙𝑔𝑥𝑦2)24= ,(𝑙𝑔1 0002 )2=(32)2=94当且仅当 lg x=lg y,即 x=y时,等号成立,故 lg x·lg y的最大值等于 .949.已知 x0,y0,x+y=1,求证 ≥9 .(1+1𝑥)(1+1𝑦)证明 左边 =(1+1𝑥)(1+1𝑦)=(1+𝑥+𝑦𝑥 )(1+𝑥+𝑦𝑦 )= =5+2 ≥5 +4=9,(2+𝑦𝑥)(2+𝑥𝑦) (𝑦𝑥+𝑥𝑦)当且仅当 ,即 x=y= 时,等号成立,所以 ≥9 .𝑦𝑥=𝑥𝑦 12 (1+1𝑥)(1+1𝑦)10.某单位建造一间地面面积为 12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度 x不得超过 5米 .房屋正面的造价为 400元 /平方米,房屋侧面的造价为 150元 /平方米,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元 .如果墙高为 3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?解 设侧面的长度为 x米(0 t2 B.t1h· =h· ,ℎ𝑣1+ℎ𝑣2 𝑣1+𝑣2𝑣1𝑣2 2𝑣1𝑣2𝑣1𝑣2 2𝑣1𝑣2t2= =h· t2.2ℎ𝑣1+𝑣22 4𝑣1+𝑣2 42𝑣1𝑣2 2𝑣1𝑣2答案 A3.(2017天津高考)若 a,b∈R, ab0,则 的最小值为 . 𝑎4+4𝑏4+1𝑎𝑏解析 ∵a ,b∈R,且 ab0,∴ =4ab+𝑎4+4𝑏4+1𝑎𝑏 ≥4𝑎2𝑏2+1𝑎𝑏 1𝑎𝑏≥4 .(当且仅当 {𝑎2=2𝑏2,4𝑎𝑏=1𝑎𝑏,即 {𝑎2=22,𝑏2=24时取等号 )答案 464. 导学号 26394006已知关于 x的二次不等式 ax2+2x+b0的解集为 ,且{𝑥|𝑥≠-1𝑎}ab,则 的最小值为 . 𝑎2+𝑏2𝑎-𝑏解析 由已知可得关于 x的方程 ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是 Δ= 4-4ab=0,则 ab=1,所以=(a-b)+ ≥2 =2𝑎2+𝑏2𝑎-𝑏=(𝑎-𝑏)2+2𝑎𝑏𝑎-𝑏 2𝑎-𝑏 (𝑎-𝑏)· 2𝑎-𝑏,故 的最小值为 2 .2(当且仅当 𝑎-𝑏= 2𝑎-𝑏时 ,等号成立 ) 𝑎2+𝑏2𝑎-𝑏 2答案 2 25.已知 a2,求证 log(a-1)aloga(a+1).证明 ∵ log(a-1)a-loga(a+1)=𝑙𝑔𝑎𝑙𝑔(𝑎-1)‒𝑙𝑔(𝑎+1)𝑙𝑔𝑎= ,𝑙𝑔2𝑎-𝑙𝑔(𝑎-1)𝑙𝑔(𝑎+1)𝑙𝑔𝑎𝑙𝑔(𝑎-1)而 lg(a-1)lg(a+1)0.又 a2,∴ lg alg(a-1)0,∴ 0,𝑙𝑔2𝑎-𝑙𝑔(𝑎-1)𝑙𝑔(𝑎+1)𝑙𝑔𝑎𝑙𝑔(𝑎-1)即 log(a-1)a-loga(a+1)0,∴ log(a-1)aloga(a+1).6. 导学号 26394007某水晶制品厂去年的年产量为 10万件,每件水晶产品的销售价格为 100元,固定成本为 80元 .从今年起,工厂投入 100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入 100万元进行技术革新 .预计产量每年递增 1万件,每件水晶产品的固定成本 g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数 n的关系是 g(n)= .若水晶产品的销售价格不变,第 n次投入80𝑛+1后的年利润为 f(n)万元 .7(1)求出 f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?解 (1)第 n次投入后,产量为(10 +n)万件,销售价格为 100元,固定成本为 元,进行技术革新投80𝑛+1入为 100n万元 .所以,年利润为 f(n)=(10+n) -100n(n∈N +).(100- 80𝑛+1)(2)由(1)知 f(n)=(10+n) -100n(100- 80𝑛+1)=1 000-80 ≤520 .(𝑛+1+ 9𝑛+1)当且仅当 ,𝑛+1= 9𝑛+1即 n=8时,利润最高,最高利润为 520万元 .所以,从今年算起第 8年利润最高,最高利润为 520万元 .13.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A组1.若 a0,则 2a+ 的最小值为( )1𝑎2A.2 B.3 C.1 D.32 32解析 2a+ =a+a+ ≥3 =3,当且仅当 a= ,即 a=1时,2 a+ 取最小值 3.1𝑎2 1𝑎2 3𝑎·𝑎·1𝑎2 1𝑎2 1𝑎2答案 D2.设 x,y,z∈R +,且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z的取值范围是( )A.(-∞ ,lg 6] B.(-∞ ,3lg 2]C.[lg 6,+∞ ) D.[3lg 2,+∞ )解析 因为 x,y,z∈R +,所以 6=x+y+z≥3 ,即 xyz≤8,所以 lg x+lg y+lg z=lg xyz≤lg 8 =3lg 3𝑥𝑦𝑧2(当且仅当 x=y=z=2时,等号成立) .答案 B3.已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z的最小值为( )A.3 B.2 C.12 D.1236 2 352解析 因为 2x0,4y0,8z0,所以 2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3 =3 =3×4=12.32𝑥·22𝑦·23𝑧 32𝑥+2𝑦+3𝑧当且仅当 2x=22y=23z,即 x=2y=3z,即 x=2,y=1,z= 时,等号成立 .23答案 C4.若 a,b,c为正数,且 a+b+c=1,则 的最小值为( )1𝑎+1𝑏+1𝑐A.9 B.8 C.3 D.13解析 ∵a 0,b0,c0,且 a+b+c=1,∴1𝑎+1𝑏+1𝑐=𝑎+𝑏+𝑐𝑎 +𝑎+𝑏+𝑐𝑏 +𝑎+𝑏+𝑐𝑐=3+𝑏𝑎+𝑐𝑎+𝑎𝑏+𝑐𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐≥3 +66𝑏𝑎·𝑐𝑎·𝑎𝑏·𝑐𝑏·𝑎𝑐·𝑏𝑐=3+6=9(当且仅当 𝑏𝑎=𝑐𝑎=𝑎𝑏=𝑐𝑏=𝑎𝑐=𝑏𝑐,.即 𝑎=𝑏=𝑐=13时 ,等号成立 )答案 A5.用一张钢板制作一个容积为 4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长 ×宽的尺寸如各选项所示,单位:m) .若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( )A.2×5 B.2×5.5 C.2×6.1 D.3×5解析 设长方体水箱长、宽、高分别为 x m,y m,z m,则 xyz=4.水箱的表面积 S=xy+2xz+2yz=xy+2x·+2y· =xy+ ≥3 =124𝑥𝑦 4𝑥𝑦 8𝑦+8𝑥 3𝑥𝑦·8𝑥·8𝑦 ( 当 .且仅当 𝑥𝑦=8𝑦=8𝑥,即 𝑥=𝑦=2,𝑧=1时 ,等号成立 )故要制作容积为 4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为 12 m2,所以选项 A,B排除,而选项C,D均够用,但选项 D剩较多,故选项 C正确 .3答案 C6.若 a,b,c同号,则 ≥ k,则 k的取值范围是 . 𝑏𝑎+𝑐𝑏+𝑎𝑐解析 因为 a,b,c同号,所以 0,于是 ≥3 =3(当且仅当 a=b=c时,等号成立),因此𝑏𝑎,𝑐𝑏,𝑎𝑐 𝑏𝑎+𝑐𝑏+𝑎𝑐 3𝑏𝑎·𝑐𝑏·𝑎𝑐k的取值范围是 k≤3 .答案 k≤37.若 xb0,则 a+ 的最小值为 . 1(𝑎-𝑏)𝑏解析 因为 ab0,所以 a-b0,于是 a+ =(a-b)+b+ ≥3 =3,1(𝑎-𝑏)𝑏 1(𝑎-𝑏)𝑏 3(𝑎-𝑏)·𝑏· 1(𝑎-𝑏)𝑏当且仅当 a-b=b= ,即 a=2,b=1时, a+ 的最小值为 3.1(𝑎-𝑏)𝑏 1(𝑎-𝑏)𝑏答案 39.已知实数 a,b,c∈R, a+b+c=1,求 4a+4b+ 的最小值,并求出取最小值时 a,b,c的值 .4𝑐2解 由三个正数的算术 -几何平均不等式,得 4a+4b+ ≥3 =3 (当且仅当 a=b=c2时,等4𝑐2 34𝑎·4𝑏·4𝑐2 34𝑎+𝑏+𝑐2号成立) .∵a+b+c= 1,4∴a+b= 1-c.则 a+b+c2=c2-c+1= ,当 c= 时, a+b+c2取得最小值 .(𝑐-12)2+34 12 34从而当 a=b= ,c= 时,4 a+4b+ 取最小值,最小值为 3 .14 124𝑐2 210. 导学号 26394008已知 x,y均为正数,且 xy,求证 2x+ ≥2 y+3.1𝑥2-2𝑥𝑦+𝑦2证明 因为 x0,y0,x-y0,所以 2x+ -2y1𝑥2-2𝑥𝑦+𝑦2=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+1(𝑥-𝑦)2 1(𝑥-𝑦)2≥3 =3,3(𝑥-𝑦)·(𝑥-𝑦)· 1(𝑥-𝑦)2所以 2x+1𝑥2-2𝑥𝑦+𝑦2≥2 y+3 .(当且仅当 𝑥-𝑦= 1(𝑥-𝑦)2时 ,等号成立 )B组1.若 logxy=-2,则 x+y的最小值为( )A. B. C. D.3322 2333 332 223解析 由 logxy=-2得 y= ,因此 x+y=x+ ≥31𝑥2 1𝑥2=𝑥2+𝑥2+1𝑥2 3𝑥2·𝑥2·1𝑥2=3322(当且仅当 𝑥2=1𝑥2,即 .𝑥=32时 ,等号成立 )答案 A2.设 x0,则 f(x)=4-x- 的最大值为( )12𝑥25A.4- B.4- C.不存在 D.22252解析 ∵x 0,∴f (x)=4-x- =4-12𝑥2 (𝑥2+𝑥2+12𝑥2)≤4 -3 =4-3𝑥2·𝑥2· 12𝑥2 32=52.(当且仅当 𝑥2=12𝑥2时 ,等号成立 )答案 D3.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列不等式正确的是( )A.V≥π B.V≤π C.V≥ D.V≤𝜋8 𝜋8解析 如图,设圆柱的半径为 R,高为 h,则 4R+2h=6,即 2R+h=3.V=S·h=π R2·h=π· R·R·h≤π =π,当且仅当 R=R=h=1时,等号成立 .(𝑅+𝑅+ℎ3 )3答案 B4.设三角形的三边长为 3,4,5,P是三角形内的一点,则 P到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .解析 设 P到长度为 3,4,5的三角形三边的距离分别是 x,y,z,三角形的面积为 S,则 S= (3x+4y+5z).12因为 32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积 S= ×3×4=6,所以 3x+4y+5z=2×6=12,所12以 12=3x+4y+5z≥3 =3 ,所以 xyz≤ ,当且仅当 3x=4y=5z,即 x= ,y=1,z= 时,等号33𝑥·4𝑦·5𝑧360𝑥𝑦𝑧1615 43 45成立 .6答案16155. 导学号 26394009设 x,y,z0,且 x+3y+4z=6,求 x2y3z的最大值 .解 因为 6=x+3y+4z= +y+y+y+4z≥6 =6 ,所以 x2y3z≤1 .𝑥2+𝑥2 6𝑥2·𝑥2·𝑦·𝑦·𝑦·4𝑧6𝑥2𝑦3𝑧当且仅当 =y=4z,即 x=2,y=1,z= 时,等号成立,所以 x2y3z的最大值为 1.𝑥2 146. 导学号 26394010设 a1,a2,…,an为正实数,求证 +…+ ≥2 .𝑎𝑛1+𝑎𝑛2𝑎𝑛𝑛+ 1𝑎1𝑎2…𝑎𝑛 𝑛证明 ∵a 1,a2,…,an为正实数,∴ +…+ ≥ n =na1a2…an,𝑎𝑛1+𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑎𝑛1𝑎𝑛2…𝑎𝑛𝑛当且仅当 a1=a2=…=an时,等号成立 .又 na1a2…an+ ≥2 ,1𝑎1𝑎2…𝑎𝑛𝑛当且仅当 na1a2…an= 时,等号成立,1𝑎1𝑎2…𝑎𝑛∴ +…+ ≥2 .𝑎𝑛1+𝑎𝑛2𝑎𝑛𝑛+ 1𝑎1𝑎2…𝑎𝑛 𝑛11.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设 ab0,下面四个不等式:①|a+b||a| ;②|a+b||a|-|b|.其中正确的是( )A.①② B.①③ C.①④ D.②④解析 ∵ab 0,∴a ,b同号 .∴|a+b|=|a|+|b||a|-|b|.∴①④ 正确 .答案 C2.函数 f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于( )A.10 B.3 C.7 D.4解析 因为 |3-x|+|x-7|≥ |(3-x)+(x-7)|=4,所以函数 f(x)的最小值为 4.答案 D3.已知 |a|≠ |b|,m= ,n= ,则 m,n之间的大小关系是 ( )|𝑎|-|𝑏||𝑎-𝑏| |𝑎|+|𝑏||𝑎+𝑏|A.mn B.m2B.|a+b|+|a-b| 0,即 |a||b|.答案 |a||b|9.设 m等于 |a|,|b|和 1中最大的一个,当 |x|m时,求证 m,∴ {|𝑥|𝑚≥|𝑎|,|𝑥|𝑚≥|𝑏|,|𝑥|𝑚≥1, ∴{|𝑥||𝑎|,|𝑥|2|𝑏|.∴ |𝑎𝑥+𝑏𝑥2|≤|𝑎𝑥|+|𝑏𝑥2|= =2.|𝑎||𝑥|+|𝑏||𝑥|20,即 |x-1|+|x-5|a.设 g(x)=|x-1|+|x-5|,由 |x-1|+|x-5|≥ |x-1+5-x|=4,当 a=2时, ∵g (x)min=4,∴f (x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知, g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为 4.∵|x- 1|+|x-5|-a0,∴a1);5②|a-b| 1,∴ lg x0,∴ logx10+lg x= +lg x≥2, ① 正确;1𝑙𝑔𝑥当 ab≤0 时, |a-b|=|a|+|b|,② 不正确;∵ab ≠0, 同号,𝑏𝑎与 𝑎𝑏∴ ≥2, ③ 正确 ;|𝑏𝑎+𝑎𝑏|=|𝑏𝑎|+|𝑎𝑏|由 |x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1 恒成立, ④ 也正确;综上, ①③④ 正确 .答案 ①③④5. 导学号 26394012已知函数 f(x)=x2-x+13,|x-a|0时, g(x)=ax+b在[ -1,1]上是增函数,∴g (-1)≤ g(x)≤ g(1).∵ 当 -1≤ x≤1 时, |f(x)|≤1,且 |c|≤1,∴g (1)=a+b=f(1)-c≤ |f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥ -(|f(-1)|+|c|)≥ -2,∴|g (x)|≤2 .当 a0时, g(x)=ax+b在[ -1,1]上是减函数,∴g (-1)≥ g(x)≥ g(1).∵ 当 -1≤ x≤1 时, |f(x)|≤1,且 |c|≤1,∴g (-1)=-a+b=-f(-1)+c≤ |f(-1)|+|c|≤2 .g(1)=a+b=f(1)-c≥ -(|f(1)|+|c|)≥ -2.∴|g (x)|≤2 .当 a=0时, g(x)=b,f(x)=bx+c,且 -1≤ x≤1,∴|g (x)|=|f(1)-c|≤ |f(1)|+|c|≤2 .综上可知, |g(x)|≤2 .12.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合 A={x|x2-5x+6≤0}, B={x||2x-1|3},则 A∩ B等于( )A.{x|2≤ x≤3}B.{x|2≤ x2或 x2,则关于 x的不等式 |x-1|+a2的解集为( )A.{x|x3-a}B.{x|xa-1}C.⌀D.R2解析 不等式 |x-1|+a2可化为 |x-1|2-a,因为 a2,所以 2-ax2的解集为( )A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞ ,-4)∪(1, +∞ )解析 由 |3x-4|x2可得 3x-4x2或 3x-4x2得无解;解 3x-40,且 x≠2,所以原不等式等价于 |x-1|-40,所以 2x·log2x0.又 x0,所以 log2x0,解得 x1.答案 C36.不等式 |2x-1||2-x|的解集是 . 解析 由 |x+3||2-x|得( x+3)2(2-x)2,整理得 10x-5,即 x- ,12故原不等式的解集为 .{𝑥|𝑥-12}答案 {𝑥|𝑥-12}8.若关于 x的不等式 |ax+2|0时,有 - 𝑥𝑥-1A.[0,1)B.(0,1)C.(-∞ ,0)∪(1, +∞ )D.(-∞ ,0]∪(1, +∞ )解析 因为 ,所以 𝑥𝑥-1 𝑥𝑥-1答案 B2. 导学号 26394014关于 x的不等式 |x+3|-|x-1|≤ a2-3|a|对任意实数 x恒成立,则实数 a的取值范围为 ( )A.(-∞ ,-4]∪[4, +∞ )B.(-∞ ,-1]∪[4, +∞ )C.[-1,4]D.(-∞ ,1]∪[2, +∞ )解析 因为 |x+3|-|x-1|≤4,又 |x+3|-|x-1|≤ a2-3|a|对任意实数 x恒成立,所以 a2-3|a|≥4,即 a2-3|a|-4≥0,解得 |a|≥4 或 |a|≤ -1(舍去) .故选 A.答案 A3.在实数范围内,不等式 ||x-2|-1|≤1 的解集为 . 6解析 原不等式等价于 -1≤ |x-2|-1≤1,即 0≤ |x-2|≤2,解得 0≤ x≤4 .答案 [0,4]4.若不等式 |3x-b|4.解 当 x≤ - 时, 原不等式化为 -2x-1+2-x+1-x4,解得 x4,44,矛盾 .当 14,解得 x1.由 12时,原不等式化为 2x+1+x-2+x-14,解得 x .32由 x2,则 x2.综上所述,原不等式的解集为 .{𝑥|𝑥1}6. 导学号 26394016已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a1.7(1)当 a=2时,求不等式 f(x)≥4 -|x-4|的解集;(2)已知关于 x的不等式 |f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{ x|1≤ x≤2},求 a的值 .解 (1)当 a=2时, f(x)+|x-4|={-2𝑥+6,𝑥≤2,2,2𝑥4,2𝑥-6,𝑥≥4. 当 x≤2 时,由 f(x)≥4 -|x-4|得 -2x+6≥4,解得 x≤1;当 2x4时, f(x)≥4 -|x-4|无解;当 x≥4 时,由 f(x)≥4 -|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5 .所以 f(x)≥4 -|x-4|的解集为{ x|x≤1 或 x≥5} .(2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),则 h(x)= 由 |h(x)|≤2,{-2𝑎,𝑥≤0,4𝑥-2𝑎,0𝑥𝑎,2𝑎,𝑥≥𝑎. 解得 ≤ x≤ .𝑎-12 𝑎+12因为 |h(x)|≤2 的解集为{ x|1≤ x≤2},所以 于是 a=3.{𝑎-12 =1,𝑎+12 =2,1第一讲 不等式和绝对值不等式测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.若 |b| ;③a2.其中正确的有( )1𝑎0,从而 2,因此 ①④ 正确 .𝑏𝑎 𝑏𝑎+𝑎𝑏答案 B2.设集合 A={x||x-a|2,x∈R} .若 A⊆B,则实数 a,b 必满足( )A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3解析 由题意可得集合 A={x|a-1b+2},又 A⊆B,所以有 a+1≤ b-2 或b+2≤ a-1,即 a-b≤ -3 或 a-b≥3,因此选 D.答案 D3.对于 x∈R,不等式 |x+10|-|x-2|≥8 的解集为( )A.[0,+∞ ) B.(0,2)C.[0,2) D.(0,+∞ )解析 如图, |BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点 P 在点 A 右侧时 |PB|-|PC|8,故 x≥0 .答案 A4.下列函数中,最小值为 2 的是( )2A.y=x+1𝑥B.y=x2-2x+4C.y=x2+1𝑥2D.y=𝑥2+2+ 1𝑥2+2解析 在函数 y=x2+ 中, x20,所以 y=x2+ ≥2 =2,当且仅当 x=±1 时,函数的最小值为 2.1𝑥2 1𝑥2 𝑥2·1𝑥2答案 C5.若不等式 |ax+2|1,故必要性不成立 .又当 a=2 时,不等式 |x+1|+|x+2|0),则 a,b 之间的关系是( )A.b≥ B.b𝑏2 𝑏2解析 由 |f(x)-1|0),由 a2 016=a2 015+2a2 014,得 q2=q+2,解得 q=2 或 q=-1(舍去) .又因为 aman=16 ,即 ·2m+n-2=16 ,所以 m+n=6.𝑎21 𝑎21 𝑎21因此 (m+n)4𝑚+1𝑛=16 (4𝑚+1𝑛)= ,16(5+4𝑛𝑚+𝑚𝑛)≥16(5+24𝑛𝑚·𝑚𝑛)=324当且仅当 m=4,n=2 时,等号成立 .故选 B.答案 B12.设 0-2,且 x≠0,则 的取值范围是 . 1𝑥解析 因为 x-2,且 x≠0,所以当 x0 时,有 0;当 -21 时, ① 等价于 a-1+a≥3,解得 a≥2 .所以 a 的取值范围是[2, +∞ ).20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=|x-1|.7(1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8;(2)若 |a||a|f .(𝑏𝑎)(1)解 f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|={-2𝑥-2,𝑥1, 当 x1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3 .所以不等式 f(x)+f(x+4)≥8 的解集为{ x|x≤ -5 或 x≥3} .(2)证明 因为 f(ab)=|ab-1|,|a|f =|a| =|a-b|,(𝑏𝑎) |𝑏𝑎-1|又 |a|0,所以 |ab-1||a-b|.故所证不等式成立 .21. 导学号 26394018(本小题满分 12 分)已知 x,y,z∈R +,x+y+z=3.(1)求 的最小值;1𝑥+1𝑦+1𝑧(2)求证 3≤ x2+y2+z20, 0,3𝑥𝑦𝑧1𝑥+1𝑦+1𝑧≥ 33𝑥𝑦𝑧所以( x+y+z) ≥9, 即 ≥3,当且仅当 x=y=z=1 时, 取最小值 3.(1𝑥+1𝑦+1𝑧) 1𝑥+1𝑦+1𝑧 1𝑥+1𝑦+1𝑧(2)证明 因为 x2+y2+z2= 𝑥2+𝑦2+𝑧2+(𝑥2+𝑦2)+(𝑦2+𝑧2)+(𝑧2+𝑥2)3≥𝑥2+𝑦2+𝑧2+2(𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥)3= =3(当且仅当 x=y=z=1 时,等号成立) .(𝑥+𝑦+𝑧)23又 x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)x 的解集;(2)若 a+b=1,对∀ a,b∈(0, +∞ ), ≥ |2x-1|-|x+1|恒成立,求 x 的取值范围 .1𝑎+4𝑏解 (1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,当 xx 得 1-2x+x+1x,解得 xx 得 1-2x-x-1x,解得 -1≤ x 时,由 f(x)x 得 2x-1-(x+1)x,即 -20,无解 .12综上,不等式 f(x)x 的解集为{ x|x12, 又 a,b∈(0, +∞ ),且 a+b=1,∴ (a+b)1𝑎+4𝑏=(1𝑎+4𝑏)=5+(𝑏𝑎+4𝑎𝑏)≥5 +2 =9,𝑏𝑎·4𝑎𝑏当且仅当 时,等号成立 ,𝑏𝑎=4𝑎𝑏即 a= ,b= .13 23∵ ≥ |2x-1|-|x+1|恒成立 ,1𝑎+4𝑏∴| 2x-1|-|x+1|≤9,结合图象知 -7≤ x≤11,故 x 的取值范围是 -7≤ x≤11 .