八年级数学上册 第六章 数据的分析同步辅导素材（打包9套）（新版）北师大版.zip

1中 考 方 差 新 意 多一 、 数 据 缺 失 题例 1 一 次 数 学 测 试 ， 某 小 组 五 名 同 学 的 成 绩 如 下 表 所 示 （ 有 两 个 数 据 被 遮 盖 ） ：组 员 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩得 分 81 79 ■ 80 82 ■ 80那 么 被 遮 盖 的 两 个 数 据 依 次 是 （ ）A． 80， 2 B． 80， 2 C． 78， 2 D． 78， 2分 析 ： 本 题 表 格 中 缺 失 了 丙 同 学 的 成 绩 和 五 个 成 绩 的 方 差 ， 首 先 根 据 平 均 数 的计 算 公 式 先 求 出 丙 的 得 分 ， 再 根 据 方 差 公 式 进 行 计 算 即 可 得 出 答 案 .解 ： 根 据 题 意 ， 得 80×5-（ 81+79+80+82） =78，s2=15×[（ 81-80） 2+（ 79-80） 2+（ 78-80） 2+（ 80-80） 2+（ 82-80） 2]=2．故 选 C．二 、 新 定 义 题例 2 统 计 学 规 定 ： 某 次 测 量 得 到 n 个 结 果 x1， x2， …， xn． 当 函 数 y=(x−x1)2+(x−x2)2+…+(x−xn)2 取 最 小 值 时 ， 对 应 x 的 值 称 为 这 次 测 量 的 “最 佳 近 似 值 ”． 若 某 次 测 量 得 到 5 个 结 果 为 9.8， 10.1， 10.5， 10.3， 9.8， 则 这 次 测 量 的“最 佳 近 似 值 ”为 .分 析 ： 新 定 义 的 最 佳 近 似 值 计 算 公 式 与 方 差 的 计 算 公 式 非 常 相 似 ， 根 据 方 差 的意 义 ， 要 取 得 最 佳 近 似 值 ， 需 要 x1， x2， …， xn 与 x 尽 可 能 的 接 近 ， 所 以 x 应是 所 有 数 字 的 平 均 数 .解 ： 根 据 题 意 ， 得 =9.80.539.=01.8 故 填 10.1.1分类讨论思想的应用例 1 一组数据：2，3，4， x 中，若中位数与平均数相等，则数 x 不可能是（ ）A.1 B.2 C.3 D.5解析：因为 x 的值不确定，所以中位数也不确定，必须分类求解.结合中位数的确定方法，可知 x 的取值分为三种情况：（1）当 x≤2 时，中位数为 5.23，平均数为 432x，所以5.243x，解得 x＝1；（2）当 2＜ x＜4 时，中位数为 2，平均数为 x，所以x，解得 x＝3；（3）当 x≥4 时，中位数为 5.4，平均数为 432x，所以24.5x，解得 x＝5. 故选 B.例 2 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加数学竞赛，在同等的条件下，老师查看了平时两名同学 10 次测验的成绩记录，下面是甲、乙两人的测验情况统计记录(其中乙得分为 98 分、99 分的得分次数被墨水污染看不清楚，但是老师仍有印象乙得 98 分、99 分的次数均不为 0)：94 95 96 97 98 99甲 1 2 1 3 2 1乙 0 4 0 3（1）求甲同学在前 10 次测验中的平均成绩.（2）根据前 10 次测验的情况，如果你是该班的数学老师，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由.(结果保留到小数点后第 1 位)解：（1）甲同学在前 10 次测验中的平均成绩是 945961739820＋ ＋ ＋ ＋ ＋=96.6（分）.（2）①若乙同学得 98 分的次数为 1，得 99 分的次数为 2，则乙同学前 10 次测验中的平均成绩是 49＋ ＋ ＋ ＋ ＋ =96.7（分）.在前 10 次测验中的平均成绩乙比甲好，这时应该选择乙参加数学竞赛.②若乙同学得 98 分的次数为 2，得 99 分的次数为 1，则乙同学前 10 次测验中的平均成绩是 94059607381＋ ＋ ＋ ＋ ＋ =96.6（分）.甲同学在前 10 次测验中的方差 2s甲 = ×［(94－96.6) 2＋2×(95－96.6) 2＋(96－96.6)2＋3×(97－96.6) 2＋2×(98－96.6) 2＋ (99－96.6) 2］=2.24，乙同学在前 10 次测验中的方差 乙 =10×［4×(95－96.6) 2＋3×(97－96.6)2＋2×(98－96.6) 2＋ (99－96.6) 2］=2.04.2因为 2s甲 ＞ 乙 ，在前 10 次测验中乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定，这时应选择乙参加数学竞赛.综上所述，应该选择乙参加数学竞赛.1学习方差两注意方差是用来衡量一组数据波动大小的（即偏离平均数的大小）重要统计量，在学习方差时应注意以下两个问题：一、为什么用方差描述一组数据的波动大小1.为什么不可以用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小呢？答：因为正负偏差会相互抵消，所以它们的和不能体现数据的波动情况．2.为了防止正、负偏差的相互抵消，为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？答：这是因为含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“能力”上，方差更强些．二、注意方差使用的前提方差是用来比较两组数据的波动大小的，值得注意的是，在实际情境中，只有在数据的平均数相等或比较接近时，才能用方差进行比较，否则一般不能用方差比较数据的波动大小，现举例说明．例 为了从甲、乙、丙三名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测验，三人在相同的条件下各射靶 10 次，命中环数如下：甲：7，8，6，6，5，9，10，7，4，8；乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；丙：7，5，7，7，6，6，6，5，6，5.（1）求 2S甲 ， 乙 ， 2丙 ．（2）你认为应该选拔哪位同学参加射击比赛？为什么？解析：（1）甲、乙、丙三名学生命中环数的平均数分别为 7x甲 ，x乙＝7， 6丙 ．方差分别为 22221[(7)(8)(87)]30S甲 ，2[(9)5]1.乙 ，2226()(56)01丙 ．（2）仅从方差看，丙的方差最小，成绩较稳定，如果凭此判断丙的成绩最好，则很明显是不合理的．这是因为 x甲 乙 丙 ，所以首先应把丙排除在外，比较甲、乙的方差可知 2S乙甲 ，说明乙的成绩较稳定，所以应选乙参加射击比赛．1形形色色的“权”一、整数形式例 1 某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：候选人 甲 乙 丙 丁面试 86 92 90 83测试成绩（百分制） 笔试 90 83 83 92如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6 和 4 的权，根据四人各自的平均成绩，公司将录取（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁分析：根据表中提供的数据，结合整数 6 和 4 的权，分别计算出四个人的平均成绩，进而进行比较.解：因为甲的平均成绩为 8901＝87.6，乙的平均成绩为92683410＝88.4，丙的平均成绩为 83＝87.2，丁的平均成绩为＝86.6，所以乙的平均成绩最高.故选 B.二、分数形式例 2 已知一组数据 4，13， 24 的权分别是 16， 3， 2，则这组数据的加权平均数是＿＿＿.分析：数据 4，13，24 的权分别是 ， ， ，代入加权平均数的公式计算即可.解： x＝4× 16+13×3+24× 12＝17.故填 17.三、百分数形式例 3 某公司欲招聘职员若干名，公司对候选人进行了面试和笔试（满分均为 100 分） ，规定面试成绩占 20%，笔试成绩占 80%.一候选人面试成绩和笔试成绩分别为 80 分和 95 分，该候选人的最终得分是＿＿＿分.分析：面试成绩占 20％，笔试成绩占 80％，由加权平均数公式列出式子计算即可.解：该候选人的最终得分是 80×20％+95×80％＝92（分）.四、比的形式例 4 某校规定学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按 3∶3∶4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是 90 分、90 分和 85分，则他本学期数学学期综合成绩是＿＿＿分.分析：把平时、期中和期末三项成绩的比例看做是它们的权，即平时、期中和期末三项成绩的权分别为 3，3，4，代入加权平均数公式计算可得.解：因为 9085=88，所以他本学期数学学期综合成绩是 88 分.1抓住本质 学好“三数”一、 “算算”平均数平均数反映的是一组数据中各个数据的平均水平，它与这组数据里的每个数据都有关系，其计算方法是：用一组数据的总和除以该组数据的个数.平均数通常包括算术平均数和加权平均数两种. 例 1 （2016 年上海）某校调查了 20 名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如下表所示： 次 数 2 3 4 5人 数 2 2 10 6那么这 20 名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）A．3 次 B．3.5 次 C．4 次 D．4.5 次解析：由题意可知，这一组数据的“权”分别为 2，2，10，6，由此代入公式计算即可.由题意，得 x= 6102543=4（次）.故选 C．二、 “排排”中位数一组数据的中位数与最大和最小的数据无关，确定一组数据的中位数只需要将这组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列.此时，位于最中间的数据若只有一个，则该数据就是这组数据的中位数；若有两个，则这两个数据的平均数就是这组数据的中位数.例 2（2016 年常德）张朋将连续 10 天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16，18，18，16，19，19，18，21，18，21．则这组数据的中位数是____.解析：数据从小到大排列为 16，16，18，18，18，18，19，19，21，21．位于中间的两个数都是 18，所以这组数据的中位数是 18．故填 18.三、 “数数”众数众数是指一组数据中出现次数最多的数据，因此只需要数一数每个数据出现的次数便可确定众数.例 3 （2016 年宜昌）在 6 月 26 日“国际禁毒日”来临之际，华明中学围绕“珍爱生命 远离毒品”主题，组织师生到当地戒毒所开展相关问题的问卷调查活动，其中“初次吸毒时的年龄”在 17 至 21 岁的统计结果如图所示，则这些年龄的众数是（ ）A．18 岁 B．19 岁 C．20 岁 D．21 岁2解析：观察条形统计图知，20 岁的人数最多，超过 30 人，所以这些年龄的众数是 20岁．故选 C．1方差中考“备忘录”考点 1 方差的计算例 1 已知一组数据：1，3，5，5，6，则这组数据的方差是（ ）A.16 B.5 C.4 D.3.2 解析：因为 x＝ 56＝4，所以 s2＝222214364  ＝3.2．故选 D.考点 2 方差性质的运用例 2 已知一组数据 x1， x2，…， xn的方差是 s2，则新的一组数据ax1+1， ax2+1，…， axn+1（ a 为常数， a≠0）的方差是＿＿＿（用含 a， s2的代数式表示）．解析：设数据 x1， x2，…， xn的平均数 ＝ n21，方差 s2＝ 1n[(x1－ )2+(x2－ )2+…+(xn－ )2]．新数据组的平均数＝ 121naax ＝ nx)(21 ＝ a +1，方差s′ 2＝ n[(ax1+1－ a －1) 2+(ax2+1－ a －1) 2+…+(axn+1－ a －1) 2]＝ 1n[(ax1－ ax)2+(ax2－ ax)2+…+(axn－ ax)2]＝ 1[a2(x1－ )2+ a2 (x2－ )2+…+a2(xn－ )2]＝ a2× [(x1－ )2+(x2－ )2+…+(xn－ )2]＝ a2s2.故填 a2s2．考点 3 创新与开放例 3 已知 A 组数据如下：0，1，－2，－1，0，－1，3.（1）求 A 组数据的平均数；（2）从 A 组数据中选取 5 个数据，记这 5 个数据为 B 组数据.要求 B 组数据满足两个条件：①它的平均数与 A 组数据的平均数相等；②它的方差比 A 组数据的方差大.你选取的 B 组数据是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，请说明理由.解：（1）由条件，得 A 组数据的平均数 Ax＝ 17×（0+1－2－1+0－1+3）＝0.（2）答案不唯一.如，选取的 B 组数据是：1，－2，－1，－1，3.因为 Bx＝ 5×（1－2－1－1+3）＝0，所以 B＝ A.2As＝ 7×（0 2+12+22+12+02+12+32）＝ 67， 2s＝ 5×（1 2+22+12+12+32）＝ 165．2因为 167＜ 5，所以数据 1，－2，－1，－1，3 符合题意.1方差比大小 两招少不了一、公式比较法例 1 八年级（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各 10 人的比赛成绩（10分制）如下表：甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是 1.4，则成绩较为整齐的是___________队.解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为 7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是 9102=9.5，则中位数是 9.5 分；乙队中 10 出现了 4 次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是 10 分.（2）乙队的平均成绩是 （7+8×2+9×3+10×4）=9，方差是 10[（7－9） 2+（8－9） 2×2+（9－9） 2×3+（10－9） 2×4]=1.（3）因为甲、乙两队的平均成绩均为 9 分，甲队成绩的方差是 1.4，乙队成绩的方差是 1，所以成绩较为整齐的是乙队.点评：求一组数据的方差可以简记为：先求平均数，再求差，然后平方，最后平均．公式比较法的本质是利用公式计算两组数据的方差，进而进行比较．跟踪训练：1． 为测试两种电子表的走时误差，做了如下统计：平均数 方差甲 0.4 0.026乙 0.4 0.137则这两种电子表走时稳定的是 ．二、折线统计图比较法例 2 小华和小苗练习射击，两人的成绩如图1 所示，小华和小苗两人成绩的方差分别为 21s， ，根据图中的信息判断两人方差的大小关系为________．分析：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大，反之也成立．解：由图可知小苗这 10 次成绩偏离平均数较大，即波动较大，而小华这 10 次成绩，分布比较集中，偏离平均数较小，即波动较小，所以 21s＜ ．点评：“折线统计图比较法”适合比较已经给出折线统计图的两组数据的方差,运用它比较两组数据的波动情况非常直观．跟踪训练：2． 甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图 2 所示，那么三人中成绩最稳定的是_________．跟踪训练答案：1.甲 2.乙1方差越小越好吗例 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加全市中学生运动会，在最近的 10次选拔赛中，他们的成绩（单位：m）如下：甲：5.85 5.96 6.10 5.98 6.12 5.97 6.04 6.00 6.13 6.01乙：6.13 6.18 5.80 5.74 6.18 5.93 5.85 5.90 5.98 6.24(1)甲、乙这 10 次比赛成绩的方差分别是多少？(2)这两名运动员的运动成绩各有什么特点？(3)历届比赛表明，成绩达到 5.96m 就很可能夺冠，你认为为了夺冠应该选谁参加比赛?(4)如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10m 就能打破记录，那么你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？分析：先分别求出这两组数据的平均数，然后运用方差公式求出方差；再根据实际情况进行相关的解答.解：(1)两组数据的平均数分别为： 15.896.010x甲 6.（m） ，16.386.24.930x乙(m）.两组数据的方差分别为： 2222S5.15.016.011  甲=0.006 584，6.396.893.45930乙=0.028 421.(2)甲的成绩比乙稳定，但乙有几次的成绩特别好，如果发挥得好，乙的成绩会比甲好；(3)因为在 10 次比赛中，甲运动员有 9 次成绩超过 5.96 m，而乙仅有 5 次，并且2S乙甲，甲的成绩比乙更稳定，所以为了夺冠应该选甲运动员参加这项比赛；(4)虽然 2S乙甲 ，甲运动员的成绩更稳定，但甲运动员只有一次达到 6.10 m，2 次超过 6.10 m，而乙运动员则有 4 次超过 6.10 m，所以要打破 6.10 m 的跳远记录，应该选乙运动员参加比赛.温馨提示：运用方差进行有关决策时，要注意方差只是反映一组数据波动大小的统计量，并不是说方差小了就一定好，而要根据具体问题具体分析.1确定“三数”三字诀一、 “算”出来的平均数n 个数据 1x， 2，…， nx的平均数 与每个数据的大小都有关，确定一组数据的平均数需要通过公式 ＝ （ 1＋ 2＋…＋ n）进行计算．例 1 2016 年 5 月某日，我国部分城市的最高气温统计如下表所示：城 市 武汉 成都 北京 上海 海南 南京 拉萨 深圳气温（℃） 27 27 24 25 28 28 23 26请问这组数据的平均数是（ ）A.24 B.25 C.26 D.27解析：这组数据的平均数 x＝ 274258236＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝26.故选 C．温馨提示：本题也可以采用加权平均数公式 1kxfxfn…求解，其中 1f，2f， …， kf分别代表各数据 1x， 2，…， k的权（即出现的次数） ，且 1f＋ 2＋…＋kf＝ n．二、 “排”出来的中位数一组数的中位数与最大和最小的数据无关，确定一组数据的中位数只需要将这组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，此时，位于最中间的数据如果只有一个，则该数据就是这组数据的中位数；如果有两个，则中位数是这两个数据的平均数．例 2 七（1）班的 6 位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6，则这组数据的中位数是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9解析：将这 6 个数据按照由大到小的顺序排列为：12，10，9，7，6，6，位于最中间的是 9 和 7，所以这组数据的中位数是 728.故选 C．温馨提示：有 n 个数据，当 n 为奇数时，最中间一个是第 12n个；当 n 为偶数时，位于最中间的两个分别是第 2和 1个．三、 “数”出来的众数众数是指一组数据中出现次数最多的数据，所以确定众数时，只需要数一数每个数据出现的次数便可确定．例 3 某校 9 名同学的身高(单位：cm)分别是：163，165，167，164，165，166，165，164，166，则这组数据的众数为 ．解析：这组数据中 165 出现了 3 次，出现的次数最多，所以众数是 165．温馨提示：确定众数时注意：不要错将出现的次数误当为众数；众数有时不止一个．回顾：（1）平均数、中位数和众数描述的角度和适用范围不同．2（2）一组数据中平均数和中位数是唯一的，而众数则不一定唯一．（3）在实际问题中三者都有单位．（4）在具体问题中采用哪个特征数来描述一组数据的“平均水平” ，要看数据的特点和我们所关心的问题而定.