1、习题课 (五) 对数函数与幂函数(时间：45 分钟 满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 30 分)1在同一直角坐标系中，函数 f(x)x a(x0)，g( x)log ax 的图象可能是( )解析：若 a1，则函数 g(x) logax 的图象过点(1,0)，且单调递增，但当 x0,1)时，yx a的图象应在直线 yx 的下方，故 C 选项错误；若 0a1，则函数 g(x)log ax 的图象过点(1,0)，且单调递减，函数 yx a(x0)的图象应单调递增，且当 x0,1) 时图象应在直线 yx 的上方，因此 A，B 均错，只有 D 项正确答案：D2若函数 yf( x)的定义域为
2、1,2，则 yf ( x)的定义域为( )log 12A1,4 B4,16C1,2 D 14，12解析：由 1 x2，log 12解得 x .故选 D.14 12答案：D3已知 alog 32，那么 log382log 36 用 a 表示为( )Aa2 B5a2C3a(1a) 2 D3aa 21解析：log 382log 36log 3232log 3(23)3log 3 22log 3 22log 3 3log 3 22a2.答案：A4设函数 f(x)log a|x|在(，0)上单调递增，则 f(a1)与 f(2)的大小关系是( )Af(a1) f(2) Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(
3、2) D不能确定解析：由已知得 0a1，所以 1a12，根据函数 f(x)为偶函数，可以判断 f(x)在(0， )上单调递减，所以 f(a1)f(2)答案：A5已知函数 f(x)log 0.5(x2 ax4a) 在2，) 上单调递减，则 a 的取值范围是( )A(，4 B4，)C2,4 D( 2,4解析：令 ux 2ax 4a.ylog 0.5u 在 (0，)上为单调减函数，ux 2ax4a 在2，)上是单调增函数且 u0，Error! 2a4，故选 D.答案：D6函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 y f(x)的图象大致是( )log 12解析：由函数 yf( x)的图象知，当 x(0,
4、2)时，f (x)1，所以 log f(x)0.又函数 f(x)在12(0,1)上是减函数，在(1,2) 上是增函数，所以 ylog f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2) 上是减函12数结合各选项知，选 C.答案：C二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)7若函数 f(x)(2m3)x m23 是幂函数，则 m 的值为_ 解析：本题主要考查幂函数的概念由幂函数的定义可得 2m31，即 m1.答案：18方程 ln(32x2) log 23log 2 的解为_13解析：本题主要考查对数的运算因为 ln(32x2)log 23log 2 log 2 log 210，所以 32x21，解得
5、x0.13 (313)答案：x09函数 f(x) (x3)的单调递减区间为_log 18解析：本题主要考查复合函数的单调性首先令 x30，得 x3，即函数的定义域为(3， ) 又已知函数的底数为 ，而 g(x)x3 在 R 上单调递增，根据复合函数的单18调性，可知函数 f(x) (x 3)的单调递减区间为(3 ，) log 18答案：(3，)10若关于 x 的方程|log 3x| a(aR) 有 2 个解，则实数 a 的取值范围是_解析：设函数 y1|log 3x|，y 2a，则 y1Error!其图象为方程|log 3x|a 有 2 个解，函数 y1 与 y2 的图象有 2 个交点由图象可
6、知，此时 a0.答案：(0，)三、解答题11(本小题满分 12 分)已知幂函数 f(x)(m 2m1)x 5 m3 在(0，) 上是增函数，又 g(x)log a (a1)1 mxx 1(1)求函数 g(x)的解析式(2)当 x(t，a)时，g( x)的值域为(1，) ，试求 a 与 t 的值解：(1)因为 f(x)是幂函数，且在(0 ，)上是增函数，所以Error! 解得 m1，所以 g(x)log a .x 1x 1(2)由 0 可解得 x1 或 x1，x 1x 1所以 g(x)的定义域是(，1)(1 ，)又 a1，x(t ，a)，可得 t1，设 x1，x 2(1，)，且 x1x 2，于是
7、 x2x 10，x 110，x 210，所以 0，x1 1x1 1 x2 1x2 1 2x2 x1x1 1x2 1所以 .x1 1x1 1 x2 1x2 1由 a1，有 loga log a ，x1 1x1 1 x2 1x2 1即 g(x)在(1，)上是减函数又 g(x)的值域是(1，)，所以Error! 得 g(a)log a 1，可化为 a，a 1a 1 a 1a 1解得 a1 ，因为 a1，所以 a1 ，2 2综上，a1 ，t1.212(本小题满分 13 分)已知 f(x)为偶函数，且 x0 时，f(x) (a0)1a 1x(1)判断函数 f(x)在(0 ，)上的单调性，并说明理由；(2
8、)若 f(x)在 上的值域是 ，求 a 的值；12，2 12，2(3)求 x(，0)时，函数 f(x)的解析式解：(1)函数 f(x)在(0 ，)上是增函数理由如下：任取 x1，x 2(0，)，设 x1x 2，则f(x1)f (x2)( )( ) ，x 2x 10，1a 1x1 1a 1x2 1x2 1x1 x1 x2x1x2x 1x 20，x 1x20，f(x 1)f(x 2)0.即 f(x1)f(x 2)，f(x)在(0，)上为增函数(2)由(1)知函数 f(x)在区间 ，2上是增函数，12又 f(x)在 ，2上的值域为 ，2 ，12 12f( ) ，f(2)2，12 12即Error! ，解得 a .25(3)设 x(，0)，则x (0，)，f(x ) .1a 1 x 1a 1x又f(x )为偶函数，f(x)f(x) .1a 1x
