1、1,1.2 线性移不变系统 Linear Shift-Invariant(LSI) System,主要内容 离散时间系统及其表示方式系统的线性、移不变性、因果性和稳定性卷积和运算线性移不变系统的性质,2,离散时间系统及其表示方式,定义：对输入序列做某种运算后输出另一个序列的设备，可表示为：为输入序列， 为输出序列,3,离散时间系统举例,举例：,理想延时系统,滑动平均系统moving average system,4,下面等式不一定成立,设 ，则,T只是一个表示系统的符号，不是一个具体的公式。上面等式两边的含义是不同的,5,线性系统,概念：满足叠加原理(superposition princip
2、le)的系统称为线性系统。叠加原理可分为两个特性： 可加性additivity：齐次性homogeneity：,为任意常数,6,线性系统,上述两个特性也可综合表示为：可证明：对于线性系统下式成立,可用归纳法,7,线性系统分析举例,给定系统 （1）（2）（3）判断系统是否是线性系统,Yes,Yes,No,8,移不变系统,输入序列的移位仅引起输出序列做相同移位的系统，表示为：,9,移不变系统分析举例,给定系统 （1）（2）判断系统是否是移不变系统,Yes,No,10,线性移不变系统,同时具有线性和移不变性的系统称为线性移不变系统（Linear shift invariant, LSI），也可称为线
3、性时不变系统（LTI）LTI系统是数字信号处理中主要研究的系统，除非特别指明，一般的系统都是LTI的,11,系统的因果性Causality,输出序列在 的值仅与输入序列在 的值有关，这种系统称为因果系统因果系统反映了因在前（输入在前），果在后（输出在后）的逻辑特点，也是保证实时系统可实现的必要条件。,12,系统的因果性Causality,判断：前向差分系统和后向差分系统，哪个是因果系统？,13,系统的稳定性Stability,任意输入序列，只要它是有界的，系统输出一定也是有界的，称为稳定系统，BIBO, Boundary input, boundary output累加器系统是稳定的吗？稳定系
4、统是保证系统输出无害或不饱和的关键,No.,14,总结系统的四大特性,线性系统： 满足叠加原理 移不变系统： 输入移位，输出也做相同移位 因果系统： 因在前（输入在前），果在后（输出在后） 稳定系统： 输入处处非无限，则输出也处处非无限,15,系统的单位冲激响应,定义：当输入序列为单位冲激序列时系统的输出称为系统的单位冲激响应，简称为冲激响应，表示为：所有系统都有单位冲激响应，但是只有LTI系统的单位冲激响应才具有重要意义 给出累加器系统的单位冲激响应？,16,系统的单位冲激响应,在时域，除了用输入输出关系式表示一个LTI系统外，还有什么更好的方式来表示一个LTI系统？证明：一个LTI系统，当
5、输入任意序列 ，输出序列为：结论：在时域一个LTI系统可以完全用它的单位冲激响应来表示,17,卷积和运算,输入序列、单位冲激响应和输出序列三者之间的这种运算称为卷积和运算Convolution Sum，表示为：这是序列在时域中的一种重要的运算判断下式是否成立：,18,卷积和运算,卷积和的一种理解方式：卷积和看成单位冲激响应的移位加权和类似于任意序列表示为冲激序列的移位加权和,19,两个序列的卷积和运算,卷积和的另一种理解方式：把序号n当做某常数，把 和 当作两个以k为变量的序列，把这两个序列先相乘，然后将所有乘积相加，得到序号为n时的输出序列值 这种方式可用于逐个计算输出序列值,20,LTI系
6、统的因果性,LTI系统是因果系统的充分必要条件是任何满足上述关系的序列称为因果序列,21,LTI系统的稳定性,LTI系统是稳定系统的充分必要条件是任何满足上述关系的序列称为绝对可和序列,22,LTI系统因果稳定性证明举例,已经知道累加器系统为LTI的，判断累加器系统的因果性和稳定性：,因果非稳定系统,23,LTI系统因果稳定性证明举例,判断下面LTI系统的因果性和稳定性：,因果稳定系统,24,几何级数,几何级数（等比级数）无限项之和：有限项之和：,25,卷积和运算满足的三个定律,交换律：结合律：,两个系统前后相连称为系统级联,26,卷积和的三个定律,分配律：,两个系统输入相同，输出相加，称为系
7、统并联,27,补充：相关性运算,两个序列的相关性运算：可证明：相关性运算与卷积和运算的关系为自相关：,28,补充：卷积和的矩阵-矢量形式,两个序列的卷积和可以用矢量与矩阵相乘的形式来表示 设两个序列为：可证明输出序列 的序号范围为：,29,补充：卷积和的矩阵-矢量形式,将x(n)和y(n)写成列矢量：可得：H为由h(n)形成的Toeplitz矩阵卷积和的这种形式经常在一些数学分析中遇到,30,复习,写出LTI系统的输入输出关系式？LTI系统在时域可完全用什么来表示？,31,复习,LTI系统为因果系统的充分必要条件是？LTI系统为稳定系统的充分必要条件是？,32,证明,33,证明下面结果,证明：累加器系统和后向差分系统的级联等价于一个直通系统,两个系统级联后等价为直通系统时，此两个系统互为逆系统,34,复习,分别给出线性系统和移不变系统的数学描述,
