1、1模块综合测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分)1.若 abc,则 的值( )1- 1-A.大于 0B.小于 0C.小于或等于 0D.大于或等于 0解析 因为 abc,所以 a-cb-c0.所以 ,所以 0,故选 A.1-2解析 令 f(x)=|x+3|+|x-2|= 则 f(x)的图象如图,由图可知, f(x)0,y0,z0),则 P与 3的大小关系是( )1+ 1+ 1+A.P3 B.P3解析 因为 1+x0,1+y0,1+z0,所以 =3,即 Pa的解集为 M,且 2M,则 a的取值范围为 ( )|-1 |A. B.(14,
2、+) 14,+)C. D.(0,12) (0,12解析 由已知 2M,可得 2 RM,于是有 a,即 -a a,解得 a ,故应选 B.|2-12 | 2-12 14答案 B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第 n层楼,上、下楼造成的不满意度为 n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第 n层楼时,环境不满意程度为 ,则此人应选( )9A.1楼 B.2楼C.3楼 D.4楼解析 设第 n层总的不满意程度为 f(n),则 f(n)=n+ 2 =23=6,当且仅当 n= ,即 n=3时等号成9 9 9立 .答案
3、C6.若关于 x的不等式 |x-1|+|x-3| a2-2a-1在 R上的解集为,则实数 a的取值范围是( )A.a3B.a3C.-10,b0, 若 A,B,C三点共线,则 的最小值为 ( )1+2A.4 B.6 C.8 D.9解析 =(a-1,1), =(-b-1,2), A ,B,C三点共线, 2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得 2a+b=1.又 a0,b0,则 =(2a+b) =4+ 4 +2 =8,当且仅当 b=2a= 时,等号成立 .1+2 (1+2) +4 4 12故选 C.4答案 C10.用反证法证明“ ABC的三边长 a,b,c的倒数成等差数列,求证 By,求证 2x+
4、2 y+3.12-2+2证明 因为 x0,y0,x-y0,所以 2x+ -2y=2(x-y)+12-2+2 1(-)2=(x-y)+(x-y)+1(-)23 =33(-)2 1(-)2 ( 当且仅当 -=,1-时,等号成立 )所以 2x+ 2 y+3.12-2+218.(本小题满分 12分)已知 m1,且关于 x的不等式 m-|x-2|1 的解集为0,4 .(1)求 m的值;(2)若 a,b均为正实数,且满足 a+b=m,求 a2+b2的最小值 .解 (1)m 1,不等式 m-|x-2|1 可化为 |x-2| m-1, 1-m x-2 m-1,即 3-m x m+1. 其解集为0,4, 解得
5、m=3.3-=0,+1=4,6(2)由(1)知 a+b=3.(方法一:利用基本不等式) (a+b)2=a2+b2+2ab( a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a 2+b2 ,92(当且仅当 =32时,等号成立 )a 2+b2的最小值为 .92(方法二:利用柯西不等式) (a2+b2)(12+12)( a1+b1)2=(a+b)2=9,a 2+b2 ,92(当且仅当 =32时,等号成立 )a 2+b2的最小值为 .92(方法三:消元法求二次函数的最值)a+b= 3,b= 3-a.a 2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2 ,(-32)2+9292a 2+b2的最小值为
6、.9219.(本小题满分 12分)用数学归纳法证明: n!(n1,nN +).(n!=n(n-1)21)(+12 )证明 (1)当 n=2时, 2!=2,不等式成立 .(2+12 )2=(32)2=94(2)假设当 n=k(k2)时不等式成立,即 k!.(+12 )当 n=k+1时, (+1)+12 +1=(+12 +12)+1= + (k+1)0+1(+12 )+1+1+1(+12 )12 +1+1(12)+1(+12 )+1+12 (+12 )=(k+1) (k+1)k!=(k+1)!,(+12 )所以当 n=k+1时不等式成立 .由(1)(2)可知,对 n1的一切自然数,不等式成立 .2
7、0.(本小题满分 12分)已知 x+y0,且 xy0 .(1)求证: x3+y3 x2y+y2x;7(2)如果 恒成立,试求实数 m的取值范围 .2+22(1+1)(1)证明 因为 x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且 x+y0,(x-y)20,所以 x3+y3-(x2y+y2x)0,故 x3+y3 x2y+y2x.(2)解 若 xy-6. 若 xy0,则 等价于 .2+22(1+1) 23+3(+)=2-+2因为 =1,即 1(当且仅当 x=y时,等号成立),故 m2 .2-+2 2- 3+3(+)综上所述,实数 m的取值范围是( -6,
8、2.21. 导学号 26394075(本小题满分 12分)设函数 f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式 f(x)2;(2)当 xR,0 0,=2m-10,12+42+92m 5,即实数 m的取值范围是5, + ).11.不等式的基本性质课后篇巩固探究A 组1.(2017 广东深圳一模)已知 ab0,cbc B.acbcC.loga(a-c)logb(b-c) D.- -解析 c 0.又 ab0,a-cb-c 0,ac0.- -=-+(-)(-) = (-)(-)(-)即 .- -答案 D2.(2017 广东潮州二模)若 ab,则下列各式正确的是( )A.alg xblg x B.a
9、x2bx2C.a2b2 D.a2xb2x解析 由 ab,当 lg x0 时, alg xblg x 不成立,故 A 错误 .当 x=0 时, ax2=bx2,故 B 错误 .若 a=0,b=-1,则 a20,a 2xb2x,故 D 正确 .答案 D23.若角 , 满足 - 1,b111 C.a2b2 D.ab1,b0,b-10,aa 2.a 2bc0,若 x= ,y= ,z= ,则 x,y,z 之间的大小关系是 2+(+)2 2+(+)2 2+(+)2.(从小到大) 解析 因为 x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)0,q0,前 n 项和为 Sn,试比较的大小 .3
10、3与554解 当 q=1 时, =3, =5,所以 .3355330,且 q1 时,3355=1(1-3)12(1-)1(1-5)14(1-)= 1,则( )A.logac1,则 1,logcx 在定义域上单调递增 .故 alogc 1 1 1答案 D2.已知 a,bR,则下列条件中能使 ab 成立的必要不充分条件是( )A.ab-1 B.ab+1C.|a|b| D.3a3b5解析 因为 abab-1,但 ab-1 ab,所以“ ab-1”是“ ab”的必要不充分条件;“ ab+1”是“ab”的充分不必要条件;“ |a|b|”是“ ab”的既不充分也不必要条件;“3 a3b”是“ ab”的充要
11、条件 .答案 A3. 导学号 26394001 已知实数 a,b,c 满足 b+c=3a2-4a+6,c-b=a2-4a+4,则 a,b,c 的大小关系是( )A.c ba B.ac b C.cba D.acb解析 由 c-b=a2-4a+4=(a-2)20 易知 c b,又由已知可解得 b=a2+1a,所以 c ba.答案 A4.若 a,bR,且 a2b2+a2+52ab+4a,则 a,b 应满足的条件是 . 解析 原不等式可化为( ab-1)2+(a-2)20,则 a2 或 b .12答案 a2 或 b125.设 x5,P= ,Q= ,试比较 P 与 Q 的大小关系 .-4-5 -2-3解
12、 因为 P= ,Q= ,-4-5= 1-4+-5 -2-3= 1-2+-3又 ,所以 Q 0,b=sin + cos 0.(0,6)因为 =2sin ,=22+2+ =2(+)+又 ,所以 sin ,2sin (0,1),(0,6) (0,12)6即 0 1,故 ab.12.基本不等式课后篇巩固探究A组1.下列结论正确的是( )A.若 3a+3b2 ,则 a0,b033B.若 2,则 a0,b0+C.若 a0,b0,且 a+b=4,则 11+1D.若 ab0,则2+解析 当 a,bR 时,则 3a0,3b0,所以 3a+3b2 (当且仅当 a=b时,等号成立),故选项 A错误 .要33使 2
13、成立,只要 0, 0即可,这时只要 a,b同号,故选项 B错误 .当 a0,b0,且 a+b=4时,则+ .因为 ab =4,所以 1(当且仅当 a=b=2时,等号成立),故选项 C错误 .当1+1=4 (+2 )2 1+1=4a0,b0时, a+b2 ,所以 .而当 a02+22= 2+时,一定有 (当且仅当 a=b,且 a,b0时,等号成立),故选项 D正确 .2+答案 D22.若 a0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 的最小值是( )1+13A.2 B.2 C.4 D.22 3解析 lg 2x+lg 8y=lg 2, lg(2x8y)=lg 2, 2x+3y=2,x+ 3y=
14、1.x 0,y0, =(x+3y)1+13 (1+13)=2+ 2 +2 =4,3+3 33当且仅当 x=3y= 时,等号成立 .故选 C.12答案 C4.函数 f(x)=x+ -1的值域是 ( )4A.(- ,-35, + ) B.3,+ )C.(- ,-53, + ) D.(- ,-44, + )3解析 当 x0时, x+ -12 -1=3(当且仅当 x=2时,等号成立);当 x0,b0)过点(1,2),则 2a+b的最小值为 . +解析 直线 =1过点(1,2), =1.+ 1+2a 0,b0, 2a+b=(2a+b) =4+ 4 +2 =8.(1+2) (+4) 4当且仅当 b=2a时
15、“ =”成立 .答案 87.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600吨,每次购买 x吨,运费为 6万元 /次,一年的总存储费用为 4x万元 .要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x的值是 . 解析 一年的总运费与总存储费用之和为 4x+ 6=4 4 2 =240,当且仅当 x= ,600 (+900)900900即 x=30时等号成立 .答案 308.已知 x1,y1,且 xy=1 000,求 lg xlg y的最大值 .解 因为 x1,y1,所以 lg x0,lg y0,所以 lg xlg y (+2 )2=(2)24= ,(1 0002 )2=(32)2=94当且仅当 lg
16、 x=lg y,即 x=y时,等号成立,故 lg xlg y的最大值等于 .949.已知 x0,y0,x+y=1,求证 9 .(1+1)(1+1)证明 左边 =(1+1)(1+1)=(1+ )(1+ )= =5+2 5 +4=9,(2+)(2+) (+)当且仅当 ,即 x=y= 时,等号成立,所以 9 .= 12 (1+1)(1+1)10.某单位建造一间地面面积为 12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度 x不得超过 5米 .房屋正面的造价为 400元 /平方米,房屋侧面的造价为 150元 /平方米,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元 .如果墙高为 3米,且不
17、计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?解 设侧面的长度为 x米(0 t2 B.t1h =h ,1+2 1+212 21212 212t2= =h t2.21+22 41+2 4212 212答案 A3.(2017天津高考)若 a,bR, ab0,则 的最小值为 . 4+44+1解析 a ,bR,且 ab0, =4ab+4+44+1 422+1 14 .(当且仅当 2=22,4=1,即 2=22,2=24时取等号 )答案 464. 导学号 26394006已知关于 x的二次不等式 ax2+2x+b0的解集为 ,且|-1ab,则 的最小值为 . 2+2-解析 由已知可得关于 x的方程
18、 ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是 = 4-4ab=0,则 ab=1,所以=(a-b)+ 2 =22+2-=(-)2+2- 2- (-) 2-,故 的最小值为 2 .2(当且仅当 -= 2-时 ,等号成立 ) 2+2- 2答案 2 25.已知 a2,求证 log(a-1)aloga(a+1).证明 log(a-1)a-loga(a+1)=(-1)(+1)= ,2-(-1)(+1)(-1)而 lg(a-1)lg(a+1)0.又 a2, lg alg(a-1)0, 0,2-(-1)(+1)(-1)即 log(a-1)a-loga(a+1)0, log(a-1)aloga(a+1).6.
19、 导学号 26394007某水晶制品厂去年的年产量为 10万件,每件水晶产品的销售价格为 100元,固定成本为 80元 .从今年起,工厂投入 100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入 100万元进行技术革新 .预计产量每年递增 1万件,每件水晶产品的固定成本 g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数 n的关系是 g(n)= .若水晶产品的销售价格不变,第 n次投入80+1后的年利润为 f(n)万元 .7(1)求出 f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?解 (1)第 n次投入后,产量为(10 +n)万件,销售价格为 100元,固定成本为 元,进行
20、技术革新投80+1入为 100n万元 .所以,年利润为 f(n)=(10+n) -100n(nN +).(100- 80+1)(2)由(1)知 f(n)=(10+n) -100n(100- 80+1)=1 000-80 520 .(+1+ 9+1)当且仅当 ,+1= 9+1即 n=8时,利润最高,最高利润为 520万元 .所以,从今年算起第 8年利润最高,最高利润为 520万元 .13.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A组1.若 a0,则 2a+ 的最小值为( )12A.2 B.3 C.1 D.32 32解析 2a+ =a+a+ 3 =3,当且仅当 a= ,即 a=1时,2 a+
21、取最小值 3.12 12 312 12 12答案 D2.设 x,y,zR +,且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z的取值范围是( )A.(- ,lg 6 B.(- ,3lg 2C.lg 6,+ ) D.3lg 2,+ )解析 因为 x,y,zR +,所以 6=x+y+z3 ,即 xyz8,所以 lg x+lg y+lg z=lg xyzlg 8 =3lg 32(当且仅当 x=y=z=2时,等号成立) .答案 B3.已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z的最小值为( )A.3 B.2 C.12 D.1236 2 352解析 因为 2x0,4y0,8z0,所以 2x+4y+
22、8z=2x+22y+23z3 =3 =34=12.322223 32+2+3当且仅当 2x=22y=23z,即 x=2y=3z,即 x=2,y=1,z= 时,等号成立 .23答案 C4.若 a,b,c为正数,且 a+b+c=1,则 的最小值为( )1+1+1A.9 B.8 C.3 D.13解析 a 0,b0,c0,且 a+b+c=1,1+1+1=+ + +=3+3 +66=3+6=9(当且仅当 =,.即 =13时 ,等号成立 )答案 A5.用一张钢板制作一个容积为 4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长 宽的尺寸如各选项所示,单位:m) .若既要够用,又要所剩最少,则应选
23、择钢板的规格是( )A.25 B.25.5 C.26.1 D.35解析 设长方体水箱长、宽、高分别为 x m,y m,z m,则 xyz=4.水箱的表面积 S=xy+2xz+2yz=xy+2x+2y =xy+ 3 =124 4 8+8 388 ( 当 .且仅当 =8=8,即 =2,=1时 ,等号成立 )故要制作容积为 4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为 12 m2,所以选项 A,B排除,而选项C,D均够用,但选项 D剩较多,故选项 C正确 .3答案 C6.若 a,b,c同号,则 k,则 k的取值范围是 . +解析 因为 a,b,c同号,所以 0,于是 3 =3(当且仅当 a=b=c时,等
24、号成立),因此, + 3k的取值范围是 k3 .答案 k37.若 xb0,则 a+ 的最小值为 . 1(-)解析 因为 ab0,所以 a-b0,于是 a+ =(a-b)+b+ 3 =3,1(-) 1(-) 3(-) 1(-)当且仅当 a-b=b= ,即 a=2,b=1时, a+ 的最小值为 3.1(-) 1(-)答案 39.已知实数 a,b,cR, a+b+c=1,求 4a+4b+ 的最小值,并求出取最小值时 a,b,c的值 .42解 由三个正数的算术 -几何平均不等式,得 4a+4b+ 3 =3 (当且仅当 a=b=c2时,等42 34442 34+2号成立) .a+b+c= 1,4a+b=
25、 1-c.则 a+b+c2=c2-c+1= ,当 c= 时, a+b+c2取得最小值 .(-12)2+34 12 34从而当 a=b= ,c= 时,4 a+4b+ 取最小值,最小值为 3 .14 1242 210. 导学号 26394008已知 x,y均为正数,且 xy,求证 2x+ 2 y+3.12-2+2证明 因为 x0,y0,x-y0,所以 2x+ -2y12-2+2=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+1(-)2 1(-)23 =3,3(-)(-) 1(-)2所以 2x+12-2+22 y+3 .(当且仅当 -= 1(-)2时 ,等号成立 )B组1.若 logxy=-2,则 x+
26、y的最小值为( )A. B. C. D.3322 2333 332 223解析 由 logxy=-2得 y= ,因此 x+y=x+ 312 12=2+2+12 32212=3322(当且仅当 2=12,即 .=32时 ,等号成立 )答案 A2.设 x0,则 f(x)=4-x- 的最大值为( )1225A.4- B.4- C.不存在 D.22252解析 x 0,f (x)=4-x- =4-122 (2+2+122)4 -3 =4-322 122 32=52.(当且仅当 2=122时 ,等号成立 )答案 D3.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列不等式正确的是( )A.V B.V C.V
27、 D.V8 8解析 如图,设圆柱的半径为 R,高为 h,则 4R+2h=6,即 2R+h=3.V=Sh= R2h= RRh =,当且仅当 R=R=h=1时,等号成立 .(+3 )3答案 B4.设三角形的三边长为 3,4,5,P是三角形内的一点,则 P到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .解析 设 P到长度为 3,4,5的三角形三边的距离分别是 x,y,z,三角形的面积为 S,则 S= (3x+4y+5z).12因为 32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积 S= 34=6,所以 3x+4y+5z=26=12,所12以 12=3x+4y+5z3 =3 ,所以 xyz ,当且仅当 3x
28、=4y=5z,即 x= ,y=1,z= 时,等号33453601615 43 45成立 .6答案16155. 导学号 26394009设 x,y,z0,且 x+3y+4z=6,求 x2y3z的最大值 .解 因为 6=x+3y+4z= +y+y+y+4z6 =6 ,所以 x2y3z1 .2+2 6224623当且仅当 =y=4z,即 x=2,y=1,z= 时,等号成立,所以 x2y3z的最大值为 1.2 146. 导学号 26394010设 a1,a2,an为正实数,求证 + 2 .1+2+ 112 证明 a 1,a2,an为正实数, + n =na1a2an,1+2 12当且仅当 a1=a2=
29、an时,等号成立 .又 na1a2an+ 2 ,112当且仅当 na1a2an= 时,等号成立,112 + 2 .1+2+ 112 11.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设 ab0,下面四个不等式:|a+b|a| ;|a+b|a|-|b|.其中正确的是( )A. B. C. D.解析 ab 0,a ,b同号 .|a+b|=|a|+|b|a|-|b|. 正确 .答案 C2.函数 f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于( )A.10 B.3 C.7 D.4解析 因为 |3-x|+|x-7| |(3-x)+(x-7)|=4,所以函数 f(x)的最小值为 4.答案 D3.已知 |a| |b
30、|,m= ,n= ,则 m,n之间的大小关系是 ( )|-|-| |+|+|A.mn B.m2B.|a+b|+|a-b| 0,即 |a|b|.答案 |a|b|9.设 m等于 |a|,|b|和 1中最大的一个,当 |x|m时,求证 m, |,|,|1, |,|2|. |+2|+|2|= =2.|+|20,即 |x-1|+|x-5|a.设 g(x)=|x-1|+|x-5|,由 |x-1|+|x-5| |x-1+5-x|=4,当 a=2时, g (x)min=4,f (x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知, g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为 4.|x- 1|+|x-5|-a
31、0,a1);5|a-b| 1, lg x0, logx10+lg x= +lg x2, 正确;1当 ab0 时, |a-b|=|a|+|b|, 不正确;ab 0, 同号,与 2, 正确 ;|+|=|+|由 |x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|1 恒成立, 也正确;综上, 正确 .答案 5. 导学号 26394012已知函数 f(x)=x2-x+13,|x-a|0时, g(x)=ax+b在 -1,1上是增函数,g (-1) g(x) g(1). 当 -1 x1 时, |f(x)|1,且 |c|1,g (1)=a+b=f(1)-c |f(1)|+|c|2,g(-1)=-a+b=
32、-f(-1)+c -(|f(-1)|+|c|) -2,|g (x)|2 .当 a0时, g(x)=ax+b在 -1,1上是减函数,g (-1) g(x) g(1). 当 -1 x1 时, |f(x)|1,且 |c|1,g (-1)=-a+b=-f(-1)+c |f(-1)|+|c|2 .g(1)=a+b=f(1)-c -(|f(1)|+|c|) -2.|g (x)|2 .当 a=0时, g(x)=b,f(x)=bx+c,且 -1 x1,|g (x)|=|f(1)-c| |f(1)|+|c|2 .综上可知, |g(x)|2 .12.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合 A=x|x2-
33、5x+60, B=x|2x-1|3,则 A B等于( )A.x|2 x3B.x|2 x2或 x2,则关于 x的不等式 |x-1|+a2的解集为( )A.x|x3-aB.x|xa-1C.D.R2解析 不等式 |x-1|+a2可化为 |x-1|2-a,因为 a2,所以 2-ax2的解集为( )A.(-4,1)B.(-1,4)C.D.(- ,-4)(1, + )解析 由 |3x-4|x2可得 3x-4x2或 3x-4x2得无解;解 3x-40,且 x2,所以原不等式等价于 |x-1|-40,所以 2xlog2x0.又 x0,所以 log2x0,解得 x1.答案 C36.不等式 |2x-1|2-x|的
34、解集是 . 解析 由 |x+3|2-x|得( x+3)2(2-x)2,整理得 10x-5,即 x- ,12故原不等式的解集为 .|-12答案 |-128.若关于 x的不等式 |ax+2|0时,有 - -1A.0,1)B.(0,1)C.(- ,0)(1, + )D.(- ,0(1, + )解析 因为 ,所以 -1 -1答案 B2. 导学号 26394014关于 x的不等式 |x+3|-|x-1| a2-3|a|对任意实数 x恒成立,则实数 a的取值范围为 ( )A.(- ,-44, + )B.(- ,-14, + )C.-1,4D.(- ,12, + )解析 因为 |x+3|-|x-1|4,又
35、|x+3|-|x-1| a2-3|a|对任意实数 x恒成立,所以 a2-3|a|4,即 a2-3|a|-40,解得 |a|4 或 |a| -1(舍去) .故选 A.答案 A3.在实数范围内,不等式 |x-2|-1|1 的解集为 . 6解析 原不等式等价于 -1 |x-2|-11,即 0 |x-2|2,解得 0 x4 .答案 0,44.若不等式 |3x-b|4.解 当 x - 时, 原不等式化为 -2x-1+2-x+1-x4,解得 x4,44,矛盾 .当 14,解得 x1.由 12时,原不等式化为 2x+1+x-2+x-14,解得 x .32由 x2,则 x2.综上所述,原不等式的解集为 .|1
36、6. 导学号 26394016已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a1.7(1)当 a=2时,求不等式 f(x)4 -|x-4|的解集;(2)已知关于 x的不等式 |f(2x+a)-2f(x)|2 的解集为 x|1 x2,求 a的值 .解 (1)当 a=2时, f(x)+|x-4|=-2+6,2,2,24,2-6,4. 当 x2 时,由 f(x)4 -|x-4|得 -2x+64,解得 x1;当 2x4时, f(x)4 -|x-4|无解;当 x4 时,由 f(x)4 -|x-4|得 2x-64,解得 x5 .所以 f(x)4 -|x-4|的解集为 x|x1 或 x5 .(2)记 h(x)=f(
37、2x+a)-2f(x),则 h(x)= 由 |h(x)|2,-2,0,4-2,0,2,. 解得 x .-12 +12因为 |h(x)|2 的解集为 x|1 x2,所以 于是 a=3.-12 =1,+12 =2,1第一讲 不等式和绝对值不等式测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.若 |b| ;a2.其中正确的有( )10,从而 2,因此 正确 . +答案 B2.设集合 A=x|x-a|2,xR .若 AB,则实数 a,b 必满足( )A.|a+b|3 B.|a+b|3C.|a-b|3 D.|a-b|3解析 由题意可得集合
38、A=x|a-1b+2,又 AB,所以有 a+1 b-2 或b+2 a-1,即 a-b -3 或 a-b3,因此选 D.答案 D3.对于 xR,不等式 |x+10|-|x-2|8 的解集为( )A.0,+ ) B.(0,2)C.0,2) D.(0,+ )解析 如图, |BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点 P 在点 A 右侧时 |PB|-|PC|8,故 x0 .答案 A4.下列函数中,最小值为 2 的是( )2A.y=x+1B.y=x2-2x+4C.y=x2+12D.y=2+2+ 12+2解析 在函数 y=x2+ 中, x20,所以 y=x2+ 2 =2,当且仅当 x
39、=1 时,函数的最小值为 2.12 12 212答案 C5.若不等式 |ax+2|1,故必要性不成立 .又当 a=2 时,不等式 |x+1|+|x+2|0),则 a,b 之间的关系是( )A.b B.b2 2解析 由 |f(x)-1|0),由 a2 016=a2 015+2a2 014,得 q2=q+2,解得 q=2 或 q=-1(舍去) .又因为 aman=16 ,即 2m+n-2=16 ,所以 m+n=6.21 21 21因此 (m+n)4+1=16 (4+1)= ,16(5+4+)16(5+24)=324当且仅当 m=4,n=2 时,等号成立 .故选 B.答案 B12.设 0-2,且 x
40、0,则 的取值范围是 . 1解析 因为 x-2,且 x0,所以当 x0 时,有 0;当 -21 时, 等价于 a-1+a3,解得 a2 .所以 a 的取值范围是2, + ).20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=|x-1|.7(1)解不等式 f(x)+f(x+4)8;(2)若 |a|a|f .()(1)解 f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=-2-2,1, 当 x1 时,由 2x+28,解得 x3 .所以不等式 f(x)+f(x+4)8 的解集为 x|x -5 或 x3 .(2)证明 因为 f(ab)=|ab-1|,|a|f =|a| =|a-b|,() |-1|又 |
41、a|0,所以 |ab-1|a-b|.故所证不等式成立 .21. 导学号 26394018(本小题满分 12 分)已知 x,y,zR +,x+y+z=3.(1)求 的最小值;1+1+1(2)求证 3 x2+y2+z20, 0,31+1+1 33所以( x+y+z) 9, 即 3,当且仅当 x=y=z=1 时, 取最小值 3.(1+1+1) 1+1+1 1+1+1(2)证明 因为 x2+y2+z2= 2+2+2+(2+2)+(2+2)+(2+2)32+2+2+2(+)3= =3(当且仅当 x=y=z=1 时,等号成立) .(+)23又 x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2
42、(xy+yz+zx)x 的解集;(2)若 a+b=1,对 a,b(0, + ), |2x-1|-|x+1|恒成立,求 x 的取值范围 .1+4解 (1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,当 xx 得 1-2x+x+1x,解得 xx 得 1-2x-x-1x,解得 -1 x 时,由 f(x)x 得 2x-1-(x+1)x,即 -20,无解 .12综上,不等式 f(x)x 的解集为 x|x12, 又 a,b(0, + ),且 a+b=1, (a+b)1+4=(1+4)=5+(+4)5 +2 =9,4当且仅当 时,等号成立 ,=4即 a= ,b= .13 23 |2x-1|-|x+1|恒成立 ,1+4| 2x-1|-|x+1|9,结合图象知 -7 x11,故 x 的取值范围是 -7 x11 .
