八年级数学下册 第十七章 勾股定理名师导学课件（打包4套）（新版）新人教版.zip

23415课前预习………………课堂导学………………课后巩固………………核心目标………………能力培优………………….17.1 勾股定理 (一 )核心目标经历探究勾股定理的过程，了解勾股定理的证明方法；会用勾股定理进行简单计算．课前预习1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a， b，斜边长为 c，那么 ____________．2．根据图形填空：(1)图 ① 中 c＝ __________；(2)图 ② 中 b＝ __________．a2＋ b2＝ c21012课堂导学知识点： 勾股定理【例题】已知：如右图，在 △ABC中， ∠C＝ 90°， D是 BC的中点，AB＝ 10， AC＝ 6.求 AD的长度．【解析】首先利用勾股定理得出 BC的长，得出 DC＝ 4,进而求出 AD的长．【答案】解：在 Rt△ABC中，由勾股定理，得： BC＝＝＝ 8. ∴BD＝ CD＝ 4. ∴AD＝＝＝ 2.【点拔】题主要考查了勾股定理，得出 BC的长是解题关键．课堂导学对点训练1．在 Rt△ABC中， ∠C＝ 90°.(1)若 a＝ 5 ， b＝ 12, 则 c＝ __________； (2)若 a＝ 6, c＝ 10, 则 b＝ __________．第 1题图 138课堂导学3．如下图，等腰 △ABC中，AB＝ AC， AD是底边上的高，若 AB＝ 10 cm， BC＝ 12 cm，则 AD＝ __________． 第 3题图 2．三个正方形的面积如上图所示，则正方形 A的边长是 __________. 第 2题图 68课堂导学4．在 Rt△ABC中， ∠C＝ 90°， a∶b＝ 3∶4， c＝25 cm，则 a＝ __________．5155．如上图，在 △ABC中，AD⊥ BC，垂足为 D.若 AD＝4,BC＝ 7,∠B＝ 45°，则 AC边的长是 _______． 第 5题图课堂导学6． △ABC中， ∠C＝ 90°， BC＝ 3， AB＝ 5，CD⊥ AB于 D， (1)求 AC长；(2)求 CD长． (1)由勾股定理得 AC＝ ＝ 4；(2)S△ABC＝ AB ·CD＝ AC ·BC，则 5CD＝ 3×4， ∴CD＝ .课后巩固7．在 Rt△ABC中， ∠C＝ 90°.(1)若 a＝ b＝ 1，则 c＝ __________；(2)若 a＝ 5， c＝ 13，则 b＝ __________；(3)若 c＝ 3， b＝ ，则 a＝ __________；(4)若 a∶b ＝ 3∶4, c＝ 10，则 a＝ __________，b＝ __________．8 1226课后巩固8．如下图，写出下列图形阴影部分的面积 (将结果填在相应的横线上 )：(1) (2)(1)S＝ __________；(2)S＝ __________．4π259．点 P(6，－ 8)到原点的距离是 __________．10课后巩固10．等边三角形的边长为 2，则等边三角形的高 为 __________，面积为 __________．3第 12题图12．如上图， Rt△ABC中， ∠B＝ 90°， AB＝ 3 cm， AC＝ 5 cm，将 △ABC折叠，使点 C 与 A重合，得折痕 DE，则 △ABE的周长等于 ______．7第 11题图11．如下图，在 △ABC中， ∠C＝ 90°， ∠A＝ 30°， BC＝ ，则 AC的长为 __________．课后巩固(1)∵AB＝ AC， ∴∠B＝ ∠ACB， ∵∠A＝ 40°，∴∠B＝ ∠ACB＝ 70°， ∵CD⊥ AB，∴∠BDC＝ 90°， ∴∠DCB＝ 20°；13．已知 △ABC中， AB＝ AC，CD⊥ AB于 D.(1)若 ∠A＝ 40°，求 ∠DCB的度数；(2)若 AB＝ 10， CD＝ 8，求 BD的长．(2)∵CD⊥ AB， AB＝ AC＝ 10， CD＝ 8， ∴AD＝ ＝ 6， ∴BD＝ 10－ 6＝ 4.课后巩固14．如下图， Rt△ABC中， ∠C＝ 90°， AD平分∠CAB， DE⊥ AB于 E， CD＝ 3.(1)求 DE的长；(2)若 AC＝ 6， AB＝ 10，求 BD的长．(1)∵AD平分 ∠BAC,DC⊥ AC,DE⊥ AB,∴DE＝ DC＝ 3.(2)在 Rt△ABC中，由勾股定理得BC2＝ AB2－ AC2＝ 64∴BC＝ 8∴BD＝ BC－ CD＝ 5.课后巩固15．已知：如下图， AD＝ 4， CD＝3， ∠ADC＝ 90°， AB＝ 13， ∠ACB＝ 90°，求图形中阴影部分的面积．在 Rt△ACD中， AC＝ ＝ 5，在 Rt△ABC中， BC＝ ＝ 12，∴S△ABC＝ ×5×12＝ 30，S△ACD＝ ×4×3＝ 6，∴阴影部分面积为 30－ 6＝ 24.课后巩固16．如下图，已知 △ABC中， CD⊥ AB于点 D，若 AB＝ 5， BC＝ 4， ∠BCD＝ 30°，求AC的长．Rt△BCD中， ∠BCD＝ 30°， ∴BD＝ BC＝ 2，∴CD＝ ＝ 2 ， Rt△ACD中，AD＝ AB－ BD＝ 3，∴AC＝ ＝ .能力培优17．如下图，在 △ABC中， ∠ACB＝ 90°， AC＝ BC， E是BC上的一点，过点 C作 CF⊥AE 于 F，过 B作 BD⊥CB 交 CF的延长线于点 D.(1)求证： AE＝ CD；(1)∵DB⊥CB ， CF⊥ AE，∴∠CBD＝ ∠AFC＝ ∠ACB＝ 90°，∴∠BCD＋ ∠ACF＝ 90°，∠CAE＋ ∠ACF＝ 90°，∴∠CAE＝ ∠BCD又 ∠ACE＝ ∠CBD，AC＝ CB， ∴△ACE≌△CBD， ∴AE＝ CD；能力培优17．如下图，在 △ABC中， ∠ACB＝ 90°， AC＝BC， E是 BC上的一点，过点 C作 CF⊥AE 于 F，过 B作 BD⊥CB 交 CF的延长线于点 D.(2)若 BD＝ 5 cm， BC＝ 12 cm，求 CF的长．(2)在 Rt△BCD中，由勾股定理得 CD＝ ＝ 13，由 (1)得 △ACE≌△CBD， ∴CE＝ BD＝ 5，AE＝ CD＝ 13， AC＝ CB＝ 12，由 CF·AE＝ CE·AC，得 CF＝ .感谢聆听23415课前预习………………课堂导学………………课后巩固………………核心目标………………能力培优………………….17.1 勾股定理 (二 )核心目标能运用勾股定理解决实际生活中的应用．课前预习81．如下图，从电线杆离地面 6 m处向地面拉一条长 10 m的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 __________m. 第 1题图2．如上图，大风把一棵大树刮断，折断的一端恰好落在地面上的 A处，量得 BC＝ 5 m， AC＝ 12 m，则这棵大树的高度为 _________．第 2题图18m课堂导学知识点： 勾股定理的实际应用【例题】一架梯子长 25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了 4米到 A′，那么梯子的底 端在水平方向滑动了几米？【解析】 (1)利用勾股定理直接得出 AB的长即可；(2)利用勾股定理直接得出 BC′的长，进而得出答案．课堂导学【答案】 (1)由题意得： AC＝ 25米， BC＝ 7米，AB＝ ＝ 24(米 )，答：这个梯子的顶端距地面有 24米；(2)由题意得： BA′＝ 20米，BC′＝ ＝ 15(米 )，则 CC′＝ 15﹣ 7＝ 8(米 )．答：梯子的底端在水平方向滑动了 8米．【点拔】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键． 课堂导学对点训练1 .如果梯子的底端离建筑物 9米，那么 15米长的梯子可以到达建筑物的高度是 __________米．126 2.如下图，市政府准备修建一座过街天桥，已知地面 BC为 8米，则桥的坡面 AC是 10米．则此街道的交通 “ 限高 ” 为 __________米．课堂导学1201003.如上图示 (单位： mm)的矩形零件上两孔中心 A和 B的距离为 ________mm.4.如右图，小明欲横渡一条河， 由于水流的影响， 实际上岸地点 C偏离欲到达地点 B相距 50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多 10米，求该河的宽度 AB为 __________米．第 4题图课堂导学5.如下图，将长为 2.5米长的梯子 AB斜靠在墙上，BE长 0.7米．(1)求梯子上端到墙的底端 E的距离 (即 AE的长 )；(1)由题意得： AB＝ 2.5米， BE＝ 0.7米， ∵AE2＝ AB2－ BE2，∴AE＝ ＝ 2.4米；课堂导学5.如下图，将长为 2.5米长的梯子 AB斜靠在墙上，BE长 0.7米．(2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑 0.4米 (即 AC＝ 0.4米 )，则梯脚 B将外移 (即 BD长 )多少米？由题意得： EC＝ 2.4－ 0.4＝ 2(米 )，∵DE2＝ CD2－ CE2，∴DE＝ ＝ 1.5(米 )，∴BD＝ 0.8米．课后巩固(1)∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ACB＝ ∠DCB＝ 45°，∵AC＝ CE，∴∠CAE＝ ∠AEC，又 ∠ACB＝ ∠CAE＋ ∠AEC，∴∠E＝ 22.5°；6.如下图， E是正方形 ABCD的边 BC延长线上的点，且 CE＝ AC.(1)求 ∠E的度数；课后巩固(2)在 Rt△ABC中根据勾股定理得，6.如下图， E是正方形 ABCD的边 BC延长线上的点，且 CE＝ AC.(2)若 AB＝ 3 cm，请求出 △ACE的面积．课后巩固7.某消防队进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为 12米，即 AD＝ BC＝ 12米，此时建筑物中距地面 12.8米高的 P处有一被困人员需要救援，已知消防云梯的车身高 AB是 3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？由题意可知： AB＝ CD＝ 3.8米， AD＝ 12米，PC＝ 12.8米， ∠ADP＝ 90°，∴PD＝ PC－ CD＝ 9米，在 Rt△ADP中， AP＝ ＝ 15米 课后巩固8.如下图，两艘军舰同时从某军港口出发执行任务，甲舰以 30海里 /时的速度向西北方向航行，乙舰以40海里 /时的速度向西南方向航行， 1.5小时后两舰相距多远？由题意，得 ∠AOB＝ 90°，OA＝ 30×1.5＝ 45，OB＝ 40×1.5＝ 60，∴AB＝ ＝ 75(海里 )．课后巩固9.如下图，在离水面高度 (AC)为 2米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为 30°，此人以每秒 0.5米的速度收绳子．问：(1)未开始收绳子的时候，图中绳子 BC的长度是多少米？(1)在 Rt△ABC中，∠B＝ 30°，∴BC＝ 2AC＝ 4；课后巩固9.如下图，在离水面高度 (AC)为 2米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为 30°，此人以每秒 0.5米的速度收绳子．问：(2)收绳 2秒后船离岸边多少米？ (结果保留根号 )(2)收绳 2秒后，绳子 BC缩短了 1米，此时绳子有 3米，即 CD＝ 3米，在 Rt△ACD中，根据 得 AD= = 米 ，即收绳 2秒后船离岸边 米．能力培优10.强台风过境时，斜坡上一棵 6 m高的大树被刮断，已知斜坡中 α＝ 30°，大树顶端 A与底部 C之间为 2 m，求这棵大树的折断处与底部的距离 BC?作 AH⊥BC 于点 H，在 Rt△ACH中，AC＝ 2， ∠CAH＝ 30°， ∴CH＝ 1，AH＝ ，设 BC＝ x，则 BH＝ x－ 1，AB＝ 6－ x，在 Rt△ABH中，(6－ x)2－ (x－ 1)2＝ ( )2，解得： x＝ 3.2 m.感谢聆听23415课前预习………………课堂导学………………课后巩固………………核心目标………………能力培优………………….17.2 勾股定理的逆定理核心目标了解互逆命题和互逆定理的概念；掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形．课前预习1.勾股定理的逆定理的内容：______________________________________________________________________________________.如果三角形的三边长 a， b， c满足 a2＋ b2＝ c2，那么这个三角形是直角三角形．互逆命题2.题设和结论正好相反的两个命题叫做___________________________________________.课前预习3.“ 两直线平行，同位角相等 ” 的逆定理是__________________________________________.同位角相等 两直线平行 4.下列各组数能构成直角三角形的是 _______ (选填序号 )① 5 ， 6， 7 ② 2， 3， 4③ 2， 2， 1 ④ 5， 12， 13④课堂导学知识点 1： 勾股定理的逆定理【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【答案】 B【点拔】判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长 ,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．B【例 1】下列各组数中，能构成直角三角形的是 ( )A． 2， 3， 4 B． 3， 4， 5C． 6， 8， 12 D ． 课堂导学对点训练一1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是 ( )A． 5， 6， 7 B． 2， 3， 4C． 2， 2， 1 D． 5， 12， 132.下列各组线段中，能构成直角三角形的是 ( )A． 1， 2， 3 B． 7， 8， 9C． 6， 8， 10 D． 5， 7， 9DC课堂导学3.由线段 a， b， c组成的三角形是直角三角形的是 ( )A． a＝ 1， b＝ 1， c＝ 2 B． a＝， b＝ 1， c＝ 1C． a＝ 4， b＝ 5， c＝ 6D． a＝ 1， b＝ 2， c＝D课堂导学知识点 2：互逆命题和互逆定理 )【例 2】下列命题中，逆命题是假命题的是 ( )A．两直线平行，同位角相等B．直角三角形的两个锐角互余C．等腰三角形的两个底角相等D．全等三角形的对应角相等D课堂导学【解析】先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【答案】 D【点拔】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题．课堂导学5.命题 “ 对顶角相等 ” 的逆命题是 _________________________________________，这个是 ______________命题 (选填真或假 )．4.命题 “ 直角三角形两个锐角互余 ” 的逆命题是________________________________________，这个是_________命题 (选填真或假 )．6.定理 “ 等腰三角形两底角相等 ” 的逆定理为_________________________________________________.有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角互余的三角形是直角三角形真相等的两个角是对顶角 假对点训练 二课堂导学知识点 3：勾股定理及其逆定理的综合应用【例 3】已知：如右图， AB＝ 3， A＝ 4， AB⊥ AC，BD＝ 12， CD＝ 13，(1)求 BC的长度；(2)证明： BC⊥BD.课堂导学【解析】 (1)根据勾股定理求得 BC的长度；(2)根据勾股定理的逆定理进行证明．解： (1)∵AB＝ 3， AC＝ 4， AB⊥ AC，∴BC＝ ＝ 5(2)∵BC2＋ BD2＝ 52＋ 122＝ 169.CD2＝ 132＝ 169∴BC2＋ BD2＝ BC2， ∴∠CBD＝ 90°.即 BC⊥BD.【点拔】此题综合运用了勾股定理及其逆定理．课堂导学对点训练 三7.如下图，在 △ABC中， AB＝ 15， AC＝ 20， BC ＝ 25， AD是 BC边上的高，(1)判断 △ABC的形状，并说明理由；(1)△ABC为直角三角形，理由如下：∵AB2＋ AC2＝ 625， BC2＝ 625，∴AB2＋ AC2＝ BC2，∴∠BAC＝ 90°， ∴△ABC是直角三角形；课堂导学7.如下图，在 △ABC中， AB＝ 15， AC＝ 20， BC ＝ 25， AD是 BC边上的高，(2)求 AD的 长 .课堂导学8.如下图，在 △ABD中，∠A＝ 90°， AB＝ 3， AD＝ 4，BC＝ 12， DC＝ 13，求四边形 ABCD的面积．在 Rt△ABD中， BD＝ ＝ 5， △BCD中， BC2＋ BD2＝ 52＋ 122＝ 169， CD2＝ 169，∴BC2＋ BD2＝ DC2， ∴△BCD是直角三角形，∴S四边形 ABCD＝ S△ABD＋ S△BDC＝ AD·AB＋ BD·BC ＝ 36.课后巩固9.以下列各组数为边，不能构成直角三角形的是 ( )A． 1， 2， 3 B． 3， 4， 5 C． 6， 8， 10 D． 7， 24， 2510.下列各组数为勾股数的是 ( )A． 6， 12， 13 B． 3， 4， 7C． 8， 15， 16 D． 5， 12， 13AD课后巩固11.命题： ① 对顶角相等； ② 两直线平行，内错角相等； ③ 全等三角形的对应边相等．其中逆命题为真命题的有 ( )A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 12.如下图，四边形 ABCD中， ∠B＝ 90°，且 AB＝ BC＝ 2， CD＝ 3， DA＝ 1, 则 ∠DAB的度数 ( )A． 90° B． 120° C． 135° D． 150°CC课后巩固13.已知：如下图， △ABC中， CD⊥ AB于 D点，AC＝ 4， BC＝ 3， DB＝ . (1)求 AB的长；(1)在 Rt△CDB中， DC＝ ＝ ，在 Rt△ACD中， AD＝ ＝ ，∴AB＝ AD＋ DB＝ 5.课后巩固(2)△ABC是直角三角形， ∵AC2＋ BC2＝ 25， AB2＝ 25， ∴AC2＋ BC2＝ AB2，∴△ABC是直角三角形．13.已知：如下图， △ABC中， CD⊥ AB于 D点，AC＝ 4， BC＝ 3， DB＝ .(2)猜想： △ABC是什么特殊三角形，并证明你的猜想．课后巩固14.如下图，已知 △ABC中， AB的垂直平分线交 BC于 D， AC的垂直平分线交 BC于 E， M， N为垂 足，若 BD＝ 3， DE＝ 4， EC＝ 5，求 ∠B的度数．课后巩固连结 AD， AE.则 ∴AD＝ BD＝ 3， AE＝ CE＝ 5，∵AD2＋ DE2＝ 9＋ 16＝ 25， AE2＝ 25，∴AD2＋ DE2＝ AE2，∴△ADE是直角三角形，∴∠ADB＝ ∠ADE＝ 90°，∴△ADB是等腰直角三角形， ∴∠B＝ 45°.能力培优15.如下图，点 D是 △ABC内一点，把 △ABD绕点 B顺时针方向旋转 60°得到 △CBE,若 AD＝ 4,BD＝ 3,CD＝ 5.(1)判断 △DEC的形状，并说明理由；(1)△DEC是直角三角形，理由：由题意得△CEB≌△ADB，∴EC＝ AD＝ 4， BD＝ BE，又 ∵∠DBE＝ ∠ABC＝ 60°， ∴△DBE为等边三角形，∴DE＝ BD＝ 3， ∴DE2＋ EC2＝ CD2，∴△DEC为直角三角形．能力培优(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC＝ 90°，又 ∵△BDE为等边三角形，∴∠BED＝ 60°，故 ∠BEC＝ 90°＋ 60°＝ 150°，即 ∠ADB＝ 150°.15.如下图，点 D是 △ABC内一点，把 △ABD绕点 B顺时针方向旋转 60°得到 △CBE,若 AD＝ 4,BD＝ 3,CD＝ 5.(1)判断 △DEC的形状，并说明理由；(2)求 ∠ADB的度数 .感谢聆听21专题解读………………知识网络………………章末小结知识网络专题解读专题一：勾股定理【例 1】长方形纸片 ABCD中， AD＝ 4 cm， AB＝ 10 cm，按如右图方式折叠，使点 B与点 D重合，折痕为 EF，求 DE的长．专题解读【解析】在折叠的过程中， BE＝ DE ． 从而设 BE＝DE＝ x，则 AE＝ 10－ x ． 在 Rt△ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案】解：设 DE＝ BE＝ x，则 AE＝ AB－ BE＝ 10－ x ． 在 Rt△ADE中，由勾股定理，得： DE2＝ AE2＋ AD2，即 x2＝ (10﹣ x)2＋ 16，解得 x＝ .∴DE的长为 cm.【点拔】解答此类问题时，要注意发现折叠的对应线段相等．专题解读1.如下图，点 E在正方形 ABCD内，且∠AEB＝ 90°,AE＝ 3， BE＝ 4，则阴影部分的面积是 ( )A.19 B.15 C.12 D.6专题训练一A2.在 △ABC中， AB＝ AC＝ 10， BD是 AC边上的高， DC＝ 2，则 BD等于 ( )A.3 B.4 C.6 D.8C专题解读C3.如下图，矩形纸片 ABCD中， AB＝ 4， AD＝ 3，折叠纸片使 AD边与对角线 BD重合，折痕为 DG，则AG的长为 ( ) A． 1 B. C. D． 2 专题解读4.如下图所示， △ACB和 △ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB＝ ∠ECD＝ 90°， D为 AB边上一点．(1)求证： △ACE≌△BCD；(2)若 AD＝ 5， BD＝ 12，求 DE的长．(1)∵△ACB和 △ECD都是等腰直角三角形，∴AC＝ BC， EC＝ DC.∵∠ACE＝ ∠DCE－ ∠DCA，∠BCD＝ ∠ACB－ ∠DCA，∠ACB＝ ∠ECD＝ 90°，∴∠ACE＝ ∠BCD.又 AC＝ BC， EC＝ DC， ∴△ACE≌△BCD；专题解读4.如下图所示， △ACB和 △ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB＝ ∠ECD＝ 90°， D为 AB边上一点．(1)求证： △ACE≌△BCD；(2)若 AD＝ 5， BD＝ 12，求 DE的长．(2)由 △ACE≌△BCD，∴∠EAC＝ ∠B，又 ∠BAC＝ ∠B＝ 45°，∴∠EAD＝ ∠EAC＋ ∠BAC＝ 90°，即 △EAD是直角三角形，∴DE＝ ＝ 13.专题解读专题二：勾股定理的逆定理【解析】 (1)由非负数的性质可求 a， b， c的值； (2)利用勾股定理的逆定理即可判断以 a， b， c为边能否构成直角三角形．【例 2】已知 a,b,c满足︱ a－ 2 ︱＋ ＋ (c－ )2＝ 0，求：(1)a， b， c的值．(2)试问以 a， b， c为边能否构成直角三角形？专题解读【答案】解： (1)由条件得：a－ 2 ＝ 0， b－ 3＝ 0， c－ ＝ 0.∴a＝ 2 ， b＝ 3， c＝ ；(2)∵b2＋ c2＝ 32＋ ( ) 2＝ 20， a2＝ 20，∴b2＋ c2＝ a2，∴以 a， b， c为边能构成直角三角形．【点拔】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a， b， c满足 a2＋ b2＝ c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，正确求出 a，b， c的值是解题的关键．专题解读专题训练 二5.已知 a、 b、 c是三角形的三边长，如果满足 (a－ 6)2＋ ＋︱ c－ 10︱＝ 0，则三角形的形状是 ( )A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形 D专题解读6.三角形的三边长 a， b， c满足 2ab＝ (a＋ b)2－ c2，则此三角形是 ( )A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．等边三角形7.已知 △ABC的三边长分别为 5， 13， 12，则 △ABC的面积为 ( )A． 30 B． 60 C． 78 D．不能确定 AC专题解读专题三：勾股定理及其逆定理的综合运用【例 3】如右图， △ABC中，已知 AB＝ AC， D是 AC上的一点， CD＝ 9，BC＝ 15， BD＝ 12，(1)证明： △BCD是直角三角形；(2)求： △ABC的面积．专题解读【解析】 (1)利用勾股定理的逆定理即可直接证明△BCD是直角三角形；(2)设 AD＝ x，则 AB＝ AC＝ x＋ 9，在直角 △ABD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程，即可求解．【答案】 (1)证明： ∵CD＝ 9， BD＝ 12，∴CD2＋ BD2＝ 81＋ 144＝ 225.∵BC2＝ 225.∴CD2＋ BD2＝ BC2.∴△BCD是直角三角形．专题解读(2)解：设 AD＝ x，则 AB＝ AC＝ x＋ 9.在 Rt△ABD中，由勾股定理，得：(x＋ 9)2＝ x2＋ 122，解得 x＝ ，∴AC＝ ＋ 9 ＝，∴S△ABC＝ AC·BD＝ 75.【点拔】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．专题解读专题训练 三8.如下图所示的一块地， AB＝ 3， CB＝ 4， ∠ABC＝ 90°，CD＝ 13， AD＝ 12.求这块 地的面积． 连接 AC，由勾股定理可知 AC＝ ＝ 5，又 ∵AC2＋ AD2＝ 169， CD2＝ 169，∴AC2＋ AD2＝ CD2， ∴△ACD是直角三角形故所求面积＝ S△ACD－ S△ABC＝ ×5×12－ ×3×4＝ 24(m2)专题解读9.如下图， AD⊥ BC，垂足为D.CD＝ 1， AD＝ 2， BD＝ 4.求证： ∠BAC＝ 90°.∵AD⊥ BC， ∴∠ADC＝ ∠ADB＝ 90°；由勾股定理可得 AC2＝ AD2＋ CD2＝ 5，AB2＝ AD2＋ BD2＝ 22＋ 42＝ 20；∴AC2＋ AB2＝ 25；∵BC2＝ (BD＋ CD)2＝ 52＝ 25；∴AC2＋ AB2＝ BC2； ∴△ABC是直角三角形；∴∠BAC＝ 90°；感谢聆听